2025~2026学年贵州省遵义市凤冈县高二下册5月期中核心素养监测数学试题【含答案】

/数学（满分：150分，时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上.1.（）A. B. C. D.2.设复数，则（）A. B.2 C.3 D.53.C9A.110 B.120 C.210 D.2404.若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种5.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.6.某校高二年级6名同学（包含同学甲、乙）平均分为3组，参加数学、物理、化学三个学科兴趣班，但甲同学和乙同学不能参加同一学科兴趣班，则不同的安排方案有（）种．A.54 B.72 C.84 D.907.已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（）A. B.C. D.8.方程的非负整数的个数为（）A.495 B.715 C.1001 D.2002二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.有一组成对样本数据，先计算相关系数为，再根据最小二乘法计算回归直线方程为，最后计算出残差．下列说法正确的是（）A.回归直线经过点．B.由这组数据得到新成对样本数据，再根据最小二乘法计算回归直线方程，则两条回归直线的斜率相同．C.相关系数越大，两个变量之间的线性相关性越强．D.残差和越小，回归直线方程为拟合效果越好．10.设，则下列正确的是（）A.B.当时，C.当n为偶数时，D.当时，能被10整除．11.已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（）A.事件与互斥 B.事件与独立C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.随机变量X的数学期望，则________．13.展开式中的系数为________．14.已知向量，且，满足，则的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某学校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取5名同学去采集自然标本，设抽取的人中女生有名．（1）求抽取的人中至多有1名女生的概率．（2）设抽取的人中女生有名，求的分布列及数学期望．16.钠离子电池是我国新能源储能领域的核心攻关方向之一，某科研团队为优化电池循环寿命，在传统电解液配方与新型复合电解液配方下各取20组电池进行加速寿命实验，记录每组电池循环寿命是否达到“长寿命”标准（循环次数次为长寿命，否则为短寿命），整理得到如下列联表：长寿命（次）短寿命（次）合计传统配方91120新型配方15520合计241640（1）能否有99%的把握认为电池“长寿命”与电解液配方有关？（2）用频率估计概率，从采用新型配方的量产电池中随机抽取5组样品，记其中“长寿命”的组数为，求的数学期望和方差．参考公式：，其中．0.150.100.0100.0012.0722.7066.63510.82817.在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）求证：；（2）若的平分线交于，，，求的值.18.近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点．某车企通过市场调研，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下：研发投入（亿元）经济收益（亿元）（1）的平均数记为，证明：（2）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强．）（3）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入亿元时的经济收益．参考数据：，．附：相关系数，线性回归方程的斜率.19.甲，乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛中当一方比另一方多两分比赛中止，多得两分的一方鴍得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．（1）若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；（2）当时，（i）若比赛最多进行6局（若到第6局时未分出胜负，也结束比赛），求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；（ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用，表示），无需写出过程．

数学（满分：150分，时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上.1.（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由任意角正弦的定义，设角终边上任意一点，到原点距离，有.角终边在第二象限，取终边与单位圆交点，此时，代入定义得sin5π6=2.设复数，则（）A. B.2 C.3 D.5答案：A解析：解答过程：由复数模的定义，若，则，因为，所以.3.（）A.110 B.120 C.210 D.240答案：B解析：解答过程：C94.若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：A解析：思路：根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，即可得解.解答过程：4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有种方法.故选：A.5.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据正态分布的对称性即可求解.解答过程：已知随机变量X∼N3,因为，则P(X根据对称性得到P(则P(3<6.某校高二年级6名同学（包含同学甲、乙）平均分为3组，参加数学、物理、化学三个学科兴趣班，但甲同学和乙同学不能参加同一学科兴趣班，则不同的安排方案有（）种．A.54 B.72 C.84 D.90答案：B解析：思路：根据题意，运用分步乘法计数原理列式求解.解答过程：依题意，可分两步完成：第一步，先安排甲与乙，由甲从3个学科中选1个，再由乙从剩下的2个学科中选1个，有C3第二步，再安排剩下的4人，从4人中选1人去甲的学科，再从剩下的3人中选1人去乙的学科，最后2人去剩下的学科，有C4由分步乘法计数原理，不同的安排方案有种.7.已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：设圆的标准方程为，将，，代入圆的方程中可得0−a2+2−b2故圆的标准方程为8.方程的非负整数的个数为（）A.495 B.715 C.1001 D.2002答案：B解析：思路：利用隔板法求解.解答过程：，，则问题转化为将14个相同的元素分成5份，每份至少1个，需要在14个元素之间的13个空隙中插入4个隔板，则方程非负整数解的个数有.