2026高二数学暑假提升讲义（沪教）预习专题10 随机现象与样本空间(解析版)

预习专题10随机现象与样本空间

1.通过具体事例（实例），认识随机现象在自然界、社会中普遍存在，理解随机现象、样本空间、样本点、

事件（随机事件）的概念，提升数学抽象素养。（重点）

2.初步了解概率论的起源与发展历史，感悟数学的文化价值。（基础点）

3.能够写出具体实例的样本空间和事件，提升数学建模素养。（重点）

知识点1随机现象与确定性现象

1.现实世界有具有确定性的现象，对其可以预见确切的结果，但更多的是具有不确定性的现象，也就是无

法预知确切结果的现象。

2.具有不确定性的现象也称为随机现象，或者说具有随机性。与之相对的是确定性现象，即在一定条件下

必然出现或不可能出现的现象。

1.确定性现象

必然现象：在一定条件下必然会发生的现象，属于确定性现象。其结果是完全确定的，不存在任何随机性

或不确定性，例如，在实数范围内，一个非负实数的平方根必然存在（0的平方根是0，正数有两个互为相

反数的平方根）。

不可能现象：在一定条件下必然不会发生的现象，其发生的概率为0。它也是一种确定性现象，与必然现象

相对，明确地表示某种情况在给定条件下是绝对不会出现的。例如，在平面几何中，一个三角形不可能有

四个内角。

2.必然现象和不可能现象是两种极端情况，它们与随机现象共同构成了我们对各种自然和社会现象的分类

和认识基础，在概率统计以及其他众多学科领域中都有着重要的意义，帮助人们准确地描述和预测各种现

象的发生情况。

从0、1、2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对x,y，x为

第1次取到的数字，y为第2次取到的数字．

(1)写出这个随机试验的样本空间；

(2)写出“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间．

【答案】(1)W=0,1,0,2,1,0,1,2,2,0,2,1

(2)2,0,2,1

【分析】（1）写出样本空间；

（2）在（1）的基础上得到相应的样本空间.

【详解】（1）这个随机试验的样本空间为Ω=0,1,0,2,1,0,1,2,2,0,2,1.

（2）“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间为2,0,2,1.

知识点2随机试验

1.我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验。

（随机试验的特点）

（1）试验可以在相同条件下重复进行。

（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个。

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。

知识点3样本空间与样本点

1.一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现（发生）的结果所组成的集合称为一个样本空间，其中

的元素称为样本点，用W表示样本空间.

2.如果一个随机试验有n个可能结果1、2、、n，则称样本空间W={1,2,,n}为有限样本空

间，用W={1,2,,n}表示.

（1）样本空间相当于集合中的全集，样本点是其元素。

（2）同一个试验，由于观察结果的角度不同，其样本点、样本空间一般也会不同。

（3）无限样本空间：有些试验的样本点有无限多个，类似于集合中的无限集合，只是这类试验不在本书

的范围内。

用举例法写样本点时要按照一定的顺序进行，防止遗漏，注意每个样本点的书写顺序。

连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面．

(1)写出这一随机试验的样本空间；

(2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集．

【答案】(1){（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，正，正），

（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）}

(2){（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）}

【分析】（1）用(x,y,z)表示结果，其中x,y,z分别表示第1枚，第2枚，第3枚硬币出现的结果，然后利

用列举法求解即可；

（2）利用（1）直接求解.

【详解】（1）用(x,y,z)表示结果，其中x,y,z分别表示第1枚，第2枚，第3枚硬币出现的结果，

则试验的样本空间为：{（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反），

（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）}；

（2）由（1）可知“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集为

{（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）}.

一个口袋中有大小与质地相同的1个白球、2个黑球、3个红球，从中任取2个球，观察

球的颜色．写出样本空间及与下列事件相应的基本事件子集：

(1)含有白球；

(2)至少含有1个黑球．

【答案】(1)全体样本空间为：{（白,黑）,(黑,黑）,（白,红）,（黑，红）,（红，红）};含有白球为：{（白,

黑）,（白,红）}.

