2025~2026学年广东省湛江市徐闻县梅溪实验学校高中部高一下册5月月考数学试题【含答案】

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，则（）A. B. C. D.2.若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（

）A.和 B.和C.和 D.和3.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（）A.1 B. C. D.34.已知，，，则（）A. B. C. D.5.如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（）A.4杯 B.6杯 C.8杯 D.16杯6.边长为2的正方形，为的中点，则的值为（）A.2 B.3 C.1 D.47.如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示+创意”的裸眼3D展台引人关注．峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形，侧面，，均为矩形且垂直于底面，已知，，，．若有一只虚拟的蝴蝶沿线段飞行，则蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为（）A.1 B. C. D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（）A. B. C.z的共轭复数为 D.z的虚部为10.已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则11.已知向量，，，，则（）A.若，则B.若，则C.向量在方向上的投影向量的坐标为D.若与的夹角为锐角，则的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______.13.已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为________．14.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量与的夹角为，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）求向量与向量的夹角.16.某组合体由下方的正四棱柱与上方的正四棱锥拼接而成，正四棱锥的底面与正四棱柱的上底面重合.已知正四棱柱底面边长为2，高为3，正四棱锥的高为2.（1）求正四棱锥的侧棱长；（2）求该组合体的表面积；（3）求该组合体的体积.17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点．（1）求证：平面．（2）求证：平面．（3）求直线与平面所成角的大小．18.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积；（3）若，求周长的取值范围.19.如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点.（1）记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求；（2）若，且三棱柱是直棱柱.（ⅰ）求点E到平面ABF的距离；（ⅱ）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用代数形式的复数乘法计算得解.解答过程：.故选：B2.若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（

