2025~2026学年山东省泰安市新泰中学高一下册期末模拟数学试题【含答案】

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知是同一平面内不同的三点，且，若，则（）A. B. C. D.3.已知一组数据的极差为，则（）A.的最小值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最大值为4.在正四面体中，E，F，G分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.5.已知两个随机事件A，B相互独立，，则（）A.0.68 B.0.76 C.0.88 D.0.986.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则边上的中线长度的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（）A. B. C. D.8.已知O是所在平面内一点，且，，的面积S满足，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.若，则10.已知a，b为异面直线，，为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（）A.对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行B.对于任意一点O，都存在过点O的直线与a，b都垂直C.若，，则D.若，则11.在长方体中，底面为正方形，，，，分别为棱，的中点，设过点的平面为，，则（）A.B.截长方体所得截面为五边形C.截长方体所得截面的周长不超过12D.与平面所成的锐二面角的正切值为5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某新能源科技公司研发团队共有36名成员，其中女性成员12人．现按比例采用分层随机抽样的方法抽取6人参加国际清洁能源峰会，则被选中的男性成员人数为__________．13.光明中学举办演讲比赛，其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第60百分位数和第70百分位数的和为______．14.如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数（）．（1）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若为正实数，是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值．16.不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为．（1）求m的值．（2）现进行两次取球．（ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率；（ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率．17.某市组织数学建模大赛，从参加比赛的名学生中随机抽取名学生的成绩进行样本分析（满分为分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中．（1）求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据成绩，准备给成绩较高的的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分；（3）若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求落在中的样本数据的平均数和方差．18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求C．（2）．（ⅰ）若的周长为，角C的平分线交于点D，求的长；（ⅱ）若为锐角三角形，，求的取值范围．19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值．（2）若M为棱上一点，且平面，（ⅰ）试确定点M的位置；（ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，则的虚部为.2.已知是同一平面内不同的三点，且，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：已知，则，由于，因此.3.已知一组数据的极差为，则（）A.的最小值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最大值为答案：C解析：解答过程：因为数据的极差为，且，所以的最大值为，最小值为．4.在正四面体中，E，F，G分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：作出异面直线所成角，解三角形求得正确答案.解答过程：由于分别是中点，所以，可得是异面直线与所成角（或其补角），设正四面体的边长为，则，，所以.5.已知两个随机事件A，B相互独立，，则（）A.0.68 B.0.76 C.0.88 D.0.98答案：C解析：解答过程：事件，相互独立，，，;.6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则边上的中线长度的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先根据余弦定理用表示边上的中线，再根据单调性求解.解答过程：设边上的中点为，连接，设，，则由余弦定理，，，而，所以，化简得：，即，解得：，即，又因为，所以，将，代入得：，关于单调递减，在中，，所以，，所以的取值范围是.7.已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先确定球的球心在上，再根据三角形相似确定球的半径，即可确定所求球的表面积.解答过程：如图所示，为底面的中心，由图形的对称性可知球的球心在线段上，因，则，，在中，如图作于点，设球的半径为，则，，易得与相似，则，即，解得，因此，球的表面积为.8.已知O是所在平面内一点，且，，的面积S满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先利用向量运算化简两个向量等式得，即点O是的外心，所以，再由结合三角形面积公式和向量数量积公式即可求解.解答过程：因为，所以，即，所以，即，所以，故，因为，所以，即，所以，即，所以，故，所以，即点O是的外心，所以，因为，所以，所以，因为，所以，故.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.若，则答案：ABC解析：解答过程：A选项，因为，所以，故A正确；B选项，若，则，得，故B正确；C选项，因为，所以，得，故C正确；D选项，若，则，得，故D错误.10.已知a，b为异面直线，，为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（）A.