2025~2026学年广东省中山市烟洲中学高一下册第一次段考考数学试题【含答案】

/数学一、单选题1.（）A. B. C. D.2.已知向量，若，则实数的值为（）A.2 B. C. D.3.如图，在中，，则等于（）A. B. C. D.4.已知向量，满足，且，则的值为（）A.4 B.2 C.8 D.5.已知，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量等于（）A. B. C. D.6.在中，角的对边分别为，，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰三角形7.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的解析式可能是（）A. B.C. D.8.已知函数，若存在互不相同的，使得，则的最小值是（

）A. B.2 C. D.二、多选题9.（多选）下列命题正确的有（）A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上C.的充要条件是且D.“若A，B，C，D是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”10.函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.的表达式可以写成B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递增D.若方程在上有且只有6个根，则11.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条不同的直径，，则（）A.B.C.D.满足的实数与的和为定值4三、填空题12.已知、、、为空间中任意四点，化简________.13.广安五一公园的摩天轮的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱B经过最低点A开始计时，则10分钟后B离地面的高度为______米.14.在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则的取值范围是_______.四、解答题15.（1）求的值；（2）已知，，是第三象限角，求的值．16.设的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角；（2）若，，求.17.已知向量.（1）求；（2）若，求实数的值；（3）若，求实数的值.18.已知向量：，，函数．（1）求函数的解析式及单调递增区间．（2）求函数的最小正周期及图像的对称轴方程.19.如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；（3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值.

数学一、单选题1.（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：逆用两角差的余弦公式求解即可.解答过程：，故选：B2.已知向量，若，则实数的值为（）A.2 B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以，因为，所以，解得．3.如图，在中，，则等于（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果.解答过程：因为，所以，即得.故选：B.4.已知向量，满足，且，则的值为（）A.4 B.2 C.8 D.答案：A解析：思路：由两边平方可得，，由此可求结论,解答过程：由，所以，所以，，所以，又，所以．5.已知，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量等于（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：直接根据投影向量的公式计算.解答过程：由题意，，则向量在向量方向上的投影向量是：.故选：C6.在中，角的对边分别为，，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰三角形答案：D解析：思路：根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解.解答过程：由及正弦定理，得,在中，，所以,所以，即，于是有，因为所以所以,即，所以的形状是等腰三角形.故选：D.7.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的解析式可能是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据三角函数图象的变换规律即得答案.解答过程：将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），即得函数的图象，再将函数的图象向右平移个单位长度，即得函数的图象.故选：C.8.已知函数，若存在互不相同的，使得，则的最小值是（

）A. B.2 C. D.答案：D解析：思路：利用相位分析，要满足正弦函数区间内存在两个最小值点，则只需要，问题即可求解.解答过程：因为函数的值域为，所以存在互不相同的，使得，即同时使得，即因为由于区间内使得正弦函数取最小值时的的取值依次是，所以，故选：D.二、多选题9.（多选）下列命题正确的有（）A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上C.的充要条件是且D.“若A，B，C，D是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”答案：BD解析：思路：根据相等向量的概念判断A，根据共线向量基本定理判断B，结合充要条件的概念利用相等向量、共线向量的概念判断C，根据结合充要条件的概念利用相等向量、平行四边形的概念判断D.解答过程：A选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误；B选项，因为与共线，且有公共点B，所以A，B，C三点在同一条直线上，所以B正确；C选项，当且方向相反时，即使，也不能得到，所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件，所以C错误；D选项，A，B，C，D是不共线的点，，即模相等且方向相同，即四边形对边平行且相等，反之也成立，所以D正确．故选：BD10.函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.的表达式可以写成B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递增D.若方程在上有且只有6个根，则答案：ABD解析：思路：根据图象可求得函数的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项.解答过程：对A，由，得，即，又，，又的图象过点，则，即，，即得，，又，，所以，故A正确；对B，，故B正确；对C，当时，则，由余弦函数单调性知，在单调递减，故C错误；对于D，由，得，解得或，，方程在上有6个根，从小到大依次为：，而第7个根为，所以，故D正确.故选：ABD.11.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条不同的直径，，则（）A.B.C.D.满足的实数与的和为定值4答案：BCD解析：思路：A.根据易得判断；B.由运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设，则，得到，由利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D.将，利用线性运算变形为判断；解答过程：A.因为，所以，故错误；B.，，故正确；C.建立如图所示平面直角坐标系：设，则，所以，所以，故正确；D.由，得，所以，故正确；故选：BCD方法提示：本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题12.已知、、、为空间中任意四点，化简________.答案：解析：思路：利用空间向量的加法法则可求得结果.解答过程：故答案为：.方法提示：本题考查利用空间向量的加法法则化简计算，属于基础题.13.广安五一公园的摩天轮的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱B经过最低点A开始计时，则10分钟后B离地面的高度为______米.答案：121解析：思路：依题意求出摩天轮的角速度和相关量，得到摩天轮座舱B离地面的高度关于时间分钟的函数解析式，代值计算即得.解答过程：如图，以为原点，如图所示建立平面直角坐标系，由题意知分钟后摩天轮座舱B离地面的高度为,因摩天轮的角速度rad/min，,则，故.故答案为：.14.在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则的取值范围是_______.答案：解析：思路：利用向量的数量积的运算公式，求得，设，得到，求得的坐标，根据向量的坐标运算，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.解答过程：由题意可得：，，，因为，可得，即，所以，所以，设，因为，可得，又因为，可得，则，可得，令，可得，则，其中，因为，当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为；所以的取值范围为.四、解答题15.（1）求的值；（2）已知，，是第三象限角，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用两角和的正切公式计算即得；（2）利用同角三角函数分别求出的正余弦的值，再代入和角的余弦公式计算即得.解答过程：（1）.（2）因，则；又因，是第三象限角，则.故.16.设的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角；（2）若，，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理的变形公式即可求得（2）利用同角关系求正弦，结合正弦定理即可（1）已知，所以根据余弦定理，所以,C是三角形内角，所以（2）因为，所以，又因为，所以，根据正弦定理，所以，所以.17.已知向量.（1）求；（2）若，求实数的值；（3）若，求实数的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：利用平面向量线性运算、向量相等、向量平行的坐标表示进行求解.（1），.（2），又，，所以，解得，所以.（3）,，，，，解得.18.已知向量：，，函数．（1）求函数的解析式及单调递增区间．（2）求函数的最小正周期及图像的对称轴方程.答案：（1）；增区间为（2），，解析：思路：（1）利用向量的数量积公式和三角函数辅助角公式化简得到的解析式，然后由可求出函数的递增区间；（2）利用周期公式求出函数的周期，再由可求出对称轴方程解答过程：解：（1）因为向量：，，函数；令，，所以函数的单调增区间是（2）周期，令，，得，，所以的对称轴方程为，19.如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；（3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；（2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可；（3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，