2025~2026学年广东省深圳市盐田高级中学高二下册期末考试数学试题【含答案】

/数学考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）1.样本数据2，8，14，16，20的平均数为（）A.8 B.9 C.12 D.182.已知集合，，则中元素个数为（）A.0 B.3 C.5 D.83.“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（）．A. B. C. D.5.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A. B. C. D.6.在等差数列中，，则的值为（）A. B. C. D.7.已知函数，若恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）9.函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.是的极值点B.是的极大值点C.的单调递减区间是D.10.已知函数，则（）A.的定义域为B.在单调递减C.的图像关于直线对称D.有最大值11.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为2的“刍童”，其中，则（）A.该“刍童”的表面积为B.该“刍童”中平面C.该“刍童”外接球的球心到平面的距离为D.该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知命题“”，则的否定为______．13.已知，则函数的解析式为_________.14.设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.（1）函数的对称中心为______________；（2）现已知当直线和的图象交于、、三点时，的图象在点、点处的切线总平行，则过点可作的___________条切线.四、解答题（本大题共5个小题，共77分）15.某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：性别足球合计喜欢不喜欢男生302050女生102030合计404080（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？（2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，．（1）求证：平面ABC；（2）若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值．17.记数列的前项和为，已知，．（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和；（3）求的最大值．18.已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，求实数和的值；（2）讨论函数的单调性；（3）若，且对任意，,都有，求的取值范围．19.在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为.（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点的直线与抛物线交于、两点，（i）当直线的倾斜角为时，求的面积；（ii）直线分别与直线，交于点，，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，请说明理由.

数学考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）1.样本数据2，8，14，16，20的平均数为（）A.8 B.9 C.12 D.18答案：C解析：思路：由平均数的计算公式即可求解.解答过程：样本数据的平均数为.故选：C.2.已知集合，，则中元素个数为（）A.0 B.3 C.5 D.8答案：C解析：思路：根据补集的定义即可求出．解答过程：因为，所以，中的元素个数为，故选：C．3.“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：由幂函数的性质可知，当时，函数在上单调递增；若函数在上单调递增，则，不能推出.所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.4.若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（）．A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解.解答过程：若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件：当时，指数函数单调递增，因此；当时，一次函数单调递增，因此斜率，解得；在分段点处，左端函数值不大于右端函数值，即，整理得，解得；取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为.5.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.解答过程：由题意，由题意及图得，函数为奇函数，且当时，，对A选项，当时，，与图象不符，故A错误；对B选项，当时，，与图象不符，故B错误；对D选项，当时，，与图象不符，故D错误；对C选项，在中，，即该函数为奇函数，，与图象相符，故C正确.6.在等差数列中，，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用等差数列下标和性质，代入条件化简求出，再将用通项展开化简得，代入即可算出结果．解答过程：设数列的公差为，因为是等差数列，所以，由，可得，解得，所以．7.已知函数，若恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用已知条件，把复杂不等式转化为简单函数，求导，利用导数分析单调性和极值，进而求出的取值范围．解答过程：已知函数对恒成立，则，令，求导得，单调递增，，由单调性得，即，令，求导得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；在处取得极大值：，要使恒成立，只需满足，的取值范围是．8.设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由圆过点知，设，根据椭圆定义得，；在直角三角形中应用勾股定理可解得与的关系，再在直角三角形中利用勾股定理建立与的方程，从而求出离心率.解答过程：如图，连接，线段是圆O的直径，所以，设，所以，在直角三角形中，，整理得，在直角三角形中，，，得，即．故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）9.函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.是的极值点B.是的极大值点C.的单调递减区间是D.答案：BC解析：思路：由导函数图象可得单调性，据此可判断各选项正误.解答过程：观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减.对于AB，是的极大值点，不是的极值点，故A错误，B正确；对于C，如图可得的单调递减区间是

