2025~2026学年河北衡水中学高一下册综合素质评价三数学试题【含答案】

/数学考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共58分）一、单项选择题（共8个小题，每题5分，共40分）1.复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（

）A. B.2 C. D.2.直径为6的球的表面积与体积（）A.36，36 B.144，36C.36，144 D.144，1443.已知向量，若，则（）A. B. C.4 D.4.直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（）A. B. C. D.35.如图，圆柱的侧面积为，体积为，则以圆柱的底面为底面的圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.6.为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（）米．A.80 B.120 C. D.7.如图，向一个高为且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为时停止注水(不考虑容器厚度)，将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（）A.2 B. C. D.18.在三棱柱中，，点在平面的射影为点，若点在平面上运动，则线段长度的最小值为（）A. B. C.1 D.二、多项选择题（每题6分，少选部分分，错选不得分）9.已知复数满足，则下列说法正确的是（）A.共轭复数 B.模长C.复数在复平面内对应的点位于第三象限 D.10.设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则11.如图，在长方体中，，，点P是平面上的动点，满足（）A.长方体各棱、体对角线所在的条直线中,共有对异面直线B.点P在底面上的轨迹是一条直线C.若角是直线和平面所成角,则的最大值是D.不存在点,使得第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（每题5分，共15分）12.水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是__________.13.已知，是半径为2的的两条直径，且与成角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为_____．14.已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______．四、解答题15.如图，在正方体中，分别为中点．（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面．16.在中，内角对应的边分别是，且（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．17.如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点．（1）求证：平面．（2）求异面直线与所成的角．18.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点.（1）求证：平面平面；（2）试作出二面角，并求二面角的正切值；（3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分）

数学考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共58分）一、单项选择题（共8个小题，每题5分，共40分）1.复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（

