2025~2026学年河北省唐山市迁安市高二下册5月期中考试数学试题【含答案】

/数学考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果函数在处的导数为1，则（）A.1 B. C.2 D.2.若随机变量的分布列为0120.30.4则（）A.0.3 B.1 C.3 D.43.游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（）A.336 B.120 C.56 D.244.（）A. B. C. D.5.在的展开式中的系数为（）A. B. C. D.6.三个数的大小顺序为（）A. B. C. D.7.若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（）A.1120 B. C. D.4488.已知函数及其导函数满足，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知事件A，B满足，，则下列选项正确的是（）A.若，则 B.若A与B互斥，则C.若A与B相互独立，则 D.若，则A与B相互独立10.若，则（）A. B.C. D.11.将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（）A.若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法B.若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法C.若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法D.若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在横线上.12.已知函数在处取得极值，则实数a的取值为_____．13.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为________．14.若直线与曲线相切，则的最小值为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间和极值．16.3个女生（含甲）和4个男生（含乙）排成一排．（1）其中甲必须排在中间的排法有多少种？（2）如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法？（3）如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法？（4）如果选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法？17.甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数.（1）求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率；（2）若，求随机变量的分布列、数学期望、方差.18.飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3，0.2，0.4，0.1.现搜救部门打算逐个搜索这四个区域.若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为0.8，0.7，0.75，0.9.求：（1）首先应该搜索哪个区域？（2）若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少？19.已知函数，其中，（1）求的最小值；（2）若，求的取值集合；（3）若，其中，求的最大值．

数学考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果函数在处的导数为1，则（）A.1 B. C.2 D.答案：C解析：思路：由极限的性质结合导数的定义计算即可.解答过程：因为函数在处的导数为1，所以，故选：C2.若随机变量的分布列为0120.30.4则（）A.0.3 B.1 C.3 D.4答案：D解析：思路：应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解.解答过程：因为分布列得出，所以，所以，所以.故选：D.3.游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（）A.336 B.120 C.56 D.24答案：D解析：思路：利用插空法可得结果.解答过程：在空置的5个车位的4个间隔安排三辆不同的车，故选：D.4.（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：.5.在的展开式中的系数为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求出展开式的通项为，展开式中的项有和，系数相加即可求解.解答过程：展开式的通项为，展开式中项为和，所以的展开式中的系数为，故选：C6.三个数的大小顺序为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：构造函数并求导，利用导数分析函数的单调性和最大值，从而得出，再利用对数的运算性质计算求出的大小关系，从而判断的大小顺序．解答过程：已知，构造函数，求导得，当时，，故，函数单调递增；当时，，故，函数单调递减；在处取得极大值，即为最大值，，即，，故，．7.若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（）A.1120 B. C. D.448答案：C解析：解答过程：由题意得，故，则展开式的通项为且，令，则，所以展开式中第6项系数为.8.已知函数及其导函数满足，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：构造，根据导数的运算公式可求出及，再根据求出，最后解不等式即可.解答过程：由题易知不满足不等式，当时，令，则，，，（为常数），故，又，，解得，.不等式，即，得，解得或.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知事件A，B满足，，则下列选项正确的是（）A.若，则 B.若A与B互斥，则C.若A与B相互独立，则 D.若，则A与B相互独立答案：BD解析：思路：对A根据，则；对B，根据互斥事件的性质得，对C，根据独立事件的特点则可计算出，对D，根据条件概率公式计算出，再利用相互独立事件的定义即可判断.解答过程：对于A,因为,所以；故A错误,对于B,因为与互斥,所以,B正确,对于C,因为与相互独立,所以,故C错误;对于D,因为,即,所以,又因为,所以,所以与相互独立，故D正确.故选：BD.10.若，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：本题核心方法是赋值法，通过代入不同的值得到对应等式，再对等式运算得到所求系数和。解答过程：选项A：令，代入原式得，故A错误；选项B：令得①式：；令得②式：，①+②得，即，故B正确；选项C：①②得，即，故C正确；选项D：令，代入原式得，移项得，故D正确.11.