数字信号处理-使用Python分析与实现 课件全套 李蓉艳 第1-10章 离散时间信号与系统-常用的特殊滤波器和实例分析

数字信号处理DigitalSignalProcessing(DSP)1

指利用数字计算设备对离散时间信号进行数值分析、变换和识别的技术，旨在从原始信号中提取有效信息或实现特定功能（如降噪、压缩）。

什么是数字信号处理什么是数字信号处理4电、磁、声、光、机械、生物医学信号为什么要学习数字信号处理每天2.5万亿字节数据心电信号：0.05-100Hz声信号：20Hz-20kHz光纤：1550nm波段机械振动信号：1-10kHz5为什么要学习数字信号处理交叉融合不断发展6为什么要学习数字信号处理专业学生必须掌握的基础技术7高精度高可靠性可程序控制易于存储和复制抗干扰能力强处理效率高便于集成化等为什么要学习数字信号处理8为什么要学习数字信号处理数字信号处理也存在一些缺点系统复杂、成本高；受到量化误差的影响。实际应用需要综合考虑找到合适的解决方案。D/A转换器A/D转换器

数字信号处理系统框图9用序列表示信号（A/D）用数字信号处理器进行处理（DSP）重建模拟信号（D/A)/en/lp/001/beginners-guide-to-dsp.html防混叠前置滤波器采样保持量化编码解码保持数字信号处理器平滑用模拟低通滤波器

数字信号处理的应用10语音信号处理

医学信号处理图像和视频处理计算机控制无线通信雷达与声纳系统机器学习和人工智能……广泛用于科学、技术和社会生活的各个层面/newspage/data/dtlandingsuper?nid=dt_5555613951464192412课程的主要内容（1）信号的采集技术，抽样定理及模拟恢复理论。（2）离散信号的分析技术，频域变换技术及信号特征的描述等。（3）离散系统的分析方法，线性时不变系统的描述，系统函数及频率特性。（4）信号的快速傅里叶变换算法，快速卷积与快速相关技术。（5）经典数字滤波器的设计技术。11课程的主要内容（6）多抽样率数字信号处理技术。（7）数字信号处理中的有限字长效应。（8）数字信号处理技术的应用实例。12教材及参考书教材：数字信号处理-基于Python的设计与实现，,董怡，何斌，清华大学出版社。可作为相关专业工程技术人员和科学研究人员的参考书参考书：1.数字信号处理，程佩青，第五版，清华大学出版社。2.

A.V.奥本海姆，R.W.谢弗著，黄建国等译，离散时间信号处理，科学出版社。3.Python编程基础与科学计算，李增刚等，清华大学出版社。131415数字信号离散时间系统时间域频率域z域系统函数单位冲激响应序列的z变换序列离散傅里叶变换（DFT）频率响应滤波器设计第1章第2、5章第3,4,6,7章教材各章内容安排16数字信号离散时间系统多抽样率有限字长效应第8章第9章实例拓展第10章抽取、插值滤波器多级实现编码滤波器的量化效应教材各章内容安排*时频分布17数字信号处理的实现软件实现通用的计算机上用软件来实现。灵活，但是运算速度慢，一般达不到实时处理。硬件实现DSP芯片、可编程超大规模器件或开发专用芯片来实现。速度快，可以达到实时处理要求，但是不灵活。Python在DSP中的优势快速原型开发：无需编译，直接通过脚本验证算法（滤波器设计，频谱分析）;开源生态支持：提供完整的DSP工具链;交互式环境：JupyterNotebook支持实时调试和可视化，适合教学和算法展示;与其他语言集成：通过Cython或者调用C/C++代码优化性能关键部分。18常用的Python库及功能19库名称核心功能典型应用场景NumPy高效处理数组、矩阵运算，FFT实现信号生成、卷积、相关分析SciPy提供滤波器设计（FIR/IIR）、窗函数、谱分析工具设计低通/高通滤波器，计算功率谱密度Matplotlib绘制时域/频域图、频谱图等信号可视化、结果对比Librosa音频信号处理（MFCC、节拍跟踪）语音识别、音乐信息检索PyAudio实时音频采集与播放麦克风输入实时滤波DSP课程的学习方法课程内容较抽象，理论性强，数学公式数量多且复杂；实践中既要理解理论，也要实验验证；深入理解定理与公式的物理意义，利用图形直观展示信号处理的过程和结果；认真理解课程例题中的原理和程序方法，运用理论分析设计实际系统，在实践中加深对理论的认识。20211.3采样定理采样量化编码模数转换（ADC，analogtodigitalconverter）

——将连续的模拟幅值转换为一组离散的幅值。——将离散幅度值用二进制数来表示。221.3.1奈奎斯特采样定理1.采样过程的数学描述

采样后，如何恢复原信号？从采样后信号频谱的变化分析232.理想采样的频谱

时域相乘对应频域的卷积

1.3.1奈奎斯特采样定理24

1.3.1奈奎斯特采样定理25

1.3.1奈奎斯特采样定理

26

1.3.1奈奎斯特采样定理27奈奎斯特采样定理

283.将数字信号转换为模拟信号

低通滤波器：

低通滤波器的单位采样响应：1.3.1奈奎斯特采样定理29理想低通滤波器的输出：

1.3.1奈奎斯特采样定理30

内插公式：内插函数：恢复连续信号时，在各采样点之间做内插。

1.3.1奈奎斯特采样定理314实际采样随着频率增大，周期延拓分量的幅度逐渐衰减，仍然可以通过低通滤波器得到采样前模拟信号频谱的形状，因此奈奎斯特采样定理仍然有效。325正弦型信号的采样