）A.和 B.和C.和 D.和答案：B解析：解答过程：因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线的向量，对于A中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；对于B中，设，可得，解得，所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底；对于C中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；对于D中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底.3.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（）A.1 B. C. D.3答案：D解析：思路：根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积.解答过程：在梯形中，，则该梯形的高为，梯形的面积为，在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的，所以平面图形的面积.故选：D4.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，，得，因为，所以，解得，所以，则.5.如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（）A.4杯 B.6杯 C.8杯 D.16杯答案：C解析：思路：应用球的体积公式及圆柱的体积公式计算求解即可.解答过程：球形容器的直径为，则半径为，所以球形容器的体积，底面直径为、深的圆柱形水杯的底面半径为，所以圆柱形水杯的体积，所以，则球形容器装满时，约可以倒满水杯8杯.故选：C6.边长为2的正方形，为的中点，则的值为（）A.2 B.3 C.1 D.4答案：A解析：思路：建立平面直角坐标系，坐标表示向量，再利用向量数量积的坐标运算公式求解.解答过程：如图，建立平面直角坐标系，设，，，，则为的中点，所以.因此，，所以.7.如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：注意到，从而可将问题转换为求即可，结合解三角形知识即可得解.解答过程：取中点，连接，不妨设，因为，所以，所以，由题意，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.8.第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示+创意”的裸眼3D展台引人关注．峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形，侧面，，均为矩形且垂直于底面，已知，，，．若有一只虚拟的蝴蝶沿线段飞行，则蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为（）A.1 B. C. D.2答案：C解析：思路：问题转化为求边上的高即可，利用三角形的面积求解.解答过程：因为底面为等腰梯形，且，，，所以，.在中，，，，所以.所以.所以，又设边上的高为，则.由.即蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为.故选：C方法提示：关键点点睛：明确蝴蝶到点的最短距离即为边上的高，这是解决问题的关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（）A. B. C.z的共轭复数为 D.z的虚部为答案：CD解析：思路：根据复数的概念和运算逐一判断即可.解答过程：A.,A错误；B.，B错误；C.z的共轭复数为，C正确；D.z的虚部为，D正确.故选：CD.10.已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：AC解析：思路：根据空间线、面位置关系依次判断即可.解答过程：对于A，若，，则，故A正确；对于B，若，，则或m与n为异面直线或相交直线，故B错误；对于C，若，，则，故C正确；对于D，若，，当时，不成立，故D错误.11.已知向量，，，，则（）A.若，则B.若，则C.向量在方向上的投影向量的坐标为D.若与的夹角为锐角，则的取值范围是答案：ABD解析：思路：根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C错误；计算向量与向量同向时的值可得选项D正确.解答过程：对于A，由题意可得，若，则，得，故A正确；对于B，由题意可得，若，则，解得，所以，故B正确；对于C，由题意可得，，则向量在方向上的投影向量的坐标为，故C错误；对于D，由题意得，，，若向量与向量的夹角为锐角，则，解得，当向量与向量共线时，由得，此时，，，向量与向量的夹角为，不合题意，所以的取值范围是，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______.答案：解析：思路：首先表示出，依题意根据，根据向量共线的坐标表示计算可得.解答过程：因为，，，所以，因为三点共线，所以，所以，解得.13.已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为________．答案：##解析：思路：设扇形所在圆的半径为，根据扇形的弧长公式，求得，结合扇形的面积公式，即可求解.解答过程：设扇形所在圆的半径为，因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，可得，解得，所以扇形的面积为.故答案为：.14.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据）答案：27解析：思路：先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长即得答案．解答过程：因为米，，所以．由正弦定理，，可得，在直角中，因为，所以，即塔高为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量与的夹角为，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）求向量与向量的夹角.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解；（2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解；（3）根据题意，利用向量的夹角公式，直接计算，即可求解.（1）因为向量与的夹角为，且，则.（2）因为向量与的夹角为，且，且.可得.（3）设向量与向量的夹角为，可得，因为，可得，所以向量与向量的夹角为.16.某组合体由下方的正四棱柱与上方的正四棱锥拼接而成，正四棱锥的底面与正四棱柱的上底面重合.已知正四棱柱底面边长为2，高为3，正四棱锥的高为2.（1）求正四棱锥的侧棱长；（2）求该组合体的表面积；（3）求该组合体的体积.答案：（1）（2）（3）解析：（1）解：如图，组合体由正四棱柱和正四棱锥构成，的中心为，则平面，，，则正四棱锥的侧棱长为；（2）解：中，，边上的高，，该组合体的表面积；（3），，则该组合体的体积．17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点．（1）求证：平面．（2）求证：平面．（3）求直线与平面所成角的大小．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可.（2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可.（3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可.（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点，又点是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）证明：因为平面，，平面，所以，，且为直角三角形.因为底面是正方形，所以.又，平面，，所以平面，因为平面，所以.在中，，点是的中点，所以.又，平面，，所以平面.（3）正方形中，，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角，又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角.在中，，点是的中点，所以，，所以.故直线与平面所成角为.18.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积；（3）若，求周长的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理实现边角互化，结合三角形内角的取值范围求解角B.（2）借助余弦定理求出边c的长度，代入三角形面积公式计算即可.（3）利用余弦定理结合基本不等式求的取值上界，结合三角形三边关系确定取值下界，最终得到周长的取值范围.（1）∵在中，由正弦定理得（为外接圆半径）.∴，.代入得.∵，∴，两边同时约去，得，即.又∵，∴.（2）∵，，，由余弦定理得，代入得，即，整理得.解得或（边长为正，舍去）.∴的面积.（3）由余弦定理得，即.由基本不等式得，当且仅当时等号成立，∴，∴，即，当且仅当时等号成立.又∵三角形两边之和大于第三边，∴，∴，∴的周长.方法提示：方法归纳：本题考查解三角形的综合应用，涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式求范围，解题核心是合理进行边角互化，求取值范围时注意结合几何性质限定边界.19.如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点.（1）记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求；（2）若，且三棱柱是直棱柱.（ⅰ）求点E到平面ABF的距离；（ⅱ）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程.答案：（1）；（2）（ⅰ）（ⅱ）解析：思路：（1）利用中点性质及几何分割，得出三棱锥体积与三棱柱体积的固定比例；（2）（ⅰ）先用勾股定理证明三角形为直角三角形并计算面积，再通过等体积法，由已知体积反推高；（ⅱ）将三棱柱的侧面展开为平面，考虑三种不同的展开方式，分别计算两点间的直线距离，取最小值即为最短