2025~2026学年广东省东莞市石龙中学高二下册期中考教学质量自查数学试题【含答案】

/数学一、单选题1.已知函数的导函数为，且，则实数（）A.2 B.5 C. D.2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.43.若随机变量的分布如下表：123P0.20.12m0.25m则的值为（）A.0.3 B.0.4 C.0.55 D.0.854.由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（）A.360 B.280 C.156 D.1505.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是（是常数），若种植3万千克，利润是万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（）A.8万千克 B.6万千克 C.3万千克 D.5万千克6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（）A.124 B.185 C.220 D.3308.设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、多选题9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.10.从甲、乙、丙、丁4名男生和小红、小花、小欣3名女生中选派3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，则（）A.共有210种不同的安排方法B.若男生甲必须参加其中的一项活动，则共有120种不同的安排方法C.若3人中必须既有男生又有女生，则有180种不同的安排方法D.若小红必须参加且不能安排A活动，则有120种不同的安排方法11.定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（）A.B.方程有三个根C.若关于的方程在区间上有两解，则或D.若函数在区间上有最大值，则三、填空题12.若，则________．13.已知，其中，则________.14.已知函数，，若，则的最小值为______.四、解答题15.在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球.（1）求取球后袋子里白球的个数为1的概率；（2）设取球后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列.16.已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为.（1）求的值；（2）设，①求的值；②求奇次项的系数和.17.已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）在坐标系中画出函数的简图（参考数据；要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；（3）若，讨论函数的零点个数.18.春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人．（1）求这个人患流感的概率；（2）设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：；（3）若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小．19.已知函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有两个极值点，，证明：.

数学一、单选题1.已知函数的导函数为，且，则实数（）A.2 B.5 C. D.答案：C解析：思路：由导数的定义可得的方程，求解可得.解答过程：，，解得.故选：C.2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解析：思路：根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.解答过程：由导函数f′(x)的图象知在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；所以f(x)的极小值点的个数为1，故选：A方法提示：本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.3.若随机变量的分布如下表：123P0.20.12m0.25m则的值为（）A.0.3 B.0.4 C.0.55 D.0.85答案：B解析：思路：根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率.解答过程：，解得；，故选：B.4.由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（）A.360 B.280 C.156 D.150答案：C解析：思路：分个位的数字为0、2、4并求出对应满足条件的偶数个数即可.解答过程：若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数，若个位上的数字为2或4，可以组成，故可以组成个符合条件的数．故选：C5.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是（是常数），若种植3万千克，利润是万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（）A.8万千克 B.6万千克 C.3万千克 D.5万千克答案：D解析：思路：根据题意，列出利润关于的函数，同时求得参数，再利用导数判断函数的单调性，从而求得函数取得最大值时对应的即可.解答过程：种植万千克莲藕的销售额是，成本为：，故利润，，种植3万千克，利润是，即，解得，故，，则，故当，，单调递增；当，，单调递减；故当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克.故选：D.6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题.解答过程：解：由题意知，因为函数在上单调递增，所以恒成立，即在区间上恒成立.令，，则，当时，，所以，因此在上单调递增，则，所以.7.如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（）A.124 B.185 C.220 D.330答案：D解析：思路：由题意可知问题转化为根据组合数性质计算即可.解答过程：根据题意可知：这些数分别为，则由逐步应用得：，所以这些数和为330.故选：D.8.