33（2）两个不同频率正弦信号的采样

解：

两个模拟正弦信号采样后得到相同的序列5正弦型信号的采样34（3）同一个模拟正弦信号，用不同频率采样得到相同序列。

可得到相同的采样序列。5正弦型信号的采样351.3.2带通采样（a）带通信号的频谱

亚奈奎斯特采样定理36第1章离散时间信号与系统同济大学电子与信息工程学院37离散时间信号1.离散时间信号的概念2.离散时间信号的表示3.常用的典型序列4.序列的周期性5.序列的运算离散线性移不变系统1.线性移不变系统2.单位采样响应3.因果性、稳定性4.常系数差分方程5.采样定理第1章离散时间信号与系统1.1离散时间信号的概念

连续时间信号—自变量连续有定义，幅值可以是连续的也可以是离散（量化）的离散时间信号

—自变量在离散时间点有定义，幅值是连续的，又称序列或采样信号。模拟信号—自变量连续有定义，且信号幅值连续有定义数字信号—自变量在离散时间点有定义，信号幅值常用二进制编码表示。38按照自变量和信号幅值的连续与离散分为四种情况：1.1离散时间信号的概念

39连续信号离散信号数字信号量化信号(a)(b)(c)(d)1.1.1离散时间信号-序列40

图像表示：顶端带小黑点的竖线表示一个采样值1.1.2典型序列1）单位采样序列41

n=np.arange(-10,11,1)x=(n==0)n=np.arange(-2,7)#定义变量nn0=3x=[1ifi==n0else0foriinn]

2）单位阶跃序列42

与单位采样序列的关系n=np.arange(-5,6,1)#定义序列下标x1=[1ifi>=0else0foriinn]#生成序列1.1.2典型序列

3）矩形序列43

与其他序列的关系importnumpyasnpN=10x1=np.where(np.arange(N)>=0,1,0)1.1.2典型序列44importmatplotlib.pyplotaspltimportnumpyasnpn=np.linspace(0,20,21,dtype=int)y1=np.power(1.5,n)4）实指数序列

1.1.2典型序列5）复指数序列45为数字域频率

例：1.1.2典型序列importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltn=np.arange(-6,8,1,dtype=32)omega_degree=[0,90,180,270]alpha=0.05*np.pi;omega=np.deg2rad(omega_degree)plt.rc("font",family='MicrosoftYaHei',size=12)foriinrange(len(omega)):x=np.exp((alpha+1j*omega[i])*n)print(x)plt.figure(i+1)plt.subplot(2,2,1),plt.stem(n,np.real(x),basefmt='--')plt.xlabel('n')plt.title('$\omega={}^\circ$实部'.format(omega_degree[i]))plt.subplot(2,2,2),plt.stem(n,np.imag(x),basefmt='--')……….46生成复指数序列的Python代码复数序列的形式47

实部和虚部：极坐标形式：

其中相位：

1.1.2典型序列6）正弦序列48模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率1.1.2典型序列importmatplotlib.pyplotaspltimportnumpyasnpn=np.linspace(0,20,40)fs=1x=4*np.sin(0.25*np.pi*n/fs+np.pi/4)plt.figure()plt.stem(n,x,basefmt='black')plt.plot(n/fs,x,'--'),plt.xlabel('t')plt.title(r"4sin(0.25$\pi$n+pi/4)")plt.tight_layout()plt.show()49序号使用的内置函数作用1np.sin()生成一个正弦函数2np.linspace()生成等间隔的数据点3plt.stem()绘制离散数据的茎线图4plt.plot()绘制连续曲线图生成正弦序列的Python代码1.1.2典型序列7）任意序列

50

例：x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。1.1.2典型序列1.1.3序列的周期性

511.1.3序列的周期性

52

53

设连续正弦信号：采样序列：

1.1.3序列的周期性令：54例：N，k为互为素数的正整数即N个采样间隔应等于k个连续正弦信号周期1.1.3序列的周期性1.1.4序列的运算加法乘法累加能量平均功率移位翻褶时间尺度变换差分卷积和55信号处理是通过各种运算来完成的；这些信号处理的运算都是基本运算的组合。（1）加法

同序列号n的序列值逐项对应相加56

1.1.4序列的运算（2）乘法同序号n的序列值逐项对应相乘57

1.1.4序列的运算（3）累加58

1.1.4序列的运算（4）序列的能量59

1.1.4序列的运算（4）序列的平均功率60

1.1.4序列的运算（6）移位

611.1.4序列的运算（7）翻褶

x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n)

加以翻褶62

（a）原序列

（b）序列翻褶

（c）序列翻褶移位1.1.4序列的运算（8）时间尺度变换抽取

63

插值

1.1.4序列的运算（9）差分前向差分：64

1.1.4序列的运算后向差分：（10）卷积和设两序列x(n)、h(n)，则其卷积和定义为：651）翻褶：2）移位：3）相乘：4）累加：1.1.4序列的运算1.2离散时间系统

661.2.1时域离散的线性移不变系统

67

1.线性系统2.移不变系统

如果系统对输入信号的运算关系不随离散时间点的移动变化，也就是说系统的参数不随时间而变化，则这种系统称为移不变系统。68

1.2.1时域离散的线性移不变系统

69

70增量线性系统

线性系统x(n)y0(n)y(n)

711.2.2单位采样响应

T[·]

根据叠加原理

线性移不变系统的输出等于输入序列与单位采样响应的卷积72

1.2.2单位采样响应卷积分四步：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）累加：图解法解析法列表法对位相乘相加法向量矩阵乘法731.卷积的计算

