九年级数学中考一轮复习专题：几何图形的操作、变换与探究问题导学案

九年级数学中考一轮复习专题：几何图形的操作、变换与探究问题导学案

  一、课标要求与考情分析

  《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域明确要求，学生应经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。特别强调在“图形的变化”主题下，学生需通过具体实例认识平移、旋转、轴对称、相似等基本变换，探索并理解这些变换的基本性质，能运用图形的变换进行图案设计与几何推理。江苏地区的中考数学命题，历来以能力立意为导向，注重对数学思想方法和学科核心素养的考查。几何图形操作变化型问题，正是将“图形与几何”领域核心知识置于动态与探究情境下的综合载体。此类问题通常以学生动手操作（如折叠、剪拼、旋转）或图形在规则下的连续运动为背景，要求学生在变化的图形中识别不变量与不变关系，综合运用全等、相似、勾股定理、三角函数、方程与函数等知识进行推理、计算与探究。它深刻考查了学生的空间观念、几何直观、逻辑推理、数学抽象、数学建模及数学运算等核心素养，是区分学生数学综合能力高低的关键题型，在历届江苏中考的填空压轴题、解答压轴题中占据重要地位，复习备考必须予以高度重视。

  二、核心素养目标

  1.几何直观与空间观念：能够从复杂的图形操作与变化过程中，抽离出基本几何图形及其关系，在头脑中形成并操作图形的动态表象，准确绘制不同状态下的图形示意图。

  2.逻辑推理能力：能够根据图形变换（轴对称、平移、旋转、相似）的性质，严谨推导线段、角、面积等几何量之间的数量关系与位置关系，形成完整的证据链。

  3.数学抽象与建模能力：能够将操作过程中的动态几何条件，抽象为静态的数学关系（如方程、不等式、函数解析式），建立数学模型解决最值、取值范围、存在性等问题。

  4.数学运算能力：能熟练、准确地进行与几何图形相关的代数运算，包括比例运算、代数式化简、解方程（组）、求函数关系式及最值等。

  5.应用意识与创新意识：能将几何变换的知识与现实生活中的图案设计、工程测量等情境相联系，在探究性问题的解决中提出合理的猜想并验证，尝试多角度解决问题。

  三、教学重点与难点

  教学重点：

  1.图形三大变换（轴对称、平移、旋转）的核心性质及其在解决操作型问题中的直接应用。

  2.在动态几何背景下识别与构造全等三角形和相似三角形，并利用其性质建立等量关系。

  3.将几何图形操作中的变量关系，用函数思想进行刻画与分析，解决动态几何中的函数问题。

  教学难点：

  1.复杂多步骤操作或连续变化过程中，关键几何元素（点、线、形）运动轨迹的想象、分析与刻画。

  2.分类讨论思想的恰当运用，特别是在图形位置、形状不确定（如等腰三角形、直角三角形存在性）时，如何做到不重不漏地划分情况。

  3.综合性问题中，多个知识模块（如相似与圆、函数与方程）的有机融合与灵活转换。

  四、教学准备

  1.教师准备：精心设计的多媒体课件（内含动态几何软件制作的图形变换动画，如GeoGebra），用于清晰展示图形的动态变化过程；精选的例题、变式训练题及课后拓展探究题组；实物教具（如可折叠的矩形纸片）。

  2.学生准备：复习回顾八年级、九年级教材中关于图形的轴对称、平移、旋转、相似等章节的核心概念与性质；准备好直尺、圆规、量角器等作图工具；预习本导学案的知识梳理部分。

  五、教学实施过程

  （一）问题导入，唤醒经验（预计用时：8分钟）

  教学活动：教师出示一个简单的操作问题情境。

  情境呈现：有一张矩形纸片ABCD，其中AB=8cm，AD=6cm。点E是边BC上的一个动点。现将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在矩形内部点B’处。

  引导提问：

  1.折叠是一种什么图形变换？其本质性质是什么？（轴对称变换，对应线段相等、对应角相等、对称轴垂直平分对应点连线）。

  2.当点E在BC上运动时，点B’的位置随之变化。观察动画，你能发现哪些线段长度始终不变？哪些角的大小始终不变？（AB=AB’=8cm，∠BAE=∠B’AE等）。

  3.连接B‘D，请问B’D的长度可能是多少？它有最小值吗？为什么？

  设计意图：通过一个基础的矩形折叠问题，快速激活学生关于图形轴对称（折叠）变换的已有知识。第三个问题带有一定的开放性和探究性，旨在引发认知冲突，让学生初步感知在操作变化过程中，存在不变关系（如AB‘的长度不变），也存在变化的量（如B’的位置），而探究变化量之间的关系或最值正是本专题的核心。由此自然引出课题。

