2025~2026学年广东省东莞市两校联考高二下册6月质量检测数学试题【含答案】

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.过点作曲线的切线，切点为P，则点P的横坐标不可能是（）A.2 B. C. D.2.①一组数据的第三四分位数为8；②若随机变量，且，则；③具有线性相关关系的变量x,y，其线性回归方程为，若样本的中心，则；④如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有180种不同的着色方法.以上说法正确的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.设，则X落在内的概率是（）A.95.44% B.99.74% C.4.56% D.0.26%4.下列说法不正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“，”是真命题C.由一组样本数据，，…，得到经验回归方程y=bx+a，若相关系数D.甲、乙、丙三名大学生从勐焕大金塔、一寨两国、黄草坝、陇川欢乐水世界、南甸宣抚司署五个景点中各选一个去游玩，则共有125种不同选法5.一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（）A.7或 B.5或 C.3或 D.1或6.一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件Ai=“第i次命中目标”（）．已知，，，则的值为（）A.19 B. C. D.7.已知函数fx及其导数的定义域均为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（）A. B.C. D.8.已知是函数的导函数，，，，则不等式的解集为A. B.(1,+∞) C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知随机变量X的分布列为X13579P则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（）A.第10行所有数字的和等于1024 B.第2026行的第1013个数最大C.210在杨辉三角中出现了6次 D.记第行的第i个数为ai，则11.关于函数，为导数，下列说法正确的是（）A.函数的单调递减区间为B.令，则C.若函数有两个不同的零点，则D.若函数的图象与直线y=t交于两点，且x1<三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.过点与直线垂直的直线方程是___________.13.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位长度，移动6次后质点对应的数为X，则（1）______，（2）在“X=2”的条件下，事件“有且仅有一次经过1”的概率是______.14.设函数，若f(x)≥0恒成立，则四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在产品质量检测领域，生产不合格电子产品极易造成使用隐患，我国的（产品质量法）中将生产不合格电子产品的行为分成两个类别：“轻微不合格”和“严重不合格”．市场监管部门对某电子厂的一次抽检行动中，依法检查了400件电子产品的质量情况，其中查出轻微不合格的有8件，查出严重不合格的有4件．（1）记在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率为，求的估计值；（2）从不合格的12件产品中抽取3件，求抽取到严重不合格产品的数量ξ的分布列和期望．16.近年来骑行成为热门的户外运动方式之一.某同学近来5次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离（单位：公里）的数据统计如下表：身体运动参数评分246810骑行距离（公里）3837323330（1）根据上表的样本数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度；（2）根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程.并估计当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离.参考数据和参考公式：①；②对于一组数据xi,yi（），样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，a=17.已知函数．（Ⅰ）当a>0时，讨论f（Ⅱ）若的两个极值点为，且，求的最小值.18.现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏；否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.（1）某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（2）有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记t表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如下：t1234523294574423经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于t的非线性回归方程，并顶测第7轮成功的人数（精确到1）：（3）证明：（其中n∈N*且附：回归方程系数：；参考数据：设，19.设函数，其中.（1）讨论fx（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对于任意a>0，存在实数，当x>x0