74（1）

卷积计算的图解法

解：75（2）

卷积计算的解析法

76

77

解：

则

两式相加得

78（3）

卷积计算的列表法

1324

376

673

673

673

673

673

673解：

根据卷积和计算式列表如下：

79（4）

对位相乘法

将两序列按照右对齐排成两行，然后作乘法运算，不要进位，最后将同一列的乘积值相加即卷积和结果。

312

8642

4321

12963

1213171152

80（5）向量矩阵乘法

81用矩阵形式表示为

各行为前一行的循环右移1位每行循环右移1位形成的对角线元素相同的矩阵，称为Toeplitz矩阵（5）向量矩阵乘法82

卷积和与两序列的前后次序无关831.卷积的计算

系统级联的单位采样响应84

1.卷积的计算

系统并联的单位采样响应852.相关的计算

互相关运算没有卷积运算的翻褶这一步

（1）互相关运算性质1）互相关运算不满足交换律2）86

2）当是绝对可和的能量信号时，则有

87

4）可以用卷积运算来表示相关运算

（1）互相关运算性质（2）自相关函数序列88

自相关函数的性质：

（2）自相关函数序列892）当m＝0时自相关序列取最大值（序列与自己本身的相似程度是最大的）

3）若x(n)是绝对可和的能量信号时，有

90

解：编写程序计算两个序列的自相关和互相关。（3）功率信号的相关函数互相关：自相关：91当x(n)、y(n)为周期信号时：92

54321

1248

403224168

20161284

108642

54321

5143164493420893

12345

8421

12345

246810

48121620

816243240

82034496431145

自相关与互相关互相关——两个信号之间的相似程度，时间轴表示“挪了”多少“距离”，例如一个信号不动，另一个以起点开始“错动”，“挪”到某点时，两个信号的相似程度在函数值上体现，而“挪动”的“距离”在时间轴上体现。自相关——对于周期信号，自相关极值点间的距离就是周期；对于随机信号，自相关表示该信号的变化快慢，如果自相关函数平滑，说明变化慢。94相关的应用（1）在信号测量中，即使预先知道了振荡干扰，受到噪声和不确定性影响，常常难以发现信号中的振荡信息，信号的自相关可以帮助验证是否有周期振荡信号存在，并确定信号的周期；（2）时延估计：两个相似信号之间的互相关会产生振幅最大值。在雷达测量中可以确定距离或飞行时间，或者在同步信号、对齐信号方面有应用价值；（3）信号分析：使用互相关来分析地震信号、雷达、声呐和其他信号。将输入信号与已知标准信号对比可以帮助检测低于噪声阈值的事件、提取信息或识别特性事件。9596【例10.3.1】编写Python程序产生随机信号，用来模拟机器正常运行时的随机噪声，通过加入正弦信号模拟机器运行状态异常时发出的周期性振荡声音，观察异常时自相关函数波形，得到周期性振荡信号的周期。

1.2.3系统的因果性和稳定性

97

因果系统的单位采样响应必然是因果序列。98

1.2.3系统的因果性和稳定性稳定性是系统正常工作的前提条件。99

解：

1.2.4常系数线性差分方程一个N阶常系数线性差分方程表示为：

描述时域离散系统的输入输出关系它们决定系统的特征100

1011.线性常系数差分方程的求解经典解法。这种解法类似于模拟系统中求解微分方程的方法，包括齐次解和特解，由边界条件确定待定系数，这种方法比较繁琐，实际中很少采用。迭代法。这种方法简单，适合用计算机求解，但只能得到数值解，不容易得到闭合形式（公式）解答。卷积和计算法。这种方法用于起始状态为零的情况，得到的是零状态解。这是在LSI系统中很重要的一种分析方法。如果起始状态不为零，还需要用求齐次解的办法得到零输入响应。变换域方法。如果在z域进行求解，方法简便有效，用得最多，z变换与分析连续时间系统的拉普拉斯变换类似，后面将会讨论。102

解：

103

解：

104

解：由差分方程得到系数矢量：a=[1,-0.5]，b=[1]输入取6个长度，X

=[1,0,0,0,0,0]输入序列为6个长度，则输出也为6个长度fromscipyimportsignalimportnumpyasnpb=np.array([1])a=np.array([1,-0.5])x=np.array([1,0,0,0,0,0])y=signal.lfilter(b,a,x)print(y)运行结果如下：[1.0.50.250.1250.06250.03125]利用Scipy库中的lfilter计算差分方程的递推解lfilter(b,a,x)：一维滤波函数105

解：使用冲激响应函数求解importnumpyasnpfromscipyimportsignalimportmatplotlib.pyplotasplts=signal.dlti([1,0],[1,-0.5])

#使用传输函数表示法创建LTI系统t,y=signal.dimpulse(s,n=6)#计算LTI系统的单位采样响应plt.rc("font",family='MicrosoftYaHei',size=12)plt.stem(t,np.squeeze(y),basefmt='--')plt.xlabel('n',fontsize=20)plt.title('冲激响应',fontsize=20)plt.grid(),plt.show(),print(y)差分方程的解(array([0.62,1.232,1.6320254,1.96870794,1.95972102,1.40011046,0.38456671,-0.77329974,-1.71844926,-2.18569435,-2.05880028]),array([-0.8814429,0.7411681]))运行结果如下：106当差分方程的初始状态不为零时，这时除了求零状态响应，还需求零输入响应，即由初始状态造成的输出响应，利用Scipy库中的lfiltic函数求系统全响应。

importnumpyasnpfromscipyimportsignalb=np.array([1,0.5,0])a=np.array([1,-0.6,0.36])ys=np.array([-1,-2])xs=np.array([1])xic=signal.lfiltic(b,a,ys,xs)n=np.arange(0,11)x=np.sin(np.pi*n/6)y=signal.lfilter(b,a,x,zi=xic)print(y)运行结果如下：(array([0.62,1.232,1.6320254,1.96870794,1.95972102,1.40011046,0.38456671,-0.77329974,-1.71844926,-2.18569435,-2.05880028]),array([-0.8814429,0.7411681]))1071.3采样定理

