湖北省襄阳部分学校2025-2026学年高二数学上学期12月质量检测试卷（含答案）

考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点关于xOy平面的对称点的坐标为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据空间点关于平面的对称点特点即可得到答案.【详解】点关于xOy平面的对称点是，所以点关于xOy平面的对称点的坐标为．故选：C．2.椭圆的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义进行求解即可.【详解】因为椭圆方程为，所以，所以.所以焦点坐标为.故选：C.3.在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量的线性运算可得结果.【详解】.故选：A.4.已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程定义即可得到答案.【详解】因为点在上，，所以点到的准线的距离为5，所以点到直线的距离为7．故选：A．5.已知圆与圆相交，则a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两圆相交的判断方法得到不等式组，解出即可.【详解】由题知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，．若圆和圆相交，则，解得或．故选：C．6.已知点到直线和的距离之积为3，记的轨迹为曲线，则（）A.是两条互相垂直的直线 B.是焦点在轴上的椭圆C.是离心率为2的双曲线 D.上的点与原点之间的距离不小于2【答案】D【解析】【分析】利用点到直线的距离公式，结合已知条件，得到轨迹方程，对各选项分析即可.【详解】设点，由题意知，即，故点的轨迹为和，这两个方程分别表示焦点在轴和轴上的双曲线，离心率分别为和2，故A，B，C均错误；因为双曲线上的点到原点的距离不小于双曲线的顶点到原点的距离，两个双曲线的顶点坐标分别为和，所以C上的点与原点之间的距离不小于2，D正确．故选：D．7.已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（）A1 B.2 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】利用点差法得到关于的方程，解出后验证即可.【详解】设，两点的坐标分别为，，则，又两式作差得，故，所以，解得．此时椭圆方程为，联立直线方程有，，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意.故选：B．8.已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果.【详解】由，得，所以．由四点共面，知，解得．又，，∵，∴．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程可能为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】先分析直线斜率不存在情况，再设点斜式，根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出即可.【详解】由题知圆的圆心为，半径为2．①当直线的斜率不存在时，直线与圆相切，满足题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为．综上直线的方程为或．故选：AC．10.已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，，分别是C的左、右焦点，过点的直线与C交于A，B两点（异于C的左、右顶点），则（）A.C的方程为 B.的周长为8C.的最大值为6 D.当A为C的上顶点时，【答案】ABD【解析】【分析】对A，根据椭圆长轴和短轴的定义即可得到椭圆方程，对B，根据椭圆定义即可判断；对C，根据基本不等式即可判断；对D利用椭圆定义和余弦定理即可得到弦长.【详解】对A，由题知，，即，，所以的方程为，A正确；对B，的周长为，B正确；对C，由题知，所以（当且仅当时取等号），C错误；对D，当为椭圆的上顶点时，2，设，则，，则，则，在中，由余弦定理，得，解得，所以，D正确．故选：ABD．11.如图，在棱长为2的正方体中，点P是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则（）A.当P，B，C不共线时，三棱锥体积的最大值为1B.AB与所成角的最小值为C.当与底面ABCD所成的角为时，BP的最小值为D.当时，点P的轨迹长度为【答案】BC【解析】【分析】建立合适的空间直角坐标系，分析出面积最大时，三棱锥体积最大即可判断A；根据线线角的向量表示并结合函数单调性即可判断B；找到点的轨迹即可得到最小值；根据计算得，则得到其轨迹长.【详解】对A，如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设点的坐标为，则．当点在上时，的面积最大，为，所以三棱锥体积的最大值为，A错误；对B，，又，所以，当，时取等号，所以与所成角的最小值为，B正确；对C，连接，由平面，知为与底面所成的角．由，得，所以点在以点为圆心，2为半径的圆上，所以的最小值为，C正确；对D，由，得，整理得，令，则，令，则，所以点的轨迹长度为，D错误．故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，若，则________．【答案】4【解析】【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求得答案.