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（）A.2 B. C. D.答案：B解析：思路：利用导数的几何意义结合斜率公式得到一元三次方程，再利用试根法得到一个根后对方程进行因式分解，得到其它的根，进而判断不可能是原方程的根，最后得到结论即可.解答过程：设切点为，而切线也过点，由斜率公式得，因为，所以，由导数的几何意义得，故成立，化简得，得到，即，显然x0=2是方程的根，则方程可化为解得或，而原方程最多有三个根，则不可能是原方程的根，即点的横坐标不可能是.故选：B2.①一组数据的第三四分位数为8；②若随机变量，且，则；③具有线性相关关系的变量x,y，其线性回归方程为，若样本的中心，则；④如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有180种不同的着色方法.以上说法正确的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：C解析：思路：将数据从小到大排列，再根据百分位数的计算规则计算①，根据正态分布的性质判断②，根据回归直线必过样本中心点判断③，按照分步乘法计数原理判断④.解答过程：对于①：将数据从小到大排列为、、8、、12、、、20、、，所以，则第三四分位数为20，故①错误；对于②：因为，且，所以，所以，故②正确；对于③：因为线性回归方程为，且样本的中心，所以，解得，故③正确；对于④：首先涂I有种，第二步涂II有种，第三步涂III有种，第四步涂IV有种，按照分步乘法计数原理可得一共有种涂色方法，故④正确；故选：C3.设，则X落在内的概率是（）A.95.44% B.99.74% C.4.56% D.0.26%答案：D解析：思路：根据变量符合正态分布，看出均值和方差的值，根据3σ的原则，知道区间上的概率值，根据对称性和整个区间上的概率之和等于，可得结果.解答过程：由题意可知，,，.故选：D.4.下列说法不正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“，”是真命题C.由一组样本数据，，…，得到经验回归方程y=bx+a，若相关系数D.甲、乙、丙三名大学生从勐焕大金塔、一寨两国、黄草坝、陇川欢乐水世界、南甸宣抚司署五个景点中各选一个去游玩，则共有125种不同选法答案：C解析：思路：对于A：根据充分、必要条件分析判断；对于B：构建，利用导数证明不等式；对于C：根据相关系数的意义分析判断；对于D：根据分步乘法计数原理运算求解.解答过程：对于选项A：若，则，即充分性成立；若，例如a=1,b=2，满足，但不成立，即必要性不成立；综上所述：“”是“”的充分不必要条件，故A正确；对于选项B：构建，则，可知函数在0,+∞内单调递增，则，即，所以命题“，”是真命题，故B正确；对于选项C：根据相关系数可知：若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱，故C不正确；对于选项D：因为甲、乙、丙三名大学生从五个景点中各选一个去游玩，所以共有种不同选法，故D正确；故选：C.5.一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（）A.7或 B.5或 C.3或 D.1或答案：D解析：思路：将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率最高的位置.解答过程：设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为，质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：，每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：，其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的，k=0时时k=2时k=3时k=4时k=5时k=6时k=7时综上，组合数在k=3和时取得最大值，当k=3时，代入得：，当时，代入得：，质点最可能移动到的位置坐标为或.6.一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件Ai=“第i次命中目标”（）．已知，，，则的值为（）A.19 B. C. D.答案：C解析：思路：分析第二次命中的两种情况，利用全概率公式，结合已知条件求出；再利用全概率公式，结合已知条件求出．解答过程：由全概率公式，第二次命中的概率由“第一次命中”和“第一次未命中”两种情况决定：，，，由，当时，，由，当时，，，第三次命中的概率由“第二次命中”和“第二次未命中”两种情况决定：，，，由，当时，，由，当时，，．7.已知函数fx及其导数的定义域均为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由是奇函数，根据奇函数的定义得到，结合的单调性，判断出的单调区间，在判断出实数与1的关系，及它们之间的大小关系，利用的单调性，即可得到答案.解答过程：∵是奇函数，∴，令得：，又在R上单调递增，∴当x<1，；当x>1，f′故在−∞,1上单调递减，在1,+∵，∴（c为常数）令得：，∴，即的图象关于直线x=1对称由已知得：，，，∵， ∴∵∴，故，又在1,+∞上单调递增，∴，故选：C.8.已知是函数f(x)的导函数，，，，则不等式的解集为A. B.(1,+∞) C. D.答案：B解析：思路：构造新函数，求得导数，由已知条件可得，得函数为单调递减函数，又由不等式，可变形为，得，即可求解不等式的解集.解答过程：由题意，函数满足已知条件，又由不等式，可变形为，构造新函数，则，由已知条件可得，即，即函数为单调递减函数，令x=1则，又由不等式，可变形为，即，由函数的单调性可得x>1，所以不等式的解集为(1,+∞)方法提示：本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及解不等式问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出不等式的解集；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知随机变量X的分布列为X13579则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：解答过程：，解得，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．10.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（）A.第10行所有数字的和等于1024 B.第2026行的第1013个数最大C.210在杨辉三角中出现了6次 D.记第行的第个数为ai，则答案：ACD解析：思路：对A：根据题目所给的杨辉三角，得出每一行每一个数的表示，对第10行所有数字求和即可得；对B：根据组合数的性质，即可找到第2026行中的最大数；对C：列举出值为210的组合数即可；对D：使用二项式定理进行转化即可.解答过程：对A：第行的第个数，故第10行所有数字的和等于为：，故A正确；对B：第2026行的第个数可表示为，由组合数的性质可知，最大，因此，，故第2026行的第1014个数最大，故B错误；对C：210在杨辉三角中出现的情况有（第10行的第5个数），（第10行的第7个数），（第210行的第2个数），（第210行的第210个数），（第21行的第3个数），（第21行的第20个数），共6次，故C正确；对D：第行的第个数，因此，令，则，即，故D正确.11.关于函数，为f(x)A.函数f(xB.令，则C.若函数有两个不同的零点，则D.