模数转换（AD，analogtodigitalconverter）1081.3.1奈奎斯特采样定理1.采样过程的数学描述

采样后，如何恢复原信号？从采样后信号频谱的变化分析1092.理想采样的频谱

时域相乘对应频域的卷积

1.3.1奈奎斯特采样定理110

1.3.1奈奎斯特采样定理111

1.3.1奈奎斯特采样定理

112

1.3.1奈奎斯特采样定理113

1.3.1奈奎斯特采样定理1143.将数字信号转换为模拟信号

低通滤波器：

低通滤波器的单位采样响应：1.3.1奈奎斯特采样定理115理想低通滤波器的输出：

1.3.1奈奎斯特采样定理116

内插公式：内插函数：恢复连续信号时，在各采样点之间做内插。

1.3.1奈奎斯特采样定理1174实际采样随着频率增大，周期延拓分量的幅度逐渐衰减，仍然可以通过低通滤波器得到采样前模拟信号频谱的形状，因此奈奎斯特采样定理仍然有效。1185正弦型信号的采样

119（2）两个不同频率正弦信号的采样

解：

两个模拟正弦信号采样后得到相同的序列5正弦型信号的采样120（3）同一个模拟正弦信号，用不同频率采样得到相同序列。

可得到相同的采样序列。5正弦型信号的采样1211.3.2带通采样（亚奈奎斯特采样定理）（a）带通信号的频谱

122第2章时域离散系统的变换域分析

同济大学电子与信息工程学院第2章时域离散系统的变换域分析

123离散时间信号和系统的变换域分析2.1

z变换2.2DTFT正、逆变换典型序列的z变换Z变换的性质和拉氏变换的关系2.3三种变换的关系2.4LSI系统频域特性定义性质频率响应因果稳定零极点分析一对多映射单位圆上z变换1242.1z变换

1252.1.1z正变换

126

解

importsympyassymn=sym.symbols('n',integer=True)z=sym.symbols('z',complex=True)Z_trans1=sym.summation(1*z**-n,(n,0,sym.oo))。print('单位阶跃序列的X(z)=',Z_trans1)Z_trans2=sym.summation(sym.KroneckerDelta(n,0)*z**(-n),(n,-sym.oo,sym.oo));print('单位抽样序列的X(z)=',Z_trans2)单位阶跃序列的X(z)=Piecewise((1/(1-1/z),1/Abs(z)<1),(Sum(z**(-n),(n,0,oo)),True))单位抽样序列的X(z)=11272.1.2典型序列的Z变换收敛域1.有限长序列

其z变换：

1282.右边序列

其z变换：

右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外2.1.2典型序列的Z变换收敛域129因果序列

2.1.2典型序列的Z变换收敛域1303.左边序列

左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内2.1.2典型序列的Z变换收敛域1314.双边序列

2.1.2典型序列的Z变换收敛域132

解

1332.1.3z逆变换

1341.留数法（围线积分法）根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域

内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即

根据留数定理

2.1.3z逆变换135

136

137

因此

由此可得

1382.部分分式法

（1）留数法求部分分式系数2.1.3z逆变换139

可以借助计算机工具（Python或MATLAB）来求解部分分式的系数。140

解：调用numpy库中的poly函数来求分母多项式的系数。然后利用residuez函数计算部分分式分解的参数。importnumpyasnpfromscipy.signalimportresidueza=np.poly([0.1,0.1,-0.3])r,p,k=residuez([1],a)print('r=',r,'\n','p=',p,'\n','k=',k)运行结果：

r=[0.18750.250.5625]p=[0.10.1-0.3]k=[]

查表可得：

141（2）对比法求部分分式系数

因此

2.1.3z逆变换142比较三项的系数

部分分式分解为

143

解

144

解方程，求得

部分分式分解为

145

查表得

1463.长除法

2.1.3z逆变换147

进行长除

148

说明是一个左边序列，以z的升幂排列进行长除法

进行长除

1492.1.3z逆变换

150

解：使用deconvolve实现长除法的程序如下：importnumpyasnpfromscipy.signalimportdeconvolvenp.set_printoptions(suppress=True)a=np.poly([0.2,0.3,-0.4])sig=np.concatenate((np.array([1.]),np.zeros((8,))),axis=0)x,_=deconvolve(sig,a)print(x)程序运行结果如下：[1.0.10.150.0050.0191-0.00099]1512.1.4Z变换的性质和定理（1）线性

（比例性和可加性）

收敛域为两个序列收敛域的公共部分。如果这些线性组合中某些零点和极点互相抵消，则收敛域可能扩大。152（2）序列的移位

则

①双边z变换

2.1.4Z变换的性质和定理153②单边z变换

左移位性质：

右移位性质：

2.1.4Z变换的性质和定理154证明：

155

得证。

156（3）乘以指数序列

证明：

2.1.4Z变换的性质和定理157

则

证明：

因此

2.1.4Z变换的性质和定理158（5）复共轭序列

则

证明

2.1.4Z变换的性质和定理159（6）初值定理

证明：

因此

2.1.4Z变换的性质和定理160（7）终值定理

证明：

2.1.4Z变换的性质和定理161

得证。162（8）时域卷积定理

则

2.1.4Z变换的性质和定理163证明：

164

解

由线性时不变系统的性质

1.线性卷积法

1652.Z变换法

由收敛域判定

166

且

则

收敛域

2.1.4Z变换的性质和定理167证明：

收敛域满足：

两式相乘得

被积函数的收敛域为

168

且

则

*：取共轭

2.1.4Z变换的性质和定理169证明：

则由复卷积定理

170

因此1712.1.5利用Z变换求解差分方程

172整理得

零状态解（与系统初始状态无关）零输入解（与输入信号无关）173

解对已知差分方程进行单边Z变换

零输入解零状态解174

解对已知差分方程进行单边Z变换

整理后得

175

编程求解（电子资源），程序运行结果

1762.2有限长序列的傅里叶变换（DTFT）

正变换

逆变换

177

交换积分表达式和求和符号

由于

178则有

179

解

幅度响应相位响应

180181

解

程序运行结果图如下：Scipy库中的freqz(b,a)