设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合奇函数的性质即可进一步得解.解答过程：当时，令，则，所以在上单调递增，当时，，即，当时，，即，因为函数是定义在上的奇函数，所以，当时，，当时，，所以不等式的解集为.故选：C.方法提示：关键点点睛：关键是构造函数，利用导数得出单调性，从而即可顺利得解.二、多选题9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：根据基本初等函数的导数公式，导数的运算法则以及复合函数的求导法则求解即可.解答过程：A选项：，故A错误；B选项：，故B正确；C选项：，故C错误；D选项：，故D正确.故选：BD.10.从甲、乙、丙、丁4名男生和小红、小花、小欣3名女生中选派3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，则（）A.共有210种不同的安排方法B.若男生甲必须参加其中的一项活动，则共有120种不同的安排方法C.若3人中必须既有男生又有女生，则有180种不同的安排方法D.若小红必须参加且不能安排A活动，则有120种不同的安排方法答案：AC解析：思路：对于A将4名男生和3名女生安排3个人参加活动，则有即可判断，对于B先安排甲，再安排剩下的，利用分步计数原理即可求解，对于C既有男生又有女生则有，再安排参加3项活动，根据分步计数原理即可判断，对于D先安排小红，再安排剩下即可计算.解答过程：对于A：将4名男生和3名女生安排3个人参加活动，则有，故A正确；对于B：若男生甲必须参加其中的一项活动，则先将甲安排一项活动有中排法，再将剩下的2项活动安排给剩下的6人有，则共有种排法，故B错误；对于C：若3人中必须既有男生又有女生，则有，故C正确；对于D：小红必须参加且不能安排A活动，则安排小红参加活动中选一项有种排法，剩下2项活动安排给剩下6个人，则有，所以共有种排法，故D错误.故选：AC.11.定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（）A.B.方程有三个根C.若关于的方程在区间上有两解，则或D.若函数在区间上有最大值，则答案：ABD解析：思路：依题意可得的对称中心为，即可得到，从而求出、的值，再利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可画出函数图象，最后根据图象一一分析即可.解答过程：对于三次函数，则，，若，令，则（、为的两根，为三次函数的两个极值点），令，则，所以，依题意的极大值点和极小值点分别为，且有，所以的对称中心为，对于A，由，可得，，所以，即，解得，故A正确；对于B，因为，，当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，则的图象如下所示：由图可知与有且仅有个交点，所以方程有三个根，故B正确；对于C，又，若关于的方程在区间上有两解，即与在区间上有两个交点，则，故C错误；对于D，由，若函数在区间上有最大值，则，解得，即，故D正确.故选：ABD三、填空题12.若，则________．答案：5解析：思路：利用排列数和组合数公式直接计算可得.解答过程：因为，所以，解得.故答案为：5.13.已知，其中，则________.答案：解析：思路：利用二项式定理求展开式中指定项的系数.解答过程：，其中，，解得，项的系数为，故.14.已知函数，，若，则的最小值为______.答案：2解析：思路：求导得到，取得到，计算切线得到答案.解答过程：，则，取，故，，故切线方程为，取，解得，故的最小值.故答案为：.方法提示：本题考查了利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为切线方程是解题的关键.四、解答题15.在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球.（1）求取球后袋子里白球的个数为1的概率；（2）设取球后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列.答案：（1）（2）分布列见解析解析：思路：（1）根据取球的结果结合古典概型分析求解；（2）由随机变量的可能取值，计算相应的概率，进而求分布列.（1）设事件A为“取球后袋子里白球的个数为1”，则，所以取球后袋子里白球的个数为1的概率为.（2）依题意，随机变量的取值为0，1，2，，，，所以的分布列为：01216.已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为.（1）求的值；（2）设，①求的值；②求奇次项的系数和.答案：（1）8（2）①255，②（也正确）解析：思路：（1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，按照分步乘法计数原理计算可得；（2）①令，，根据二项展开式的系数和即可求解；②令即可求解；（1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，则所有不同的排法种数有；（2）在，令，得；令，得①；.令，得②；②，得.（也正确）17.已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）在坐标系中画出函数的简图（参考数据；要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；（3）若，讨论函数的零点个数.答案：（1）增区间，减区间，极小值为，无极大值.（2）图象见详解（3）答案见详解解析：思路：（1）求导后，根据的正负可得单调区间，根据极值点定义可求得极值；（2）分析，，结合（1）中的单调性和极值，作出函数图象；（3）将问题转化为与的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果.（1）由，，则，令，解得或，令，解得，所以的单调增区间为，减区间为，，的极小值为，无极大值.（2）由时，，结合（1）中的单调性和极值，的图象如下：（3）由题，的零点个数等价于与的交点个数；结合（2）中图象可知：当时，与有且仅有1个交点，当时，与无交点，当时，与有且仅有1个交点，当时，与有2个不同的交点，综上，当时，函数无零点，当或时，函数有且仅有一个零点，当时，函数有两个不同的零点.18.春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人．（1）求这个人患流感的概率；（2）设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：；（3）若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小．答案：（1）（2）证明见解析（3）此人来自甲地区的可能性最小解析：思路：（