若函数f(x)的图象与直线y=t交于答案：ACD解析：思路：利用导数分析函数f(x)的单调性和最值，即可得函数f(x)的图象，即可判断ABC；令，x解答过程：对于选项A：由题意可知：函数f(x)的定义域为，且令f′(x)>0，解得；令f可知函数f(x)在−∞,−1且当趋近于−∞时，f(x)趋近于−∞；当趋近于+可得函数f(对于选项A：函数f(x)对于选项B：由题意可知：的定义域为，且，所以，故B错误；对于选项C：令，则，原题意等价于与y=a结合函数的图象可得，所以的取值范围为0,e，故C正确；对于选项D：令，x>−1，则，因为x>−1，则x+1>0，，，，可得，可知在内单调递减，则，即，x>−1，因为，且fx1=f可得，，，且函数f(x)在−∞则，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.过点与直线垂直的直线方程是___________.答案：解析：思路：设与垂直的直线方程为y=−x+n解答过程：设所求直线为y=−过点，故直线方程为故答案为：13.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位长度，移动6次后质点对应的数为X，则（1）______，（2）在“X=2”的条件下，事件“有且仅有一次经过1”的概率是______.答案：①.6②.解析：思路：设表示向右的次数，可得服从二项分布，求得，根据X与关系，求得DX；根据X与关系，求得PX=2，再求出，利用条件概率公式求解.解答过程：记表示向右的次数，则服从二项分布，故；此时质点对应的数，；记“X=2”为事件，，，于是：，记事件“有且仅有一次经过1”为事件B，则事件的情况有：RRRLRL，RRRRLL，LRRRRL，LLRRRR，LRLRRR（其中R表示向右走，L表示向左走），共5种，则，于是：.14.设函数，若f(x)≥0恒成立，则答案：1解析：思路：由函数，都是增函数及f(x)≥0恒成立，得函数，有公共零点，从而得，令，利用导数求其最小值即可.解答过程：易知函数，都是增函数，都至多有一个零点．恒成立，函数，有公共零点，记为，其中，则，即，则．设函数，则，且g′(0)=0．，在上均单调递增，在上单调递增，当时，，当x∈(0,+∞)时，，∴g(x)在，即的最小值为1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在产品质量检测领域，生产不合格电子产品极易造成使用隐患，我国的（产品质量法）中将生产不合格电子产品的行为分成两个类别：“轻微不合格”和“严重不合格”．市场监管部门对某电子厂的一次抽检行动中，依法检查了400件电子产品的质量情况，其中查出轻微不合格的有8件，查出严重不合格的有4件．（1）记在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率为，求的估计值；（2）从不合格的12件产品中抽取3件，求抽取到严重不合格产品的数量ξ的分布列和期望．答案：（1）（2）(2)分布列见解析，期望为解析：思路：（1）利用条件概率的公式即可；（2）列出ξ的取值，并根据题意及超几何分布得到各ξ值的概率求出期望即可.（1）记“生产的1件产品为不合格产品”为事件A，“产品为严重不合格产品”为事件B，则，，由条件概率公式得，所以在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率p=（2）由题意可得ξ可以取0，1，2，3则，，，所以随机变量ξ的分布列为ξ0123P1428所以.16.近年来骑行成为热门的户外运动方式之一.某同学近来5次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离（单位：公里）的数据统计如下表：身体运动参数评分246810骑行距离（公里）3837323330（1）根据上表的样本数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度；（2）根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程.并估计当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离.参考数据和参考公式：①；②对于一组数据xi,yi（），样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，a=答案：（1），身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强（2），29公里解析：思路：（1）根据表中的数据先求出，然后分别求出，和，再代入公式可求出相关系数，再根据其值进行判断；（2）利用公式求出，从而可求出关于身体运动参数的线性经验回归方程，将x=11代入可求出该同学的骑行距离.（1）由表中的数据可得，，所以，，，所以，因为接近于1，所以身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强；（2）由（1）可知，所以，所以，当x=11时，，所以当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离约为29公里.17.已知函数．（Ⅰ）当a>0时，讨论f（Ⅱ）若的两个极值点为，且，求的最小值.答案：(Ⅰ)增区间为，，减区间为；(Ⅱ)解析：思路：（Ⅰ）对函数求导，解导数方程，得两根和，然后讨论与的大小关系，结合导数符号的变化得出函数的单调区间；（Ⅱ）由题意得出导数方程g′x=0的两根为x1、x2，利用韦达定理得，将关系式代入并化简，转化为以x解答过程：（Ⅰ）函数fx定义域：，．①a=1时，由，fx增区间为，②时，由得，或x>1，由得，，fx增区间为，，减区间为，③时，由得，或，得，，fx增区间为，，减区间为；（Ⅱ），，方程两根为x2，，，==，令，，在单调递减，时，取到最小值，，的最小值是．方法提示：本题考查利用导数来求函数的单调区间，以及处理函数的极值问题，本题的关键点在于将函数的两个极值点转化为二次方程的两个根，巧妙地利用韦达定理将两个极值点联系了起来，并利用韦达定理进行化简，从而构造新函数来求解，也是本题的难点所在，考查化归与转化思想，属于难题．18.现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏；否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.（1）某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（2）有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如下：1234523294574423经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程，并顶测第7轮成功的人数（精确到1）：（3）证明：（其中n∈N*且附：回归方程系数：；参考数据：设，答案：（1）分布列见解析，（2），8（3）证明见解析解析：思