矩阵向量乘法编程求DTFT182

2.2.2序列傅里叶变换的性质183

充分条件：

184

级数满足以下均方收敛条件

也是DTFT存在的充分条件

一致收敛一定满足均方收敛，而均方收敛不一定满足一致收敛。2.2.2序列傅里叶变换的性质185

序列傅里叶变换的主要性质可由z变换的性质得出2.2.2序列傅里叶变换的性质186（1）线性

（2）序列的移位

时域的移位对应于频域有一个相移

（3）乘以指数序列

2.2.2序列傅里叶变换的性质187（4）乘以复指数序列（调制性）

时域的调制对应于频域的相移。（5）时域卷积定理

时域的卷积对应于频域的相乘（6）频域卷积定理

2.2.2序列傅里叶变换的性质188（7）序列的线性加权

时域的线性加权对应于频域的一阶导数乘以j。（8）帕塞瓦定理

时域的总能量等于频域的总能量。

2.2.2序列傅里叶变换的性质189（9）序列的翻褶

（10）序列的共轭

时域取共轭对应于频域的共轭且翻褶2.2.3序列傅里叶变换的对称性质190

（1）共轭对称序列

共轭对称序列的实部是偶对称序列，虚部是奇对称序列2.2.3序列傅里叶变换的对称性质191（2）共轭反对称序列

共轭反对称序列的实部是奇对称序列，虚部是偶对称序列类似的

其中

192

2.2.3序列傅里叶变换的对称性质193

其中

2.2.3序列傅里叶变换的对称性质1943.序列和其傅里叶变换的共轭对称性关系

则：

（1）将序列分为共轭对称部分和共轭反对称部分

2.2.3序列傅里叶变换的对称性质195（2）将序列分为实部和虚部

2.2.3序列傅里叶变换的对称性质196

解

取序列长度为6，编写程序画出原序列、共轭对称和共轭反对称序列从图终可以看到，共轭对称序列的实部满足偶对称，虚部满足奇对称；共轭反对称序列的实部满足奇对称，虚部满足偶对称。

197

原序列长度为6，共轭对称和共轭反对称序列长度为11198

1992.1.6Z变换和拉普拉斯变换的关系连续时间信号的拉普拉斯变换

离散时间信号的Z变换

2002.1.6Z变换和拉普拉斯变换的关系

201

Ω:

ω:

2022.3抽样信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换及z变换的关系1.抽样信号的拉普拉斯变换和z变换的关系

一一映射

多值映射关系

2032.序列的傅里叶变换和z变换的关系

即单位圆上的z变换是序列的傅里叶变换2042.4线性移不变系统的频域特性2.4.1LSI系统的描述

幅频特性函数：

相频特性函数：

205

2.4.1LSI系统的描述206

207

解：编写程序画图，零极点图如图所示，幅频和相频如图所示。

零极点分布图幅度频谱和相位频谱图z,p,k=scipy.signal.tf2zpk(b,a)w,h=scipy.signal.freqz(b,a,wf)2082.4.2LSI系统的因果稳定性因果性的充分必要条件：

稳定性的充分必要条件：

z变换的收敛域满足：

209

importnumpyasnpa=[1,-1.5,1,-0.8]zp=np.roots(a)zpm=max(abs(zp))…[1.2182+0.j0.1409+0.798j0.1409-0.798j]1.218196866316073程序运行结果：

2102.4.3利用系统的零极点分布分析系统的频率响应系统函数的零极点形式

幅度响应

211

相位响应

零点位置影响凹谷点的位置与深度零点在单位圆上，谷点为零零点趋向于单位圆，谷点趋向于零极点位置影响凸峰的位置和深度极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷极点在单位圆外，系统不稳定212【例2.4.3】设一阶系统的差分方程为

解将差分方程等式两端取z变换

这是一个因果系统，可求出单位抽样响应

该一阶系统的频率响应为

213幅度响应为

相位响应为

低通高通无限冲激响应（IIR）滤波器，有输出到输入的反馈环节。214

解

系统函数

幅度响应

频谱的形状像梳子一样，也称为梳状滤波器

215

由于幅度特性过渡带较为平缓，不够陡峭，因此对周期性信号陷波作用不理想，使其他频率处产生信号的失真。单位冲激响应是有限长的，也成为有限冲激响应（FIR）滤波器。

216

无限冲激响应滤波器（IIR系统）有限冲激响应滤波器（IIR系统）

217第3章离散傅里叶变换（DFT）

同济大学电子与信息工程学院第3章离散傅里叶变换（DFT）

218离散傅里叶变换3.1周期序列的傅里叶级数3.2四种形式的傅里叶变换变换式的含义与连续FS的关系与z变换、DTFT关系周期卷积等性质3.3离散傅里叶变换3.5DFT的应用时频域特点对偶性抽样频率频率分辨率信号时间长度隐含周期性与z变换DTFT、DFS关系圆周卷积圆周相关3.4频域抽样定理时域周期延拓时域恢复离散频率值逼近模拟信号频谱本章重点-离散傅里叶变换(DFT)219离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform,DFT）是数字信号处理中非常有用的一种变换，它对时域和频域都进行了离散化，可以使用计算机对信号进行时频域的计算。先来研究周期离散序列的傅里叶级数，然后在此基础上得出适用于有限长序列的离散傅里叶变换。2203.1.1周期序列的离散傅里叶级数

