2025年场景师（数学节目场景）试题及答案

2025年场景师（数学节目场景）试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）（总共6题，每题5分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在括号内）1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$，则$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值与最小值分别为（）A.2，-2B.2，-0C.3，-2D.3，-02.若复数$z$满足$(1+i)z=2i$，则$z$的共轭复数$\overline{z}$为（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_2=3$，$a_6=11$，则$S_7$等于（）A.13B.35C.49D.634.抛物线$y^2=4x$的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.4D.85.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(-2,3)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$等于（）A.4B.5C.6D.76.函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象的一条对称轴方程为（）A.$x=\frac{\pi}{12}$B.$x=-\frac{\pi}{12}$C.$x=\frac{\pi}{6}$D.$x=-\frac{\pi}{6}$第II卷（非选择题共7分）7.（10分）已知函数$f(x)=\lnx-ax+1$，讨论$f(x)$的单调性。8.（15分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，已知$a=3$，$b=4$，$c=\sqrt{13}$。（1）求角$C$的大小；（2）求$\triangleABC$的面积。9.（15分）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$S_n=2a_n-1$。（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；（2）设$b_n=\frac{a_n}{S_nS_{n+1}}$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$。10.（20分）已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$。（1）求椭圆$C$的方程；（2）设直线$l:y=kx+m$与椭圆$C$交于$A$，$B$两点，$O$为坐标原点，若$k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4}$，证明：$\triangleAOB$的面积为定值。答案：1.A2.B3.C4.B5.A6.B7.函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，$f^\prime(x)=\frac{1}{x}-a$。当$a\leq0$时，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；当$a>0$时，令$f^\prime(x)=0$，得$x=\frac{1}{a}$，当$0<x<\frac{1}{a}$时，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$单调递增，当$x>\frac{1}{a}$时，$f^\prime(x)<$0，$f(x)$单调递减。8.（1）由余弦定理可得$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{9+16-13}{2\times3\times4}=\frac{1}{2}$，所以$C=\frac{\pi}{3}$。（2）$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times3\times4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。9.（1）当$n=1$时，$a_1=S_1=2a_1-1$，解得$a_1=1$；当$n\geq2$时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-1-(2a_{n-1}-1)$，整理得$a_n=2a_{n-1}$，所以数列$\{a_n\}$是以$1$为首项，$2$为公比的等比数列，通项公式为$a_n=2^{n-1}$。（2）由（1）知$S_n=2^n-1$，则$b_n=\frac{2^{n-1}}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1})$，$T_n=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^{n+1}-1})$。10.（1）由离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$a^2=b^2+c^2$，又椭圆过点$(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$，可得$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{4b^2}=1$，联立解得$a=2$，$b=1$，$c=\sqrt{3}$，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+y^2=1$。（2）设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，将$y=kx+m$代入椭圆方程得$(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0$，则$x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{4m^2-4}{1+4k^2}$，$y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2$，由$k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4}$可得$\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4}$，代入化简得$2m^2=4k^2+1$，