将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（）A.若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法B.若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法C.若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法D.若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法答案：AB解析：解答过程：对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确；对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则和同色，和同色，则共有种不同涂法，故B正确；对于C，因4种不同颜色全部用上，，同色，相邻区域不同色，故可以先涂，区域，有种涂法，因三个区域都与，相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误；对于D，按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，因，不同色（只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能与同色，此时共有24种涂法，故D错误.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在横线上.12.已知函数在处取得极值，则实数a的取值为_____．答案：或1解析：思路：对函数求导，利用求参数值，再注意验证极值情况，即可得.解答过程：由题设，且，所以，可得或，当，则，，或，所以在、上单调递减，在上单调递增，此时处取极大值，满足题设，当，则，或，，所以在、上单调递增，在上单调递减，此时处取极小值，满足题设，综上，或.13.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为________．答案：解析：思路：从甲袋任取两个球分三类情况，再计算乙袋中取出的是2个红球的概率即可.解答过程：甲袋任取两个球的可能性有三种：甲袋取出2个白球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：；甲袋取出1个白球、1个红球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：；甲袋取出2个红球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：，故从乙袋中取出的是2个红球的概率为：.故答案为：.14.若直线与曲线相切，则的最小值为________．答案：##解析：思路：利用相切构造方程①，利用导数的几何意义构造方程②，联立①②得出关系，一元化，求最小值．解答过程：已知直线与曲线相切，设切点横坐标为，则①，曲线求导得，则②，解得，代入①得，，故，，当时，取得最小值，最小值为．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间和极值．答案：（1）（2）单调递增区间为和，单调递减区间为和；极大值为，极小值为解析：思路：（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；（2）讨论导数的正负，求出单调区间，从而求出极值.（1）由题意知，则所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）的定义域为，由（1）知，令，得或；令，得或，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和．易知的极大值为，极小值为．16.3个女生（含甲）和4个男生（含乙）排成一排．（1）其中甲必须排在中间的排法有多少种？（2）如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法？（3）如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法？（4）如果选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法？答案：（1）720（2）720（3）3600（4）432解析：（1）因为甲必须排在中间，只有1种排法，其他6人全排列，排法有种，故甲必须排在中间的排法有720种.（2）将3个女生看成一个整体，与4个男生全排列，此时相当于5个元素全排列，有种，3个女生内部全排列有种，故女生必须全排在一起有种.（3）7人全排列，排法有种，将女生甲和男生乙看作一个整体，与其余5人全排列，此时相当于6个元素全排列，有种，女生甲和男生乙内部交换位置有种，故女生甲和男生乙相邻的排法有种，故女生甲和男生乙不能相邻的排法有种.（4）从3个女生中选出2个的选法有种，从4个男生中选出2个的选法有种，选2个女生和2个男生的选法有种，将选出的4人全排列有种，故选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲有种.17.甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数.（1）求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率；（2）若，求随机变量的分布列、数学期望、方差.答案：（1）（2）分布列见解析，解析：思路：（1）分别计算甲答对2道题、乙答对2道题的概率，相乘即可；（2）将问题分解为甲、乙分别答对的题目数，分别求概率再相乘即可列出分布列，进而利用期望和方差公式计算即可.（1）甲答对2道题的概率为，乙答对2道题的概率为，故“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率为.（2）由题意知可取1，2，可取0，1，2，故可取1，2，3，4，，，，，故的分布列为：1234期望，方差.18.飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3，0.2，0.4，0.1.现搜救部门打算逐个搜索这四个区域.若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为0.8，0.7，0.75，0.9.求：（1）首先应该搜索哪个区域？（2）若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少？答案：（1）丙区域（2）飞机落入甲区域的概率为，落入乙区域的概率为，落入丙区域的概率为，落入丁区域的概率为解析：思路：（1）由条件概率计算公式逐个计算概率即可求解；（2）设事件A为“首次搜索未在丙区域发现飞机”，事件为“飞机坠落在甲区域”，事件为“飞机坠落在乙区域”，事件为“飞机坠落在丙区域”，事件为“飞机坠落在丁区域”，由全概率公式及贝叶斯公式逐个计算即可