  （二）知识梳理，构建网络（预计用时：12分钟）

  教学活动：引导学生以思维导图或概念图的形式，系统回顾与图形操作、变化相关的知识体系。教师进行精讲与整合。

  核心知识模块：

  1.图形操作与变换的基石：

  （1）轴对称（折叠）：全等变换。核心性质：重合部分全等；对称轴垂直平分对应点连线；对应点连线平行（或共线）。

  （2）平移：全等变换。核心性质：对应点连线平行（或在同一直线上）且相等；对应线段平行（或共线）且相等。

  （3）旋转：全等变换。核心性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。

  （4）位似（缩放）：相似变换。核心性质：对应点连线交于同一点（位似中心）；对应线段平行（或共线）且比等于位似比。

  2.动态几何的“导航仪”：

  （1）不变性原理：在图形的运动变化中，始终保持着某些不变的量或关系。如：轴对称中的线段相等、角相等；旋转中的线段相等、角相等；动点按一定规律运动时形成的固定轨迹（如线段、圆弧、直线）。

  （2）极端化原理：考虑动点运动到边界位置（起点、终点、中点、垂直点等）时的特殊状态，这些状态往往是解决最值问题或发现一般规律的突破口。

  3.问题解决的“工具箱”：

  （1）全等与相似三角形：证明线段相等、角相等、比例关系的主要工具。在动态问题中，常需主动寻找或构造全等、相似形。

  （2）勾股定理及其逆定理：解决线段长度计算、证明垂直关系的基础。

  （3）锐角三角函数：在直角三角形中建立边角关系，常用于非特殊角的计算。

  （4）方程与函数思想：将几何量之间的关系代数化，通过设未知数、列方程求解特定值；通过建立函数模型研究变量间的依赖关系及最值。

  （5）分类讨论思想：当图形可能存在多种情况时，必须依据统一标准，有序、全面地进行讨论。

  设计意图：将零散的知识点系统化、结构化，帮助学生形成解决几何操作变化型问题的宏观策略视角。强调“工具”与“思想”并重，为后续的例题探究提供理论支撑和方法论指导。

  （三）典例精讲，深度探究（预计用时：60分钟）

  本环节是教学的核心，通过一组精心设计的例题，由浅入深，层层递进，揭示不同类型操作变化问题的解题思维路径。每个例题后跟进变式训练，实现举一反三。

  例题一：单点运动与折叠操作（基础模型构建）

  如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8。点E为边BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为B‘。

  （1）当点B’恰好落在对角线AC上时，求BE的长。

  （2）连接B‘C，求线段B’C长度的最小值。

  教师引导分析与解析：

  对于（1），引导学生分析折叠性质：AB‘=AB=6，∠AB’E=∠B=90°。当B‘落在AC上时，图中出现了一个重要的基本图形——“一线三直角”（或称“K字型”相似）。可设BE=x，则CE=8-x，B’E=x。在Rt△AB‘C和Rt△CEB’中，利用勾股定理或相似（△AB‘C∽△CEB’）建立方程求解。

  对于（2），这是动态几何中的典型最值问题。关键洞察：在点E运动过程中，AB‘=AB=6为定值，A为定点。因此点B’在以A为圆心、6为半径的圆（或圆弧，因B‘在矩形内部）上运动。问题转化为：圆A上一动点B’到定点C距离的最小值。根据“圆外一点到圆上各点距离最值”模型，连接AC交圆A于近C点B’‘，则B’‘C即为最小值。计算AC长度减去半径6即可。

  设计意图：本题涵盖折叠性质、方程思想、相似三角形、圆的基本模型（隐圆）和最值问题。通过（1）巩固基础计算，（2）引入“动点轨迹——隐圆”这一高级思维模型，提升学生从复杂动态中抽象出不变几何结构的能力。

  变式训练一：将矩形改为边长为6的菱形ABCD，∠A=60°，点E在BC上，将△ABE沿AE折叠，B对应B‘。求B’落在对角线BD上时BE的长。（变化图形背景，考查菱形性质与折叠的结合）

  例题二：图形旋转变换与函数关系建立（综合建模）

  如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3。点D是边AB的中点。将△ABC绕点D顺时针旋转α度（0<α<180），得到△A‘B’C‘，其中点A、B、C的对应点分别为A’、B‘、C’。

