四川省资阳市2026届高三数学下学期4月适应性考试（含答案）

一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数满足，则（

）A． B．2 C． D．53．已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下：设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（

）A．， B．，C．， D．，5．记为等差数列的前项和，若，，则（

）A．15 B．21 C．28 D．366．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点，，分别在棱，，上，其中，，，则几何体的体积为（

）A． B． C． D．7．已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知函数则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为 B．C． D．若将的图象向右平移个单位，则所得函数是偶函数10．某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目．在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择．设事件“甲选打球”，“甲选唱歌”，“乙选跳舞”，则（

）A．与互斥 B．C．与相互独立 D．11．如图（1），菱形的边长为，，现将沿翻折至，连接，得到如图（2）所示的三棱锥，在该三棱锥中，下列说法正确的有（

）A．B．若，则C．当三棱锥体积最大时，与平面所成角为D．若在平面内的射影为的垂心，且，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为三、填空题12．在的展开式中，含项的系数为________．13．已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长等于，则______．14．给出如下定义：函数的定义域为，若，使得，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则实数的最小值为________．四、解答题15．记的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)若，，求的面积．16．如图，在四棱锥中，平面，，，．(1)证明：平面；(2)若，为的中点，为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值．17．已知函数在处有极大值．(1)求实数的值；(2)证明：．18．甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：每次传球时，甲等可能地将球传给乙、丙；乙传给甲、丙的概率分别为，；丙传给甲、乙的概率分别为，．第1次由甲将球传出，记第次传递后球在甲手中的概率为．(1)求，；(2)求；(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则．记前次（即从第1次到第次）传递后球在甲手中的次数为，求．19．已知抛物线的焦点为，点．条件①：动点在抛物线上，的最小值为3；条件②：过点的直线交抛物线于，两点，且．从条件①，②中再选一个作为已知条件，解答以下问题：(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线交抛物线于，两点．（i）点能否成为的重心（为坐标原点），若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由；（ii）直线上是否存在定点，使得．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B【详解】集合，解不等式，得：，所以集合，又因为，所以.2．C【详解】因为，所以，所以.3．A【详解】当时，向量，，则，所以，即充分性成立；若，可得，可得或,因此必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.4．A【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则；甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则．5．B【详解】因为为等差数列，所以，又因为，所以，，则公差，则：.6．C【详解】正三棱柱所有棱长为，底面正的面积，高，由题意得：，，.如图连接，将几何体分为和，，梯形的面积.四棱锥以为底面的高等于三角形的高，所以.几何体体积为.7．D【详解】由题意可得，,由题意可知四边形是正方形，所以与垂直且平分，即，因为在椭圆上，所以，即，所以椭圆的离心率为.8．D【详解】当时，当，，所以求导得，斜率，所以方程为，整理得.9．ACD【详解】由图象可知，，得，函数的最小正周期为，时，，得，，且，所以，所以，C正确；函数的最小正周期，A正确；，B错误；将的图象向右平移个单位，得到函数，为偶函数，故D正确.10．BD【详解】对于A，甲可以同时选打球和唱歌，，故与不互斥，故A错误，对于B，先从4个项目中选择个给其中一个人，有种选法，再将这个项目与另外两个项目全排列，分给甲、乙、丙3名学生，有种排法，根据分步乘法计数原理可得总的样本数为种,甲只选唱歌，此时从剩下个项目给乙、丙，有种；甲只选唱歌和另外一个项目有种，此时从剩下个项目给乙、丙，共有种，故，故B正确，对于C，乙只选跳舞，此时从剩下个项目给甲、丙，有种；乙选跳舞和另外一个项目有种，此时从剩下个项目给甲、丙，有种，故，甲选唱歌且乙选跳舞，此时有种情况，，，故与不相互独立，故C错误，对于D，，故D正确.11．ABD解：对于A，设中点为，连接，，，又平面，平面，又平面，，故A正确；对于B，设的中点为，连接，四边形为菱形，，为等边三角形，，又，平面，平面，又平面，，又为中点，，易得为等边三角形，故三棱锥为正四面体，，又平面，平面，又平面，，故B正确；对于C，当平面平面时，三棱锥体积最大，又，平面平面，平面，就是直线与平面所成角，又，，则与平面所成角为，故C错误；对于D，在平面内的射影为的垂心，为等边三角形，则三棱锥为正四面体，棱长为，设外接球球心为，半径为，的垂心为，的中点为，，，，解得，，，的中点为，，，，因此三棱锥的外接球球心到过点的该球的截面距离最大值为，截面最小半径，面积为，故D正确．12．【详解】的展开式的通项公式为，令，解得，所以，所以含项的系数为.13．【详解】根据题意，双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，即，圆的圆心为，半径为（），所以圆心为到渐近线的距离为，因为渐近线被圆所截得的弦长等于，所以，即，整理得，所以，又，解得.14．/【详解】由题意函数具有性质，即存在，满足：，代入得：，即，整理得：因为存在满足等式，分离参数得：，令，换元化简：，由基本不等式，对，，当且仅当（即）时取等号，代入得：因此实数的最小值为.15．(1)(2)【详解】（1）根据正弦定理​，可得，结合已知条件，得，即，又，代入整理得：，又，，即，所以；（2）由余弦定理，代入，，，得：，​​化简得：，由边长为正得，则，代入三角形面积公式.16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为，所以，又因为，所以是等腰直角三角形，所以，，所以，在中，由余弦定理得，，即，所以，所以，所以是等腰直角三角形，所以，又因为，且，平面，所以平面（2）因为平面，平面，所以，又且，平面，所以平面，又平面，所以，所以以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.设，则有，，，，则，因为为的中点，所以，，因为为棱上靠近点的三等分点，所以，所以，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，记平面与平面夹角的余弦值为，所以.17．(1)(2)证明见详解【详解】（1）求导得，又在处有极大值，，解得或，当时，，时，；时，，故为极大值点，符合题意，当时，，时，；时，，故为极小值点，不符合题意，综上，实数的值为.（2）由（1）得，要证，即证对成立，令则，令，解得或，令，解得或，所以函数在和上单调递增，在和上单调递减，所以函数的极大值为和,且，,即对所有成立，成立.18．(1)；(2)(3)【详解】（1）第1次由甲将球传出，第次传递后球在甲手中的概率为．所以第次传球后，球在甲手中有两种情况：第1次甲将球传给乙，第2次乙将球传给甲，其概率为；第1次甲将球传给丙，第2次丙将球传给甲，其概率为；所以；第次传球后，球在甲手中，则第次传球后，球不在甲手中，所以.（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，设次传球后球在甲手中的概率为，，若发生，即经过次传球后，球再次回到甲手中，那么第次传球后，球一定不在甲手中，即事件一定不发生，则有，，必有，即，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即.（3）由题意次传球后球在甲手中的次数服从两点分布，且，所以，，由（2）得，则.19．(1)(2)（i）不能，理由见解析；（ii）存在，理由见解析【详解】（1）若选条件①，抛物线的准线方程为，焦点，过点作垂直准线于，根据抛物线的定义可知，则，当，，三点共线时，取得最小值，即，解得，所以抛物线的方程为；若选条件②，设直线的方程为，，，联立，，则，，由抛物线的焦点弦长公式，又因为，根据抛物线的定义可得，即，由，，且，可得，，联立解得，，代入，得，解得，所以抛物线的方程为；（2）（i）假设点能成为的重心，设，，由三角形重心的性质可知，，即，，设直线的方程为，联立