221

3.1.1周期序列的离散傅里叶级数

222

3.1.1周期序列的离散傅里叶级数

223求周期序列的傅里叶逆变换

3.1.1周期序列的离散傅里叶级数224周期序列的离散傅里叶级数（DiscreteFourierSeries,DFS）变换对

3.1.1周期序列的离散傅里叶级数225

226

2273.1.2DFS和连续时间周期信号傅里叶级数（FS）的关系

基信号

无穷多个有限个谐波分量个数周期

展开式离散傅里叶级数在时域和频域都是离散的周期序列知道一个周期的序列值，就可以获得周期序列的全部信息2283.1.3离散傅里叶级数（DFS）和DTFT的关系

DTFTDFS

2293.1.4离散傅里叶级数和Z变换的关系

2303.1.5离散傅里叶级数的性质1线性

2312.周期序列的移位

3.1.5离散傅里叶级数的性质

证明2323.频域移位

证明

3.1.5离散傅里叶级数的性质2334.对称性

证明从DFS逆变换式

因此

3.1.5离散傅里叶级数的性质2345.周期序列卷积（1）如果

则

频域周期序列的乘积对应于时域周期序列的周期卷积证明：

代入

3.1.5离散傅里叶级数的性质235则

同理

236

解采用图解法进行周期卷积

一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的一个周期的同一位置的序列值就从另一端移入计算区间237（2）由于DFS的对称性，如果

则

3.1.5离散傅里叶级数的性质2383.2四种形式的傅里叶变换

时间函数频率函数

时间域非周期（频率域连续）时间域周期（频率域离散）时间域连续（频率域非周期）傅里叶变换（CTFT）傅里叶级数（FS）时间域离散（频率域周期）序列的傅里叶变换（DTFT）离散傅里叶级数（DFS，主值区间为DFT）2391.连续时间与连续频率-傅里叶变换（CTFT）（b）非周期、连续频谱

3.2四种形式的傅里叶变换(a)连续、非周期信号

2402.连续时间与离散频率-傅里叶级数（CTFS）

3.2四种形式的傅里叶变换(a)连续、周期信号

2413.离散时间与连续频率-序列的傅里叶变换（DTFT）

3.2四种形式的傅里叶变换

2424.离散时间、离散频率周期序列的傅里叶级数(DFS)

3.2四种形式的傅里叶变换

2433.3离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶级数（DFS）

将离散傅里叶级数时域和频域的主值序列取出来，可以得到一对正逆变换对，称为有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）。离散傅里叶变换（DFT）

主值区间

2443.3.1离散傅里叶变换的定义正变换

逆变换

DFT是DFS的主值区间245

其中

在变换区间上满足下式离散傅里叶逆变换也是唯一的。3.3.1离散傅里叶变换的定义246

解:

247

248

2493.3.2DFT与DTFT及Z变换的关系

其离散傅里叶变换为：

比较上面两式，得

或者

250

3.3.2DFT与DTFT及Z变换的关系

2513.3.3离散傅里叶变换的矩阵表示

252

253

254

解

采用三种方式编写DFT矩阵（1）编写DFT矩阵程序importnumpyasnpN=4;n=np.arange(0,N,1)nk=np.outer(n,n)WN=np.exp(-2j*np.pi*nk/N)np.set_printoptions(precision=4,suppress=True)print('{}点的DFT矩阵：\n'.format(N),WN)4点的DFT矩阵：[[1.+0.j1.+0.j

1.+0.j1.+0.j][1.+0.j0.-1.j-1.-0.j-0.+1.j][1.+0.j-1.-0.j1.+0.j-1.-0.j][1.+0.j-0.+1.j-1.-0.j0.-1.j]]程序运行结果如下:255（2）调用Scipy.linalg线性代数工具库中的dft函数生成DFT矩阵，计算序列的DFTfromscipy.linalgimportdftimportnumpyasnpN=4x=np.ones(N)WN=dft(N)X=WN@xnp.set_printoptions(precision=4,suppress=True)print(X)程序运行结果为：[4.+0.j-0.-0.j0.-0.j0.-0.j]（3）IDFT矩阵fromscipy.linalgimportdftWN=dft(N)IWN=WN.conj()/N在已有DFT矩阵的情况下，利用numpy库中的conj()方法可以获得IDFT矩阵2563.3.4DFT隐含的周期性

DFT是离散傅里叶级数的主值，DFT隐含有周期性。

257

对频域序列也可以表示为

3.3.4DFT隐含的周期性

2583.4离散傅里叶变换的性质3.4.1线性

259

解编写程序验证DFT的线性，程序结果如图所示

importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltx1=[1,1,1,1]x2=[1,-2,3,-4]a,b=2,3x3=np.add(np.multiply(a,x1),np.multiply(b,x2))print(x3)N=len(x2)n=np.arange(0,N,1)k=np.arange(0,N,1)k1=np.outer(n,k)D=np.exp(-1j*2*np.pi*k1/N)#DFTmatrixX1=np.dot(D,x1)X2=np.dot(D,x2)X3=np.dot(D,x3)X4=a*X1+b*X2260