【详解】由，知，所以．故答案为：413.已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】首先求解点关于直线的对称点，再根据即可求解答案.【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即，则．故答案为：14.如图，双曲线：的左焦点为，过原点的直线与交于，两点（点位于第二象限），为的中点，直线为的一条渐近线，且，则直线的方程为________．【答案】【解析】【分析】根据双曲线的对称性及中点，得到，结合为的一条渐近线，得到，进而得到，最后在中利用余弦定理得到、之间的关系，最后求出渐近线方程.【详解】设的右焦点为，连接，.因为，分别是，的中点，所以．又直线是的一条渐近线，所以，故．由双曲线的对称性，得．由，得．又，所以，．在中，由余弦定理得，整理得，所以，，所以直线方程为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知双曲线．（1）求实数m的取值范围；（2）若C的离心率为，求实数m的值．【答案】（1）（2）或2【解析】【分析】（1）根据双曲线标准方程，可知，即可得答案.（2）分别讨论和两种情况，根据离心率公式，代入数据，即可得答案.【小问1详解】由双曲线的标准方程，知，解得或，所以实数m的取值范围是.【小问2详解】①当时，，解得；②当时，双曲线C的标准方程为，则，解得．故实数m的值为或2．16.已知圆M经过三点，，，O为坐标原点．（1）求圆M的标准方程；（2）过原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）假设圆的一般方程，代入三点坐标即可得到方程，再转化为标准圆方程即可；（2）首先验证斜率不存在的情况，再设，根据弦长公式得到方程，解出即可.【小问1详解】设圆的一般方程为，其中，代入，，三点的坐标，得解得.所以圆的一般方程为，故圆的标准方程为．【小问2详解】若直线的斜率不存在，令，得，则直线被圆截得的弦长为，不合题意；直线的斜率存在，设直线的方程为，由直线被圆截得的弦长为，得圆心到直线的距离为，即，解得，故直线的方程为或．17.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，，，，，点M满足．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的平面角的大小；（3）求点A到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接．由线段成比例得到线线平行，然后得到线面平行；（2）由空间中三条线两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到点坐标和向量坐标，由空间向量的数量积求得两个平面的法向量，由法向量的数量积求得面面角；（3）由（2）中结论求向量在平面法向量上的投影长，从而得到点到面的距离.【小问1详解】如图，连接，交于点，连接．因为，，则，故．又，所以．因为平面，平面，所以平面．【小问2详解】∵平面，平面，平面，∴，，又∵，，∴故以为原点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，于是，，，设平面的一个法向量为，则，故可取，设平面的一个法向量为，则故可取，因，而，则，由图知，平面与平面所成二面角为钝二面角，故该二面角的平面角应为．【小问3详解】由（2）知，平面的一个法向量为，故点到平面的距离为．18.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且，O为坐标原点．（1）求C的方程；（2）若直线与C的准线交于点P，过点P作直线交C于M，N两点，且直线与的倾斜角互补．（ⅰ）求直线所过定点的坐标；（ⅱ）证明：A，B，M，N四点共圆．【答案】（1）（2）（ⅰ）直线过定点；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）设直线的方程为，联立抛物线方程得到韦达定理式，再代入向量数量积的坐标表示式即可得到方程，解出即可；（2）（i）求出的坐标为，再根据倾斜角和斜率关系得直线的方程，化简即可得到定点；（ii）联立方程得到方程，计算直线与直线的斜率乘积得其互相垂直，则得到点的轨迹即可证明四点共圆.【小问1详解】由题知，设两点的坐标分别为，显然直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为，联立方程消去整理得，则，，，所以，所以，解得，所以的方程为．【小问2详解】（ⅰ）由（1）知的准线方程为，直线的方程为，令，得，即点的坐标为，由直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，知直线的斜率为，故直线的方程为，即，故直线过定点．（ⅱ）设点的坐标为．联立方程消去后整理得，故，由（1）知，，直线的斜率为，同理可得直线的斜率为．又，所以直线与直线互相垂直，故点在以线段为直径的圆上，同理可得点在以线段为直径的圆上，故，，，四点共圆．19.如图，在直三棱柱中，，，点M，N分别是，的中点，点P是线段BM上的点．（1）证明：；（2）求三棱柱体积的最大值；（3）当三棱柱的体积取得最大值时，求直线AP与所成角的余弦值的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）通过证明平面即可求解；（2）设，，进而得到，再根据三棱柱的体积即可求解；（3）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设，进而得到