2025~2026学年广西壮族自治区柳州市来宾实验高级中学高一下册自主练习（6）数学试题【含答案】

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设一组数据的方差为1，则数据的方差为（）A.3 B.5 C.9 D.132.某学校高一年级有男生480人，女生660人，现按性别采用分层随机抽样的方法从中选出19人，则男生比女生少选（）．A.1人 B.2人 C.3人 D.4人3.已知复数z与在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（）．A. B. C. D.4.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（）A. B. C. D.5.已知l，m是两条不重合的直线，α，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）．A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则6.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=A.5 B.5 C.2 D.17.已知向量a，b满足，，且对，，则=（）A.-2 B.-1 C.1 D.28.已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，则（）A.与的夹角为45°B.当时，C.当时，与方向相反D.当时，与组成平面内的一组基底10.2021年广西新高考实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一.政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A=“他选择政治和地理”，事件“他选择化学和生物”，事件“他选择其中一门课程是化学”，则（）A. B.与对立C. D.11.若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在V2中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（）A.这两个图都是二部图的概率为1B.这两个图至少有一个是二部图的概率为C.这两个图不都是二部图的概率为D.这两个图恰有一个是二部图的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.3−6i13.已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______．14.已知四边形是圆O的内接四边形，且，，的长是方程的两根，记四边形的面积为，圆O的面积为，则S1S2=______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.不透明的袋子中装有4个红球，m个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次绿球被取出的概率为．（1）求袋子中绿球的个数；（2）若进行2次取球，求这2次取出的球的颜色不同的概率．16.如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），PA=AB=2，AC=2，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17.本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图.（1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，且．（1）求A；（2）若，求的面积；（3）求．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形是边长为4的菱形,,为等边三角形，，E，F分别是棱，的中点.（1）求四棱锥P−（2）在棱上是否存在点G，使得平面平面BDG?若点G存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（3）若H是棱的中点，求二面角的正弦值.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设一组数据的方差为1，则数据的方差为（）A.3 B.5 C.9 D.13答案：C解析：思路：根据方差的性质计算可得.解答过程：因为一组数据的方差为，所以数据的方差为.故选：C2.某学校高一年级有男生480人，女生660人，现按性别采用分层随机抽样的方法从中选出19人，则男生比女生少选（）．A.1人 B.2人 C.3人 D.4人答案：C解析：思路：根据分层抽样的方法可求抽取男生、女生的人数，即可求解.解答过程：由题可知，选出的男生有人，则选出的女生有11人，所以男生比女生少选3人．故选：C.3.已知复数z与在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（）．A. B. C. D.答案：B解析：思路：先利用复数的除法运算法则化简，再根据对称性求解即可.解答过程：，因为z与在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以．故选：B.4.如图，在平行四边形中，为AB的中点，与交于点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用平面向量基本定理求解.解答过程：解：因为为平行四边形，故，故易知，又因为为AB的中点，所以，故，5.已知l，m是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）．A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则答案：D解析：思路：根据线面位置关系，线线位置关系判断各个选项.解答过程：若，，则或，A不正确．若，，，则或l与m异面，B不正确．若，，则或，C不正确．若，，，则，D正确．故选：D.6.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=2，则AC=A.5 B.5 C.2 D.1答案：B解析：解答过程：由面积公式得：，解得，所以或，当时，由余弦定理得：=1，所以AC=1，又因为AB=1，BC=2，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以AC=5，故选B.考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.7.已知向量a，b满足，，且对，，则=（）A.-2 B.-1 C.1 D.2答案：C解析：思路：对两边平方，根据二次函数性质即可求解.解答过程：因为，所以，所以，因为对，，所以，所以，所以a⋅故选：C.8.已知△ABC为边长为的等边三角形，设点为AB边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标法以及二次函数性质分析求解即可.解答过程：取的中点，连接，由题意△ABC为等边三角形，故以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为等边△ABC的边长为，所以，又点为AB边的中点，所以，设，则，所以，设，由二次函数开口向上，对称轴为x=故函数在上单调递减，在上单调递增，所以.