3.4离散傅里叶变换的性质3.4.2圆周移位

261

3.4离散傅里叶变换的性质

262频域也可以做圆周移位

频域圆周移位后对应的时域序列为

3.4离散傅里叶变换的性质263

264

解编程计算画出原序列的实部和虚部，圆周翻褶的实部和虚部。对比原序列和圆周翻褶后的DFT幅度和相位，如图所示。

265圆周翻褶序列的DFT是原序列DFT在频域上的周期翻褶（周期为N）266

共轭对称部分：

共轭反对称部分：

圆周共轭对称序列：

圆周共轭反对称序列：

主值序列主值序列3.4离散傅里叶变换的性质3.4.3圆周共轭对称性267

圆周共轭对称：圆周共轭反对称：

3.4离散傅里叶变换的性质268

时域序列时域序列的DFT269序列DFT的共轭对称性

3.4离散傅里叶变换的性质时域序列270实数序列DFT的共轭对称性时域序列时域序列的DFT纯虚序列DFT的共轭对称性3.4离散傅里叶变换的性质271圆周卷积

步骤：补零到N点圆周翻褶圆周移位相乘相加

圆周翻褶3.4离散傅里叶变换的性质272圆周卷积的矩阵形式

273

解：

4点的圆周卷积

274求解8点的圆周卷积

275隐含有周期性的含义，圆周卷积实际上是周期卷积的主值区间。276圆周卷积定理

证明：

3.4离散傅里叶变换的性质277

278两个序列在时域作圆周卷积，则在离散频域中DFT作相乘运算。

279圆周卷积与线性卷积

280

解：线性卷积

对位相乘法

1234111123412341234136974281将线性卷积以4为周期做周期延拓0123451369741369……69748769

282卷积求解的变换域方法除了时域求解卷积的方法，还有变换域计算卷积的方法Z变换计算卷积

DFT计算卷积283序列的圆周相关定理

如果则圆周相关序列

证明：先延拓为周期序列

则

284则

取主值序列

285

序列的圆周相关定理286对称性

如果则有

证明：

由DFS的性质DFT是DFS的主值序列，因此有得证N点287Parseval定理

如果都为N点则有

信号形式不同，但是信号在一个域的能量与另一个域相等，即能量守恒原理。288频域卷积定理

则

3.4离散傅里叶变换的性质2893.5频域采样定理对信号的连续频谱也需要离散化频域的采样又会引起时域的哪些变化呢？频域采样后恢复原信号的条件是什么？恢复信号的内插公式是什么？290

3.5频域采样定理291

3.5频域采样定理

292

3.5频域采样定理293

在主值区间内

…-2-1012345678……00123456780……00000000123……56780000000……5681034568103……008103456000…

2943.5.2频域采样后的恢复

代入z变换公式，有

3.5频域采样定理295

令复频域插值函数复频域内插公式

296

令

写成下面的形式

内插公式可以写为

297DFT的应用模拟信号的数字化处理：时域采样

频域周期延拓加窗截断

频谱泄露频域采样时域周期延拓合理选择参数：采样频率窗函数形状截断长度2983.6.1DFT参数的选择1.采样频率时域采样定理

2992.频率分辨率信号频谱中能够分辨的最接近的两个谱峰的间隔。

因而频率分辨率

频率分辨率的大小和信号的时间长度成反比

300栅栏效应

3013.序列长度的选择计算机处理信号时会对序列做截断

加窗3.6.1DFT参数的选择

302

幅度谱相位谱3.6.1DFT参数的选择303频谱泄漏

与窗谱的卷积运算使得信号的谱线展宽，这种展宽就称为频谱泄漏。304

以5为周期的周期序列

305

试探法：先选观察时间长一点，可以减小截断效应的影响，如不行再取较大跨度。或者通过多次迭代，比较峰值处的误差，当误差满足条件要求时，停止迭代计算。3064.信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾

307

3085.离散频率点的对应关系3096.对连续时间非周期信号的DFT逼近

310（2）由IDFT的估计时域信号

两边做傅里叶逆变换

311

312第4章快速傅里叶变换同济大学电子与信息工程学院2024年12月第4章快速傅里叶变换313快速傅里叶变换4.1DFT计算量4.2时间抽取FFT加法次数乘法次数WN的性质4.3频率抽取FFT4.7线性调频z变换按时间奇偶分组蝶形先复乘后加减抽样频率频率分辨率信号时间长度4.6FFT的应用FFT计算卷积和相关重叠相加法离散频率值逼近模拟信号频谱信号流图特点乘法和加法次数按频率奇偶分组蝶形先加减后复乘信号流图特点乘法和加法次数重叠保留法4.7离散余弦变换频谱分析DCT原理DCT的计算本章重点-FFT的应用314快速傅里叶变换（FastFourierTransform,FFT）是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。它通过巧妙的数学分解，降低了DFT的计算复杂度，极大提升了处理大规模数据的效率。熟练掌握使用FFT进行卷积和相关计算的方法，熟练掌握利用FFT进行频谱分析的方法。理解线性调频z变换和离散余弦变换的原理，以及与DFT的关系。3154.1DFT的计算量

复数乘法复数加法

实数乘法实数加法一次复乘42一次复加2316

基2FFT算法：时间抽取（DecimationInTime，DIT）频率抽取（DecimationInFrequency，DIF）3174.2时间抽取基2FFT算法

318

令4.2时间抽取基2FFT算法

319

4.2时间抽取基2FFT算法3208点DFT分解为两个4点DFT，再分解为四个2点的DFT

4.2时间抽取基2FFT算法321算法特点

在编程时，可以将每级蝶形单元的输出仍放在输入数组中。同址运算

4.2时间抽取基2FFT算法3223.输入倒位序，输出自然顺序

二进制倒位序

二进制

4.2时间抽取基2FFT算法32383264128256512102420486410244096163846553626214410485764194304128019244810242304512011264DFT乘法次数/FFT乘法次数5.3312.821.3336.5764113.78204.8372.36