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.有一组成对样本数据，先计算相关系数为，再根据最小二乘法计算回归直线方程为，最后计算出残差．下列说法正确的是（）A.回归直线经过点．B.由这组数据得到新成对样本数据，再根据最小二乘法计算回归直线方程，则两条回归直线的斜率相同．C.相关系数越大，两个变量之间的线性相关性越强．D.残差和越小，回归直线方程为拟合效果越好．答案：AB解析：思路：选项A回归直线必经过样本中心点；选项B代入计算新数据的斜率公式，可得两条回归直线的斜率相同；选项C绝对值越接近于，线性相关性越强；选项D无法通过残差和判断拟合效果.解答过程：回归直线必经过样本中心点，选项A正确；新样本数据的样本中心点为，其斜率为，所以两条回归直线的斜率相同，选项B正确；相关系数的取值范围为，其绝对值越接近于，线性相关性越强，相关系数越大，不能说明两个变量之间的线性相关性越强，比如与，所以选项C错误；残差和是指，由于回归直线必过样本中心点，残差和恒为零，无法通过残差和判断拟合效果，选项D错误.10.设，则下列正确的是（）A.B.当时，C.当n为偶数时，D.当时，能被10整除．答案：ACD解析：思路：令可判断A，令可得各项系数和判断B，令和，再解方程组即可判断C，代入展开式可判断D．解答过程：对于A：令，得，故A正确；对于B：当时，1−2x5令，可得，故B错误；对于C：当n为偶数时，令，可得a0+令，可得，得：2a1则，故C正确；对于D：时，1−2xn则当时，1−2xn11.已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（）A.事件与互斥 B.事件与独立C. D.答案：BCD解析：思路：利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义，和事件与积事件的运算法则，逐项判断即可．解答过程：已知，则，由.对A：因为，所以事件与可能同时发生，故事件与不互斥，选项A错误；对B：因为，，所以，所以事件与独立，选项B正确；对C：PAB=所以PA对D：因为事件与互斥，事件与独立，所以，选项D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.随机变量X的数学期望，则________．答案：解析：解答过程：13.展开式中的系数为________．答案：解析：思路：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.解答过程：对，有，，则，，由1+1故所求的系数为.14.已知向量，且，满足，则的最大值为________．答案：解析：思路：借助绝对值三角不等式计算即可得.解答过程：由绝对值三角不等式可得a−故2b≤8，即b≤4，当且仅当或时取等，故的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某学校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取5名同学去采集自然标本，设抽取的人中女生有名．（1）求抽取的人中至多有1名女生的概率．（2）设抽取的人中女生有名，求的分布列及数学期望．答案：（1）（2）的分布列如下：解析：思路：（1）根据古典概型求概率，再根据互斥事件的概率加法公式求解；（2）根据古典概型求出每一个可能取值的概率，进而得出分布列，然后根据期望公式求解.（1）抽取的人中没有女生的概率为，抽取的人中有1名女生的概率为，抽取的人中至多有1名女生的概率为.（2）的取值可能为，，PXPXPXPX的分布列如下：.16.钠离子电池是我国新能源储能领域的核心攻关方向之一，某科研团队为优化电池循环寿命，在传统电解液配方与新型复合电解液配方下各取20组电池进行加速寿命实验，记录每组电池循环寿命是否达到“长寿命”标准（循环次数次为长寿命，否则为短寿命），整理得到如下列联表：长寿命（次）短寿命（次）合计传统配方91120新型配方15520合计241640（1）能否有99%的把握认为电池“长寿命”与电解液配方有关？（2）用频率估计概率，从采用新型配方的量产电池中随机抽取5组样品，记其中“长寿命”的组数为，求的数学期望和方差．参考公式：，其中．0.150.100.0100.0012.0722.7066.63510.828答案：（1）没有99%的把握认为电池“长寿命”与电解液配方有关.（2），.解析：思路：（1）利用独立性检验来判断电池“长寿命”与电解液配方是否有关，计算出，得到小于，从而得到结论.（2）求出从采用新型配方的量产电池中随机抽取1组样品，该组为“长寿命”的概率，随机抽取5组样品，记其中“长寿命”的组数为，则，利用二项分布的期望和方差公式求解.（1），，故没有99%的把握认为电池“长寿命”与电解液配方有关.（2）从采用新型配方的量产电池中随机抽取1组样品，该组为“长寿命”的概率为，随机抽取5组样品，记其中“长寿命”的组数为，则，则X的数学期望为，方差为.17.在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）求证：；（2）若的平分线交于，，，求的值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由正弦定理将边转化为角可得，由内角和定理和两角和与差的正弦公式，结合角的范围即可求解；（2）由，为锐角，可得，由结合即可求解.（1）由正弦定理，可得，因为，所以，因为，，所以，因为在上单调递增，所以，即；（2）因为，为锐角，所以，，依题意有，由（1）可知，所以，又因为，所以，化简得，两边同除以可得，所以.18.近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点．某车企通过市场调研，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下：研发投入（亿元）经济收益（亿元）（1）的平均数记为，证明：（2）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强．）（3）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入亿元时的经济收益．参考数据：，．附：相关系数，线性回归方程的斜率.答案：（1）证明见解析（2），具有较强的线性相关程度．（3）关于的线性回归方程为，预测研发投入亿元时的经济收益为亿元．解析：思路：（1）先利用完全平方公式展开xi−x2，再根据平均数定义（2）先计算的均值，再分别求出、与交叉项，代入相关系数公式计算，最后根据与的大小关系判断线性相关程度；（3）利用已求出的交叉项与计算回归系数，再根据求出截距，得到回归方程，最后将代入方程，计算并得到预测的经济收益值．（1）已知，即，i，所以；（2），，，，i=1又因为，所以r=所以研发投入与经济收益之间具有较强的线性相关性．（3）b=i=1所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程，得，所以预测研发投入亿元时的经济收益为亿元．19.甲，乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛中当一方比另一方多两分比赛中止，多得两