(2)至少含有1个黑球为：{（白,黑），（黑,黑），（黑，红）}.

【分析】根据题意，列出全体样本空间和相应基本事件的子集即可.

【详解】（1）从1个口袋中有大小与质地相同的1个白球、2个黑球、3个红球，

从中任取2个球,则全体样本空间为：{（白,黑）,(黑,黑）,（白,红）,（黑，红）,（红，红）};

其中含有白球为：{（白，黑）,（白,红）};

（2）由（1）知，至少含有1个黑球为：{（白,黑）,（黑,黑）,（黑，红）}.

知识点4随机事件（拓展）

1.随机事件

定义：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示。为了叙述方便，

我们将样本空间W的子集称为随机事件，简称事件。

随机事件的表示：一般用大写字母A、B、C、表示。在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，

称为事件A发生。

2.不可能事件

空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件。

3.必然事件

W作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以W总会发生，我们

称W为必然事件。

（1）事件与样本点

随机事件是以样本点为元素的集合，含一个或多个样本点，是样本空间W的子集。样本点是试验中最简

单的事件，只含一个样本点，在一次试验中，有且只有一个样本点发生，而样本空间的单点集称为样本

点。所以，一旦试验的样本空间确定，样本点就明确了。

（2）三种事件的关系

必然事件与不可能事件不具有随机性。为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两

个极端情形，这样，每个事件都是样本空间W的一个子集。

抛掷100枚同一类型且质地均匀的硬币，下面的陈述哪些是正确的，哪些是错误的？

(1)全部出现正面向上是不可能的；

(2)至少有1枚出现正面向上是必然的；

(3)出现50枚正面向上、50枚正面向下是不确定的．

【答案】(1)错误

(2)错误

(3)正确

【分析】根据随机事件的定义判断即可.

【详解】（1）全部出现正面向上是随机事件，故该事件是随机的，故该说法错误；

（2）每一枚硬币出现正面向上是随机的，故至少有一枚出现正面向上是随机的，故该说法错误；

（3）出现50枚正面向上、50枚正面向下是不确定的，为随机事件，故该说法正确.

判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？

(1)在空地上抛一石块，石块会下落；

(2)明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话；

(3)买一张福利彩票，会中奖．

【答案】(1)确定事件

(2)不确定事件

(3)不确定事件

【分析】（1）由确定事件的定义判断即可；

（2）由不确定事件的定义判断即可；

（3）由不确定事件的定义判断即可.

【详解】（1）在空地上抛一石块，由于引力作用，石块一定会下落，故该事件是必然事件，即该事件也是

确定事件；

（2）明天上午八时到九时之间，你可能会接到一个推销电话，也可能不会接到一个推销电话，即该事件是

不确定事件；

（3）买一张福利彩票，可能会中奖，有可能不会中将，即该事件是不确定事件.

分析下面两句话里含有怎样的随机性．

(1)今年冬天一定会下雪；

(2)今年我要参加高考，应该能考上大学．

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）（2）利用随机事件的定义判断即得.

【详解】（1）今年冬天有可能下雪，也有可能不下雪，因此“今年冬天一定会下雪”具有随机性.

（2）参加高考，能否正常发挥或超水平发挥是无法事先预知的，因此“能考上大学”具有随机性.

题型一、随机现象

例1新生婴儿是男孩是否随机现象？．

【答案】否

【分析】根据随机试验的结果是否确定发生还是随机发生即可判断.

【详解】新生婴儿是男孩不是随机现象，是确定性现象.

故答案为：否.

1-1判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？

（1）导体通电时，发热；

（2）抛一块石头，下落；

（3）掷一枚硬币，出现正面；

（4）某人射击一次，中靶．

【答案】（1）（2）是确定性现象；（3）（4）是随机现象．

【分析】根据随机试验的结果是否确定发生还是随机发生，即可判断是哪种现象.