4.DIT-FFT和DFT运算量比较每个蝶形有1次复数乘法和2次复数加法

共有复数乘法次数

共有复数加法次数

4.2时间抽取基2FFT算法3245.其他DIT-FFT的运算结构对信号流图来说，只要保持各节点所连的支路及其传输系数不变，则不论节点位置在同一列中如何排列，所得流图都是等效的，因而可有等效的DIT-FFT流图结构。按时间抽选，输入输出皆为自然顺序的FFT流图4.2时间抽取基2FFT算法325按时间抽选，各级具有相同几何形状，输入自然顺序，输出倒位序的FFT流图按时间抽选，各级具有相同几何形状，输入自然顺序，输出倒位序的FFT流图4.2时间抽取基2FFT算法3264.3频率抽取基2FFT算法

327

令

DIF的蝶形运算单元4.3频率抽取基2FFT算法328则

继续分解下去，直到最终分解为两点的DFT。4.3频率抽取基2FFT算法329按频率抽选的8点FFT运算流图4.3频率抽取基2FFT算法330DIF的算法特点：

DIF与DIT对比

3314.4离散傅里叶逆变换的快速算法

DFT正变换和逆变换运算结构相似

332

因此

计算步骤:4.4离散傅里叶逆变换的快速算法333

则有

计算步骤:

4.4离散傅里叶逆变换的快速算法334*4.5基4FFT算法4.5.1时间抽取基4FFT

335

继续抽取直到变成4点的DFT为止。

在嵌入式系统中，一般提供基2FFT算法，如果计算速度不满足要求，可以采用基4FFT算法。每个基4蝶形运算需要

3次复数乘法

算法类型复数乘法次数复数加法次数基2FFT基4FFT*4.5基4FFT算法3364.5.2频率抽取基4FFT

分别令

有

把一个16点的DFT分解为四个4点的DFT；

3374.6线性卷积的FFT算法

用FFT线性卷积的步骤：

338当一个序列长度远远大于另一个短序列长度的情况对长序列进行分段，每一段分别与短序列进行卷积，再进行组合得到卷积结果。4.6.1

重叠相加法

339

4.6.1

重叠相加法340

3414.6.2重叠保留法

342

4.6.2重叠保留法343

3444.7线性相关的FFT算法利用圆周相关定理求线性相关

3454.8线性调频z变换需要对某一段频带密集采样；有时需要对非单位圆上进行取样；只需要计算某一段频带内的频谱值。线性调频z变换（ChirpZ-Transform,CZT）：采用螺旋线取样计算更大范围的z变换采样值适合需要特殊取样的情况输入序列个数和输出序列数可以不相等DFT不适合的情况：346

CZT算法原理

347CZT计算公式

348

4.8线性调频z变换3494.8.3使用FFT计算线性调频z变换

3504.9离散余弦变换离散余弦变换（DiscreteCosineTransform,DCT）是DFT的一种特殊形式。广泛应用于语音和图像信号压缩。

镜像扩展

DFT

351

离散余弦变换公式

4.9离散余弦变换3524.9.2DCT的矩阵计算

DCT写成矩阵形式

353求矩阵逆运算可以得到逆DCT

4.9.2DCT的矩阵计算354离散余弦逆变换公式为

序列分解为不同频率的余弦信号之和。DCT只使用了余弦分量，而DFT以复数的形式同时使用余弦和正弦分量。

4.9离散余弦变换355

356

将DFT和DCT的一部分数值赋零值，然后恢复原序列，可以看到DCT恢复的信号更接近原序列，说明DCT具有更好的能量压缩特性，能够用更少的系数保存信号的能量。DCT是DFT的一种特殊形式，对某些类型的信号具有更好的能量压缩特性。在许多典型应用中（如音频、图像、视频等），信号信息往往大部分集中在低频分量中，对应的DCT有较少的变换结果，具有良好的能量压缩特性。但是DCT对具有大量突变的信号或者噪声信号具有较差的能量压缩特性。357第5章数字滤波器的基本结构第5章数字滤波器的基本结构358数字滤波器的基本结构数学描述图形表示差分方程单位样值响应系统函数IIR滤波器的结构格型滤波器结构信号流图方框图全零点格型结构全极点格型结构零极点格型结构FIR滤波器的结构直接型结构级联型结构直接型结构级联型结构并联型结构频率采样结构线性相位FIR滤波器结构本章重点-滤波器结构359理解滤波器每种实现结构的特点和适用范围，选择滤波器实现结构时需要考虑计算效率、稳定性、运算误差、实现的复杂性等因素。IIR滤波器的结构包括直接型、级联型、并联型等结构。FIR的结构则有直接型、级联型、频率采样型、线性相位结构，以及快速卷积结构等。3605.1数字滤波器的表示方法线性移不变系统的数学描述系统函数N阶差分方程

单位脉冲响应

在滤波器实现中，必须变换成一种算法，使用计算机或专用硬件完成对输入信号的运算。361滤波器结构的方框图或者信号流图加法器乘法器延迟器节点的值=所有输入支路的值之和支路的值=支路起点处的节点值×传输系数5.1数字滤波器的表示方法362选择适合的网络结构实现滤波器系统（1）计算复杂性。指乘法次数，加法次数，取值、存储的次数，两个数的比较次数等。计算复杂性会影响计算速度。（2）存储量。指系统参数、输入信号、中间计算结果以及输出信号的存储。（3）运算误差。主要是指有限字长效应，由于输入输出信号、系统参数、运算过程都受二进制编码长度限制，就会带