  （1）当α=90°，即A‘C’∥AB时，求重叠部分（四边形A‘EC’D，假设A‘C’与BC交于E）的面积。

  （2）在旋转过程中，设线段A‘B’与边BC交于点P，线段A‘C’与边BC交于点Q。设BP=x，CQ=y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围。

  教师引导分析与解析：

  （1）特殊位置分析。α=90°时，图形位置确定。需要学生准确画出旋转后的图形。利用中点D的性质及平行关系，可以证明四边形A‘EC’D是梯形或特殊四边形，通过解三角形求出相关边长和高，进而计算面积。此题锻炼学生的作图能力和在特定条件下综合推理计算的能力。

  （2）建立函数模型，这是本题的难点与精华。引导学生分析变化中的不变关系：旋转中心D是中点，旋转角α在变，但DA=DA‘，DB=DB’，且∠ADA‘=∠BDB’=α。关键是寻找y与x之间的联系桥梁。可以尝试以下思路：观察图形，发现可能与△BDP和△CDQ有关，但它们并不直接相似。需要引入中间量，如α角或相关线段。更高效的思路是利用“旋转相似”模型：连接DD‘（D’为C的对应点？需明确），或直接关注△B‘DP与△CDQ。实际上，由旋转可得∠B’=∠B，∠A‘=∠A，且DB’=DB，DC‘=DC。可以通过证明△B’DP∽△CDQ（需推导出一组对应角相等）来得到比例关系B‘P/CQ=B’D/CD。而B‘D=BD=AB/2，CD是Rt△ABC斜边中线等于AB/2，故B’D=CD。因此B‘P=CQ。接下来需要将B’P用已知量x表示。由于BP=x，AB=5（勾股定理），B‘的位置随α变化。需要利用旋转性质将B’P转换。注意到B‘是B绕D旋转α角得到，且A’B‘∥AB？不一定。更严谨的方法是：在旋转中，BD=B’D，且∠BDP=∠B‘DP’？关系复杂。另一种策略是引入参数α，用三角函数表示相关线段，再消去α。设∠BDP=θ，则在△BDP和△B‘DP中…此方法计算量较大。教师应引导学生探讨不同思路的可行性，最终聚焦于通过多次全等或相似进行线段转换的核心思想。通过细致分析，最终可建立y与x的关系。此过程深度训练学生的几何变换综合应用能力和代数建模能力。

  设计意图：本题涉及旋转性质、全等与相似、函数建模、参数思想，综合性极强。通过从特殊到一般的探究，让学生体会如何将复杂的连续变化过程，通过寻找不变量和不变关系，转化为可描述的数学函数模型。深刻体现数学的抽象与建模素养。

  变式训练二：将△ABC绕点C旋转，探索A‘B’与AB延长线的交点P，使得△CPB为等腰三角形，求旋转角的度数。（聚焦于旋转中的分类讨论问题）

  例题三：多步骤操作与拓展探究（压轴挑战）

  定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“互补等邻边四边形”。小明尝试通过图形操作来研究它。

  操作一：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC≠60°，延长BC至点D，使得DC=BC，连接AD。

  操作二：以AD为边作等边三角形ADE，连接CE。

  （1）求证：四边形ABDC是“互补等邻边四边形”。

  （2）探究线段CE与BC之间的数量关系，并说明理由。

  （3）在操作二的基砧上，将△ADE绕点A旋转一定的角度（大于0°小于360°），当点B、D、E三点共线时，请直接写出∠BCE的度数。

  教师引导分析与解析：

  本题属于新定义背景下的多步骤几何操作与探究题，是江苏中考压轴题的典型风格。

  （1）根据操作一，由AB=AC，DC=BC，易得BD=…，需严格证明BD=AB或BD=AC？实际上，四边形ABDC的边AB=AC，邻边相等条件满足。对角互补：需证∠ABD+∠ACD=180°。利用等腰三角形性质及平角定义可证。此问考查对新定义的理解和基本推理。

  （2）探究数量关系。观察图形，CE与BC（或BD、CD）可能存在的数量关系是倍数或和差关系。连接BE。由操作二知△ADE是等边三角形，结合（1）中条件，可尝试证明△ABE≌△ACD或△AEC≌△ADB。例如，证明△ABE≌△ACD：AB=AC，AD=AE，∠BAE=∠BAC+60°，∠CAD=∠BAC+60°，故∠BAE=∠CAD，从而△ABE≌△ACD（SAS）。于是BE=CD=BC。再看△BCE，已有BE=BC，且∠EBC的度数可由全等和等边三角形角推算，若为60°，则△BCE为等边三角形，CE=BC；若为其他值，则可能是其他关系。深入计算∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠ACD+∠ABC，结合（1）中的互补关系，可推导出∠EBC=60°，故△BCE是等边三角形，CE=BC=BE。此问综合运用了全等三角形、等边三角形性质及角的巧妙计算。