【详解】对于（1），因导体通电就会发热，故是确定性现象；

对于（2）抛一块石头，因有重力作用，必会下落，故是确定性现象；

对于（3）掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，故“出现正面”是随机现象；

对于（4）某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，故“中靶”属于随机现象.

1-2现实世界可以预见确切结果的现象称为，具不确定性的现象称为．

【答案】确定性现象随机现象

【分析】略

【详解】略

题型二、判断事件是否是随机事件

例2（24-25高二上·上海·期末）下列事件是必然事件的是（）

A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签

B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱

C．平行于同一条直线的两条直线互相平行

D．有公共点的两个圆相切

【答案】C

【分析】根据随机事件、必然事件的意义逐项分析即可求解.

【详解】对于A，标有数字4的标签可能取到，也可能取不到，不是必然事件，A不是；

对于B，底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，不是必然事件，B不是；

对于C，平行于同一条直线的两条直线互相平行，一定能发生，是必然事件，C是；

对于D，有公共点的两个圆可能相交，也可能相切，不是必然事件，D不是.

故选：C

2-1（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（）

A．买一张福利彩票，中奖B．在标准大气压下水加热到100oC，沸腾

C．异性电荷，相互排斥D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起

【答案】A

【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得.

【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是；

对于B，在标准大气压下水加热到100oC，沸腾是必然事件，B不是；

对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是；

对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不

是.

故选：A

2-2（23-24高二上·上海·期末）以下论述描述正确的是.（请填写对应序号）

随机现象是不可重复的；

①随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的；

②概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小.

③【答案】

【分析】根据随机现象的性质即可逐一求解③.

【详解】对于，随机现象是可以重复的，比如抛一枚硬币多次，可以重复出现正面朝上，故错误，

对于,比如抛一枚骰子，出现①1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性，故错误，

对于②,概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小，正确，

故答案为：③

③

题型三、确定性事件与随机事件的概率

例3将一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次，第99次抛掷出现反面的概率是（）

1991

A．B．C．D．1

100100992

【答案】D

【分析】根据随机事件每次发生的概率是相等的，即可得出第99次抛掷出现反面的概率.

【详解】将一枚质地均匀的硬币抛掷一次，出现正面，还是反面，是随机事件，且是等可能的，

无论抛多少次，每一次抛掷出现反面的概率都为1.

2

∴

第99次抛掷出现反面的概率是1.

2

故选：∴D.

3-1（23-24高二上·上海徐汇·期末）设A是一个随机事件，则PA的取值范围是.

【答案】0,1

【分析】根据概率的基本性质可得结果.

【详解】随机事件的概率0£PA£1，

故答案为：0,1.

3-2（23-24高二上·上海·阶段练习）已知A是一个事件，则P(A)Î．

【答案】0,1

【分析】根据随机事件的概率的性质直接填空即可

【详解】解：P(A)表示事件A发生的概率，所以0£P(A)£1，

特别地：当A为必然事件时，P(A)=1；

当A为不可能事件时，P(A)=0.

故答案为：[0,1].

题型四、写出基本事件

例4（24-25高二上·上海·期末）“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为．

【答案】{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}，

【详解】由题意可得样本空间为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,

（6点朝上）}，

故答案为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}，

4-1（23-24高二上·上海·期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不

再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是.

【答案】6

【分析】利用列举法即可直接得出结果.

【详解】设第一次取出的球标号为x，第二次取出的球标号为y，

记基本事件为(x,y)，xÎ1,2,3,yÎ1,2,3，

则所有的基本事件为(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)，共6个.

所以上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是6.

故答案为：6

4-2（23-24高二上·上海黄浦·期末）袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中

任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为．（只需写出一个）

【答案】（白球）（答案不唯一）

【分析】根据样本点的定义即可求解.