）A. B.2 C. D.答案：B解析：解答过程：由题意可得：的共轭复数，所以的虚部为.2.直径为6的球的表面积与体积（）A.36，36 B.144，36C.36，144 D.144，144答案：A解析：解答过程：由题可知，球的半径为，所以球的表面积为，体积为.3.已知向量，若，则（）A. B. C.4 D.答案：A解析：解答过程：由，得，即.解得.所以，则.4.直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（）A. B. C. D.3答案：C解析：解答过程：将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图在左图中，由于，，得是等边三角形，故．在右图中，．两点之间线段最短，连接，最小为．5.如图，圆柱的侧面积为，体积为，则以圆柱的底面为底面的圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设圆柱的底面半径为，高为，则解得所以圆锥的母线长为，其侧面积为.6.为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（）米．A.80 B.120 C. D.答案：C解析：思路：先求，再利用余弦定理求得.解答过程：由题得到米，米，所以由余弦定理得到，即，所以米.7.如图，向一个高为且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为时停止注水(不考虑容器厚度)，将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（）A.2 B. C. D.1答案：B解析：思路：由注水四棱台部分的体积等于注水四棱锥部分的体积求解.解答过程：设正四棱锥的下底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为，设注水四棱台的上底面边长为，则，解得，注水四棱台的上底面的面积为，注水四棱台的下底面的面积为，则注水四棱台的体积为，将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥，设水面高度为，底面边长为，则，解得，且底面面积为，设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则，又，则，解得，即，即此四棱锥容器倒置后，水面高度为.8.在三棱柱中，，点在平面的射影为点，若点在平面上运动，则线段长度的最小值为（）A. B. C.1 D.答案：B解析：思路：的最小值即为点到平面的距离h，利用求解.解答过程：依题意，的最小值即为点到平面的距离h，因为平面，平面，故，因为，，；由余弦定理，，故，所以；因为平面，平面，所以，则，，又，故为等边三角形，则，故，而，故．故选：B.二、多项选择题（每题6分，少选部分分，错选不得分）9.已知复数满足，则下列说法正确的是（）A.共轭复数 B.模长C.复数在复平面内对应的点位于第三象限 D.答案：BC解析：解答过程：由，得，所以，故A错误；，故B正确；在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限，故C正确；，故D错误.10.设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：ACD解析：思路：根据空间中的平行和垂直关系可判断选项.解答过程：A选项：根据线面平行的判定定理，可知A正确；B选项：若，则直线垂直于平面的一条直线，不满足线面垂直的判定定理，不能得出线面垂直，故B错误；C选项：根据线面平行的性质定理，可知C正确；D选项：若，因为，所以，则，故D正确．11.如图，在长方体中，，，点P是平面上的动点，满足（）A.长方体各棱、体对角线所在的条直线中,共有对异面直线B.点P在底面上的轨迹是一条直线C.若角是直线和平面所成角,则的最大值是D.不存在点,使得答案：ABC解析：思路：先按总对数减相交、平行对数算出异面直线对数判断A；再建系用向量垂直得轨迹方程，确定轨迹是直线判断B；线面角正切值与到距离成反比，用点到直线距离求最小值得最大值判断C；最后联立垂直条件与轨迹方程，判别式大于说明存在点，判断D错误，整体用空间向量与解析几何方法逐一验证选项．解答过程：对于A，长方体共有12条棱和4条体对角线，共16条直线，总直线对：，相交直线对：每个顶点有条棱相交，个顶点共；体对角线相交于中心，共，每条体对角线与6条棱相交，共，总计，平行直线对：每组平行棱有4条，共3组（长、宽、高），每组，共；体对角线无平行，所以异面直线对：，A正确；对于B，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，，，设，，，由，得，化简得，在平面内，这是一条直线方程，所以点P在底面上的轨迹是一条直线，B正确；对于C，直线和平面所成角为，设，，要使最大，即求最小，而是到原点的距离，的最小值为原点到直线的距离，，此时的最大值是，正确；对于D，，，若，则，即，联立，消去，得，，有实数解，所以存在点，D错误．第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（每题5分，共15分）12.水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是__________.答案：6解析：解答过程：依据斜二测画法可知，所以，又因为，，所以，，可得，那么原周长是.13.已知，是半径为2的的两条直径，且与成角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为_____．答案：解析：思路：在平面内过点作于，根据面面垂直性质定理证明，解三角形求结论.解答过程：由对称性，不妨设，在平面内过点作于，连接，由直二面角定义可得平面平面，又平面平面，平面，得平面，而平面，则，在直角中，，则，在中，，由余弦定理得，则在直角中，.14.已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______．答案：解析：思路：本题关键是结合正方体的结构特征与平面基本性质,分析截面为五边形的临界条件,再利用勾股定理将线段长度转化为所求变量的表达式,进而求解取值范围.解答过程：由题意知,，又，故.则.当时，可知，又，则，故平面截正方体所得的截面为四边形(如图)，当时，过点作的平行线交于点，可知平面截正方体所得的截面为四边形(如图),当时，过点作的平行线交的延长线于，交于点，连接交于点，可知平面截正方体所得的截面为五边形(如图3),综上所述，使得平面截正方体所得的截面为五边形时,即的范围为.四、解答题15.如图，在正方体中，分别为中点．（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面．答案：（1）；（2）证明见解析.解析：思路：（1）利用等体积法求解即可；（2）由线面平行的判定定理可得平面,平面,从而可得平面平面,根据面面平行的性质定理，即可得证.（1）因为；（2）证明：连接,由题意可得且，所以四边形为平行四边形，所以,又因为平面,平面,所以平面,同理可证平面,又因为平面，，所以平面平面,又因为平面，所以平面.16.在中，内角对应的边分别是，且（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）利用余弦定理得，进而求解；（2）由（1）知.，令，又为锐角三角形，得，进而得，进而求解.（1）在中，由余弦定理得，所以，而，解得，又，所以；（2）由（1）知.，令，由为锐角三角形，得，则；因此，所以的取值范围是．17.如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点．（1）求证：平面．（2）求异面直线与所成的角．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用四棱锥的几何形状，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明结论；（2）连接交于点，连接，利用几何法得出即为异面直线与所成的角，再利用勾股定理求出的各边边长，进而求出角．（1）四棱锥的底面是正方形，，底面，底面，，，平面，平面．（2）连接交于点，连接，在中，分别是中点，则，因此异面直线与所成的角即为或其补角，，，，，故是等边三角形，，异面直线与所成的角为．18.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明；（2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；（3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解.（1）因为且，所以四边形为平行四边形，则，又平面平面，所以平面；（2）由平面平面，得，连接，由且，所以四边形为平行四边形，又，所以平行四边形为正方形，所以，又，，又平面，平面，由平面，所以平面平面；（3）由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又因为平面，所以，故为二面角的平面角，即设，在中，，作，垂足为，由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面，则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角，在中，，所以，在中，，即直线与平面所成角的正弦值为.19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点.（1）求证：平面平面；（2）试作出二面角，并求二面角的正切值；（3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分）答案：（1）证明见解析（2）作图见解析，（3）解析：思路：（1）结合勾股定理，利用线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直；（2）结合直角三角形边长可确定为等边三角形，取中点可得底面，再过点作于点，结合线线垂直可证线面垂直，进而可得二面角的平面角，进而确定二面角正切值；（3）（法一）作平面，可得，，共线，再在平面作交于点，可得平面，设线交线于点，则，进而可证平面，即可得，易知，因为，所以与平面所成的最大角的正弦值为；（法二）过点作交于点，连接，.设，，，可得.又，，，于是.（