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，则（）A.与的夹角为45°B.当时，C.当时，与方向相反D.当时，与组成平面内的一组基底答案：AD解析：思路：对A，根据向量夹角公式求解即可；对B，根据垂直向量数量积为0求解；对C，代入判断即可；对D，代入，判断与是否不共线即可.解答过程：对A，设与的夹角为，则，故，故A正确；对B，，则当时，，即，解得，故B错误；对C，当时，，此时，则与方向相同，故C错误；对D，当时，，与不共线，故能组成平面内的一组基底，故D正确；故选：AD10.2021年广西新高考实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一.政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A=“他选择政治和地理”，事件“他选择化学和生物”，事件“他选择其中一门课程是化学”，则（）A. B.与对立C. D.答案：AC解析：思路：列出该同学的四选二选科的可能结果，再一一分析即可.解答过程：依题意该同学的四选二选科可能为：政治和地理，政治和化学，政治和生物，化学和地理，生物和地理，化学和生物共种结果，则事件C包含政治和化学，化学和地理，化学和生物共种结果，所以，故A正确；包含政治和地理，政治和生物，生物和地理共种结果，所以与互斥不对立，故B错误；因为，所以，故C正确；包含政治和化学，化学和地理，化学和生物共种结果，所以，故D错误；故选：AC11.若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在V2中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（）A.这两个图都是二部图的概率为1B.这两个图至少有一个是二部图的概率为C.这两个图不都是二部图的概率为D.这两个图恰有一个是二部图的概率为答案：BC解析：思路：首先根据二部图的定义确定这6个图中，二部图的个数，再根据古典概型，通过列举的方法，即可概率.解答过程：对于图（1），图中出现了△ABC这显然不符合二部图的定义，图（4）也是如此，所以图（1）与图（4）不是二部图．除了这两个图，其他四个图都是二部图，例如，对于图（3），当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在V2对于图（5），当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在V2，，，共15种．这两个图都是二部图的选择共有6种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有14种，这两个图不都是二部图的选择共有9种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有8种，故这两个图都是二部图的概率为，故A错误；这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确；这两个图不都是二部图的概率为，故C正确；这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.3−6i答案：3解析：思路：根据复数模的计算公式求解.解答过程：3−6i13.已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______．答案：解析：思路：由圆锥体积求得r=3，由勾股定理求得，结合球的表面积公式即可求解.解答过程：设该圆锥的底面半径为r．因为该圆锥的轴截面为正三角形，所以该圆锥的高为，则该圆锥的体积，解得r=3．画出圆锥及其外接球的轴截面如图所示，设该球体的半径为R，则，解得，则该球体的表面积为．故答案为：.14.已知四边形是圆O的内接四边形，且，，CD的长是方程的两根，记四边形的面积为，圆O的面积为，则S1S2=______．答案：##解析：思路：解方程求出、CD，在与中，由余弦定理求出∠BAD、，再由正弦定理求出圆O的半径，求出、可得答案.解答过程：解方程，可得，，不妨令，．因为四边形是圆O的内接四边形，所以，则在与中，由余弦定理可得，整理得，则，则，，．设圆O的半径为R，则，则，，则．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.不透明的袋子中装有4个红球，m个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次绿球被取出的概率为．（1）求袋子中绿球的个数；（2）若进行2次取球，求这2次取出的球的颜色不同的概率．答案：（1）2（2）4解析：思路：（1）根据古典概型概率计算公式列方程求解；（2）根据独立事件概率乘法公式进行计算.（1）袋子中装有4个红球，m个绿球，从中有放回地随机取出1个球，则绿球被取出的概率为．由题可知，解得，故袋子中绿球的个数为2．（2）由题可知，每次绿球被取出的概率为，则每次红球被取出的概率为，且2次取出的球的颜色相互独立．第一次取出红球，第二次取出绿球的概率为；第一次取出绿球，第二次取出红球的概率为．故2次取出的球的颜色不同的概率为．16.如图所示，已知AB是圆的直径，C为圆上一点（异于），PA=AB=2，AC=2，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）平面，平面，．是圆O的直径，C为圆上一点，∴BC⊥又，且平面，∴BC⊥平面．平面，平面平面.（2）解析：思路：（1）先证，得到平面，最后得到平面平面.（2）先找出直线与平面所成角，然后求出的长度，最后得到其正弦值.（1）略（2）如图所示，过点A作于点D，平面，平面，，又PC∩BC=C，PC,BC⊂即为直线与平面所成角．，AC=2，可得．.即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为．17.本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图.（1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率.答案：（1）平均数为75.5，分位数为88；（2）.解析：思路：（1）由频率分布直方图的面积和为1求出后，再由平均数，百分数的算法求出即可；（2）利用分层抽样和古典概率的算法求出即可；（1）由，解得.该校高三学生期初数学成绩的平均数为.前3组的频率和为，所以分位数为.（2）分层抽样抽取的6人中，的有人，记为的有6−2=4人，记为，从6人中任取2人，基本事件有，共15种，其中2人分数都在的有共6种，所以从6人中任取2人，分数都在的概率为.18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，且．（1）求A；（2）若，求△ABC的面积；（3）求．答案：（1）A=（2）（3）．解析：思路：（1）由同角三角函数的关系求得，利用边角互换即可求得结果.（2）利用求得的值，再用正弦定理求得边c，即可求得三角形面积.（3）由（1）的结果利用角A的余弦定理，计算即可取得结果.（1）因为，所以．又因为，所以．因为A为锐角，所以A=（2）由（1）知．由正弦定理得，所以（3）由余弦定理得，整理得，所以．因为，所以19.如图，在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形,,为等边三角形，，E，F分别是棱AB，的中点.（1）求四棱锥的体积.（2