对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行B.对于任意一点O，都存在过点O的直线与a，b都垂直C.若，，则D.若，则答案：BC解析：思路：根据空间线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.解答过程：A选项，若，，则或，与矛盾，所以A选项错误.B选项，如图所示，过上一点，作，则确定一个平面，设这个平面为，对任意一点，都可以作平面的一条垂线，设垂线为，则,所以，所以B选项正确.C选项，假设平面，由，得；由，得，推得，与为异面直线矛盾，故无交线，即，C正确.D选项，构造反例：取平面，在内作直线，内作直线，令，此时两平面平行不垂直，故D错误.11.在长方体中，底面为正方形，，，，分别为棱，的中点，设过点的平面为，，则（）A.B.截长方体所得截面为五边形C.截长方体所得截面的周长不超过12D.与平面所成的锐二面角的正切值为5答案：ABD解析：思路：选项A：通过延长线构建辅助点，利用相似三角形的对应边成比例关系计算即可；选项B：利用辅助线确定所有顶点的位置，顺次连接得到截面多边形；选项C：利用勾股定理计算的长度和即可；选项D：结合图形确定二面角的平面角.利用等面积法求出点到交线的距离，结合已知高度在直角三角形中利用正切公式求解.解答过程：对于A ：如图，连接并延长交的延长线于点，则，，连接交于点，则，所以.又，所以，，故A正确.对于B ：延长交的延长线于点，则，所以.连接交于点，则，则，则.所以以截长方体所得截面为五边形，故B正确.对于C ：五边形的周长为.其中：，，，，，所以五边形的周长为，故C错误.对于D ：过点作于点，由等面积法可得.连接，由平面，平面，可得,且，平面，故平面，平面，所以，所以即为二面角的平面角，即与平面所成的锐二面角，且.即与平面所成的锐二面角的正切值为5，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某新能源科技公司研发团队共有36名成员，其中女性成员12人．现按比例采用分层随机抽样的方法抽取6人参加国际清洁能源峰会，则被选中的男性成员人数为__________．答案：4解析：解答过程：某新能源科技公司研发团队男性成员有人，则男性成员女性成员，被选中的男性成员人数人.13.光明中学举办演讲比赛，其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第60百分位数和第70百分位数的和为______．答案：解析：思路：根据百分位数的求法求得正确答案.解答过程：，所以第60百分位数是.，所以第70百分位数是.所以第60百分位数和第70百分位数的和为.14.如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______．答案：##解析：思路：根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解.解答过程：在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF，显然是的中点，则，是与所成的角或其补角，在中，，，，，，所以直线与直线所成角的正切值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数（）．（1）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若为正实数，是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据对应点所在象限列不等式，由此求得的取值范围.（2）先求得，然后根据虚根成对以及根与系数关系求得，进而求得.（1）若复数在复平面内对应的点在第四象限，则，解得，即.（2）由于为正实数，所以，解得，所以，而是方程的一个根，所以也是方程的一个根，所以，即，所以.16.不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为．（1）求m的值．（2）现进行两次取球．（ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率；（ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：（1）由题可知每次黄球被取出的概率为，解得．（2）（ⅰ）因为每次黄球被取出的概率为，且两次取出的球的颜色相互独立.所以恰有一次取出黄球的概率为．（ⅱ）由题可知，每次红球和绿球被取出的概率均为，且两次取出的球的颜色相互独立.所以这两次取出的球的颜色相同的概率为．17.某市组织数学建模大赛，从参加比赛的名学生中随机抽取名学生的成绩进行样本分析（满分为分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中．（1）求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据成绩，准备给成绩较高的的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分；（3）若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求落在中的样本数据的平均数和方差．答案：（1），众数为（2）分．（3）；解析：思路：（1）由概率之和为以及即可求解，由频率分布直方图的众数计算方法计算即可；（2）先分析一等奖所在区间，根据题意建立方程求解即可；（3）由分层随机抽样的平均数和方差公式计算即可.（1）依题意可知，，又，解得，由图可知样本数据的众数落在区间内，所以估计样本数据的众数为125．（2）由（1）可知，即成绩落在中的频率为，成绩落在中的频率为0.25，则获得一等奖学生的最低分应落在中．设获得一等奖学生的最低分为x，则有，解得，即估计获得一等奖学生的最低分约为138分．（3），.18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求C．（2）．（ⅰ）若的周长为，角C的平分线交于点D，求的长；（ⅱ）若为锐角三角形，，求的取值范围．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）根据两角和的正弦展开公式和正弦定理化简原式并求解即可；（2）（ⅰ）根据周长和余弦定理建立关于的方程并求解，再结合面积公式求解；（ⅱ）通过向量运算建立和的方程，进而根据正弦定进行边角转化，再利用三角函数求解范围.（1），即，由正弦定理可得，又，所以，因为，所以，所以，即，又，所以．（2）（ⅰ）因为，的周长为，所以，由余弦定理可得，即，即，得，所以的面积为，则，所以．（ⅱ）因为，所以E是的中点，所以，则，又，所以，由正弦定理可得，所以，，所以．因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，所以，则的取值范围是．19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值．（2）若M为棱上一点，且平面，（ⅰ）试确定点M的位置；（ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值．答案：（1）