，故C正确；对于D，因函数在上单调递增，则，故D错误.10.已知函数，则（）A.的定义域为B.在单调递减C.的图像关于直线对称D.有最大值答案：ACD解析：思路：根据对数函数的定义域判断A，应用对数及二次函数复合的单调性及最值判断B,D，根据二次函数的对称性判断复合函数的对称性判断C.解答过程：，解得，即的定义域为，A选项正确．，令，则．二次函数的图象的对称轴为直线，又的定义域为的图象关于直线对称．C选项正确．由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误．当时，有最大值，，D选项正确．11.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为2的“刍童”，其中，则（）A.该“刍童”的表面积为B.该“刍童”中平面C.该“刍童”外接球的球心到平面的距离为D.该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为答案：ACD解析：思路：如图，由题设建立空间直角坐标系，对于A，由棱台表面积计算公式结合题设可得答案；对于B，由与不垂直可判断选项正误；对于C，设外接球球心为，然后由可判断选项正误；对于D，由题设结合空间向量知识可判断选项正误.解答过程：设上下两底面的中心分别为，的中点为，的中点为，由题意面，设分别为的中点，则，而面，所以，所以两两垂直，所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：对于A，因为，过点作于点，则，，所以，同理过点作于点，则，，所以，所以侧面面积之和为，而上下底面之和为，所以该“刍童”的表面积为，故A正确；对于B，由题意知四边形为矩形，，，但，这表明了与不垂直，所以不垂直平面（否则由线面垂直的性质得，导出矛盾），故B错误；对于C，由对称性可知该“刍童”外接球的球心在直线上，不妨设它为，而，所以，由，即得，，解得，所以该“刍童”外接球的球心到平面的距离为，故C正确；对于D，因为，所以，又平面，故取平面的法向量为，不妨设该“刍童”侧棱与平面所成角为，则该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为，故D正确．三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知命题“”，则的否定为______．答案：解析：解答过程：由命题否定的性质得.13.已知，则函数的解析式为_________.答案：，解析：思路：使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式.解答过程：设，那么，则，所以，.14.设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.（1）函数的对称中心为______________；（2）现已知当直线和的图象交于、、三点时，的图象在点、点处的切线总平行，则过点可作的___________条切线.答案：①.②.解析：思路：（1）解方程求得，求出的值，即可得出函数的对称中心坐标；（2）分析出函数的对称中心为，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数的解析式，设出切点坐标，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解方程即可得出结论.解答过程：（1），则，，由，可得，且，故函数的对称中心为；（2）的图象在点、点处的切线总平行，所以，点、关于的对称中心对称，故点为函数的对称中心，又因为直线恒过定点，所以，函数的对称中心为，即点，因为，则，，所以，，解得，即，则.所以，函数在处的切线方程为，即，将点代入切线方程得，整理得，即，解得或.故过点的函数的图象的切线有条.故答案为：（1）；（2）.四、解答题（本大题共5个小题，共77分）15.某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：性别足球合计喜欢不喜欢男生302050女生102030合计404080（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？（2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）喜欢足球与性别之间有关联（2）分布列：123解析：思路：（1）根据题意，由的公式代入计算，即可求解；（2）根据题意，由超几何的概率计算公式，代入计算，即可得到分布列，从而得到期望.（1）零假设为：喜欢足球与性别之间无关联.根据列联表，由得，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜欢足球与性别之间有关联.（2）在分层抽样中，喜欢足球的男生有6人，女生有2人，则的可能取值为且，则的分布列为123则16.如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，．（1）求证：平面ABC；（2）若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值．答案：（1）由题可知，，．在中，，所以，在三棱柱中，所以，因为平面平面且平面平面，所以平面（2）解析：思路：（1）由勾股定理的逆定理可得，进而利用面面垂直的性质可证结论；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和直线的一个方向向量，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值．（1）略.（2）因为，所以，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：由题意，得，，，，且D为的中点，即，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值.17.记数列的前项和为，已知，．（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和；（3）求的最大值．答案：（1）当且时，由已知，得.两式相减得

，整理得，因为时，两边同除以得，又，故是首项为2、公差为2的等差数列；其通项公式为.（2）（3）最大值为解析：思路：(1)利用与的递推关系证明为等差数列并求通项；(2)再用裂项相消法求的前项和；(3)借助于基本不等式求目标分式的最大值.（1）证明略；因为是首项为2、公差为2的等差数列，则其通项公式为，（2）由（1）得，其前项和为

，其中（3）由等差数列的前项和公式得，代入目标式，得

，因为，分子分母同除以得，由基本不等式，，当且仅当即时取等号，因此，故，即的最大值为，时取得最大值.18.已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，求实数和的值；（2）讨论函数的单调性；（3）若，且对任意，,都有，求的取值范围．答案：（1）（2）见解析（3）解析：思路：（1）求导得，利用曲线在处的切线方