  （3）动态旋转下的多解探究。△ADE绕点A旋转，B、D、E三点共线有两种情况：点E在BD的延长线上，或点D在BE的延长线上（即B、E、D共线）。需要学生根据旋转角范围画出两种可能的图形。在每一种图形中，利用旋转后的等边△ADE，结合（1）（2）中已证的一些基本关系（如全等三角形在旋转后可能依然成立或变形），寻找∠BCE的度数。通常需要引入变量表示旋转角，通过三角形内角和、外角定理、等腰三角形性质等建立方程求解。此问对学生空间想象能力、分类讨论能力和复杂几何计算能力提出极高要求。

  设计意图：本题以“操作—探究”为主线，融合了新定义理解、几何作图与构造、全等三角形证明、等边三角形性质、动态旋转与分类讨论。它模拟了数学发现与研究的完整过程，要求学生不仅会解题，更能理解每一步操作背后的几何意义，并能将静态证明中获得的结论迁移到动态变化的情境中。这是对学生数学思维深度和灵活性的终极挑战。

  （四）方法提炼，形成策略（预计用时：10分钟）

  在完成例题探究后，师生共同总结解决几何图形操作变化型问题的通用策略与思维流程：

  1.审题定“性”：明确操作类型（折叠、剪拼、旋转、平移等），联想对应的图形变换性质。

  2.作图显“形”：根据题意，准确绘制初始图、操作过程图及关键状态图（如特殊位置、极限位置）。动态问题可“动中取静”，画出代表性瞬间的静态图形。

  3.溯源寻“本”：在变化中寻找不变量与不变关系（定长、定角、定比、全等形、相似形、固定轨迹等）。这是解决问题的锚点。

  4.建模用“具”：根据问题需求，选择合适的数学模型与工具。求证关系多用全等、相似；计算长度多用勾股、三角、相似比；探究变量关系考虑建立函数或方程；涉及最值联想到“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“圆外一点到圆上距离”等模型。

  5.讨论防“漏”：当问题涉及位置、形状不确定时，树立分类意识，确定分类标准，有序、全面探索所有可能情形。

  6.验证回“题”：得出结果后，结合题意和图形进行合理性验证（如线段长度是否为负，点是否在指定范围内等）。

  （五）课堂小结，反思升华（预计用时：5分钟）

  引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

  知识层面：我们系统复习了图形三大变换的性质及其在复杂几何问题中的应用。

  方法层面：我们掌握了解决动态几何操作问题的基本流程和策略，特别是“以静制动”（将动态问题转化为静态瞬间处理）和“以不变应万变”（抓住变化中的不变量）的思维方法。

  思想层面：本节课深刻体现了转化与化归思想（将复杂问题转化为基本模型）、数形结合思想（几何关系与代数表达式互化）、分类讨论思想、函数与方程思想。

  鼓励学生提出在本节课学习过程中仍存在的困惑，或分享自己独特的解题思路。

  （六）作业设计，分层递进（预计用时：课后完成）

  A组（基础巩固，全体必做）：

  1.将一张矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF。已知AB=3cm，BC=5cm，求△DEF的面积。

  2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在AB边上的点C‘处，求BB’的长度。

  B组（能力提升，中等及以上学生必做）：

  1.在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG。求证：△ABG≌△AFG，并求BG的长。

  2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2√2。将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，求BM的长。

  C组（拓展探究，学有余力学生选做）：

  1.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°。探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系。

  探究思路：将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG，使AB与AD重合，从而将BE、EF、FD转化到同一个三角形中（△AFG）进行探究……

  尝试应用：请直接运用上述背景中的结论，解决下列问题：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=½∠BAD。请判断BE、EF、FD之间的数量关系，并证明你的结论。

  拓展延伸：在“尝试应用”的条件下，若∠BAD=90°，AB=AD=6，BC=10，CD=4，求△CEF的周长。

  六、板书设计（纲要式）

  左侧主板书：

  专题：几何图形的操作、变换与探究

  一、变换基石

   1.轴对称（折叠）：全等，轴垂直平分连线

   2.平移：全等，连线平行且等

   3.旋转：全等，距等角等

   4.位似：相似，比等

  二、核心思维

   不变性（定心锚）

   极端化（探边界）

  三、典例策略

   例1（折叠+隐圆）：

    （1）勾股/相似→方程

    （2）定点定