【详解】所有的样本点为（白球），（黑球），（红球），

故答案为：（白球）（答案不唯一）

1．（2023·上海闵行·三模）分别抛郑3枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数

是．

【答案】8

【分析】根据每枚硬币的情况数，即可求出分别抛郑3枚硬币的所有情况数．

【详解】每枚硬币都有2种情况，即正面和反面，

则分别抛掷3枚硬币，W={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，

正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，

所有W=8，

故答案为：8．

2．（24-25高二上·上海金山·期末）（1）同样掷两枚硬币，观察朝上的面（只考虑正面和反面两种情况），

写出该随机试验的样本空间，并求两次均正面朝上的概率；

（2）已知一组数据按从小到大的顺序排列为：1,2,a,5,9,b，这组数据的中位数为4.5，平均数为6，求这组

数据的极差.

1

【答案】（1）答案见解析，；（2）14.

4

【分析】（1）用列举法列举出所有随机试验的可能结果，即为样本空间，根据样本空间，即可求概率；

（2）根据数据特征的含义进行分析计算，即可求解.

【详解】（1）样本空间为{(正面，正面)，（正面，反面)，（反面，正面)，（反面，反面)}，

1

则两次均正面朝上的概率为.

4

ìa+5

=4.5

ï2

（2）由题意知í，解得a=4，b=15，

1+2+a+5+9+b

ï=6

îï6

则这组数据的极差为15-1=14.

3．下列事件：抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交

于一点；实数①a，b都不为0，但a2+b2=0；某地区明年②7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为

随机事件的是（③）④

A．B．C．D．

【答案】①④A①②③②③④②④

【分析】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答.

【详解】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，是随机事件；

三角形三条高线一定交于一点，是必然事件；①

实数a，b都不为0，则a2+b2¹②0，是不可能事件；

某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年③7月的降雨量高还是低，是随机事件，

所以在给定的4个事件中，是随机事件.④

故选：A①④

4．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中任取两个球，观察取出的这两个球的标号和，则此随机现象的

样本空间是．

【答案】3,4,5

【分析】根据题意直接列举即可.

【详解】若取出的两个球标号为1，2，则标号和为3，

若取出的两个球标号为1，3，则标号和为4，

若取出的现个球标号为2，3，则标号和为5，

所以此随机现象的样本空间是3,4,5.

故答案为：3,4,5

5．在分别写有数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的10张一样的卡片中随机抽取1张，设事件A：出现

奇数，事件B：出现偶数，事件C：大于4．写出下列事件对应的集合：

(1)A，C同时发生；

(2)B，C至少有一个发生；

(3)A，B同时发生．

【答案】(1){5,7,9}；

(2){0,2,4,5,6,7,8,9}；

(3).

【分析】（1）（2）（3）写出事件A,B,C，再依次求出AIC,BUC,AIB即可.

【详解】（1）依题意，A={1,3,5,7,9},B={0,2,4,6,8},C={5,6,7,8,9}，

A，C同时发生的事件对应的集合为：AIC={5,7,9}.

（2）B，C至少有一个发生的事件对应的集合为：BUC={0,2,4,5,6,7,8,9}.

（3）A，B同时发生的事件对应的集合为：AIB=.

6．写出下列事件相应的样本空间的子集．

(1)投掷2次骰子，得到的“数字之和大于8”；

(2)抛掷3枚硬币，恰有两枚正面朝上．

【答案】(1)3,6,4,5,4,6,5,4,5,5,5,6,6,3,6,4,6,5,6,6；

(2)1,1,0,1,0,1,0,1,1．

【分析】（1）写出满足条件的样本点即可；

（2）写出满足条件的样本点即可；

【详解】（1）记投掷两次骰子所得结果为(x,y)，其中x表示第一次投掷的结果，y表示第二次投掷的结果，

事件A：“数字之和大于8”所包含的样本点为：

(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共10个，

用集合表示为A={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；

（2）抛掷3枚硬币，若正面朝上，则记为1，反之，则记为0，所得结果表示为(x,y,z)，事件B：“抛掷3

枚硬币，恰有两枚正面朝上”所包含的样本点为：

(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)，共3个，

用集合表示为B={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.

7．（24-25高二上·上海普陀·阶段练习）同时掷两颗骰子，求

(1)所得点数之和为7的概率：

(2)所得点数之和小于5或大于10的概率；