2025~2026学年甘肃省兰州市东方中学高一下册期中考数学试题【含答案】

/数学满分：150；考试时间：120分钟；第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.2.A. B. C. D.3.已知向量，，若，则的值为（）A. B. C. D.4.已知中已知，则（）A. B. C. D.5.海上有三个小岛，，，则得，，，若在，两岛的连线段之间建一座灯塔，使得灯塔到，两岛距离相等，则，间的距离为A. B. C. D.6.已知平面向量，，，若，，则在方向上的投影数量为（）A. B. C. D.7.已知锐角满足，则A. B. C. D.8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，使所得，则角B的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列两个向量，能作为平面中一组基底的是（）A.， B.，C.， D.，10.设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（）A.若，则或B.若，则的最小值为C.若，则D.若，则点的集合所构成图形的面积为11.在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（）A.B.C.的外接圆半径为D.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量，则，的夹角为________．13.若，为实数，则的最小值为________．14.在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知向量满足，与的夹角为（1）求；（2）设向量与的夹角为，求的值．16.根据要求完成下列问题：（1）关于的方程有实根，求实数的值；（2）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合.17.在中，内角、、所对的边分别为、、，若．（1）求角；（2）若，的周长为，求的面积．18.如图，在梯形中，，，E为上一点，且．（1）若，求的值；（2）已知．①求的长；②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值．19.在中，角的对边分别为，向量，，满足.（1）求角的大小；（2）设有最大值为，求的值.

数学满分：150；考试时间：120分钟；第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据复数的四则运算可得复数，进而可得.解答过程：由，得，即，解得，所以，故选：B.2.A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据诱导公式及两角和的余弦公式计算即可求解.解答过程：，，故选：D方法提示：本题主要考查了诱导公式，两角和的余弦公式，属于中档题.3.已知向量，，若，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用平面向量共线的坐标表示求出的值，再利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.解答过程：因为，则，因此，.故选：D.4.已知中已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由同角三角函数的关系求得，再由诱导公式与二倍角公式可得结果.解答过程：因为中已知，所以，，故选A.方法提示：本题主要考查同角三角函数的关系、诱导公式以及二倍角的正切公式的应用，属于中档题.5.海上有三个小岛，，，则得，，，若在，两岛的连线段之间建一座灯塔，使得灯塔到，两岛距离相等，则，间的距离为A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：试题分析：设由余弦定理可得,，故选B．考点：解三角形．6.已知平面向量，，，若，，则在方向上的投影数量为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据垂直和平行向量的坐标表示求出，，得到和的坐标，即可利用向量投影的公式进行求解.解答过程：由得．由得，所以，．所以，，，，所以在方向上的投影数量为.故选：B．7.已知锐角满足，则A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据辅助角化简得，再由角的范围求得，从而利用同角三角函数间的关系可得答案.解答过程：因为，所以，，，又，则，则,所以.故选：B.8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，使所得，则角B的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由，利用正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式化为：tanAtanC＝3+2．再利用基本不等式的性质、和差公式即可得出．解答过程：，由正弦定理可得：（2+2）sinBcosAcosC＝sinAcosBcosC+sinCcosBcosA，∴（2+2）sinBcosAcosC＝cosB（sinAcosC+sinCcosA）＝cosBsin（A+C）＝cosBsinB，∵sinB≠0，∴（2+2）cosAcosC＝cosB＝﹣cos（A+C），∴角A，B，C都为锐角，化为：tanAtanC＝3+2．∴tanA+tanC≥222（1），当且仅当tanA＝tanC1时取等号．∴tanB＝﹣tan（A+C）1，B∈（0，π），∴B．∴角B的最小值为．故选：A．方法提示：本题主要考查了正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、基本不等式的性质、和差公式、三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列两个向量，能作为平面中一组基底的是（）A.， B.，C.， D.，答案：AD解析：思路：判断两向量是否平行，如平行则不可以作为基底.解答过程：对于A，因为，则，不平行，故，能作为基底；对于B，零向量和任意向量平行，所以，不能作为基底；对于C，，所以，平行，不能作为基底；对于D，因为，则，不平行，故，能作为基底.故选：AD.10.设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（）A.若，则或B.若，则的最小值为C.若，则D.若，则点的集合所构成图形的面积为答案：BD解析：思路：对于A，利用列举反例的方法，结合模长公式，可得答案；对于B，根据复数的几何意义，写出点的轨迹方程，根据圆外一点到圆上点的最短距离，可得答案；对于C，根据复数的模长公式，可得答案；对于D，根据模长的几何意义作图，结合圆的面积公式，可得答案.解答过程：对于A，当时，，故A错误；对于B，设对应的点为，则其轨迹方程为，由原点到的距离为，如下图：易知当对应的点为时，取得最小值，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，由题意可作图如下：点的集合所构成图形为图中的阴影部分，面积，故D正确.故选：BD.11.在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（）A.B.C.的外接圆半径为D.答案：BCD解析：思路：根据内心的性质判断A；由余弦定理求出，再由等面积法求出内切圆的半径，即可判断B，利用正弦定理判断C，依题意设，则，同理可设，再由平面向量基本定理得到方程组，求出，即可判断D.解答过程：因为内心是三角形内角平分线的交点，所以在中，，故A错误；由余弦定理可得，因为的面积，所以，故B正确；设的外接圆半径为，则，故，故C正确；对于D：方法一：因为在的平分线上，所以可设，则，同理可设，则，得，又、不共线，根据平面向量基本定理得，解得，即，故D正确；方法二：利用内心的性质结论，有，即，所以，即，故D正确.故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量，则，的夹角为________．答案：解析：思路：先求出的坐标，然后利用向量的夹角公式求解即可解答过程：因为，所以所以，因为所以，的夹角为．故答案为：13.若，为实数，则的最小值为________．答案：解析：解答过程：由可知，复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，半径的圆.为实数，故对应复平面内的点在实轴上.表示圆上动点到实轴上动点的距离，设为到实轴的距离.圆心到实轴的距离为，因此.14.在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是______.答案：解析：思路：由正弦定理可得，依题意可得且，即可得到，从而求出的取值范围.解答过程：由正弦定理可得，即，因为三角形有两解，所以且，则，即，所以，即的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知向量满足，与的夹角为（1）求；（2）设向量与的夹角为，求的值．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用数量积的定义及运算律列式求解.（2）利用数量积的运算律求出，再利用夹角公式求解.（1）由，与的夹角为，得，所以.（2）由（1）得，，而，所以.16.根据要求完成下列问题：（1）关于的方程有实根，求实数的值；（2）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合.答案：（1）（2）解析：思路：（1）设方程的根为，并代入方程中，根据复数相等得到方程组，可得答案；（2）写出的共轭复数，根据对应的点在第一象限，列出不等式组，可得答案.（1）设是其实根，代入原方程变形为，由复数相等的定义，得，解得；（2）由题意得，且对应的点在第一象限，∴，即，解得，故实数的集合为.17.在中，内角、、所对的边分别为、、，若．（1）求角；（2）若，的周长为，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）由已知条件得出的值，结合余弦定理可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.（1）由及正弦定理得，因为、，所以，可得，则，故.（2）因为，，所以，由余弦定理可得，所以，因此，的面积为.18.如图，在梯形中，，，E为上一点，且．（1）若，求的值；（2）已知．①求的长；②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值．答案：（1）（2）①；②．解析：思路：（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案；（2）①利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案；②设，利用基底计算，根据二次函数性质求最值.（1）因为，，所以，所以，又，与不共线，所以，，则．（2）①由（1）知，，，所以．又，所以，解得．②设，则，．又