数字信号处理-使用Python分析与实现 课件 第1章 离散时间信号与系统

1第1章离散时间信号与系统李蓉艳同济大学电子与信息工程学院2离散时间信号1.离散时间信号的概念2.离散时间信号的表示3.常用的典型序列4.序列的周期性5.序列的运算离散线性移不变系统1.线性移不变系统2.单位采样响应3.因果性、稳定性4.常系数差分方程5.采样定理第1章离散时间信号与系统1.1离散时间信号的概念

连续时间信号—自变量连续有定义，幅值可以是连续的也可以是离散（量化）的离散时间信号

—自变量在离散时间点有定义，幅值是连续的，又称序列或采样信号。模拟信号—自变量连续有定义，且信号幅值连续有定义数字信号—自变量在离散时间点有定义，信号幅值常用二进制编码表示。3按照自变量和信号幅值的连续与离散分为四种情况：4连续信号离散信号数字信号量化信号1.1离散时间信号的概念

(a)(b)(c)(d)1.1.1离散时间信号-序列5

图像表示：顶端带小黑点的竖线表示一个采样值1.1.2典型序列1）单位采样序列6

n=np.arange(-10,11,1)x=(n==0)n=np.arange(-2,7)#定义变量nn0=3x=[1ifi==n0else0foriinn]

2）单位阶跃序列7

与单位采样序列的关系n=np.arange(-5,6,1)#定义序列下标x1=[1ifi>=0else0foriinn]#生成序列1.1.2典型序列

3）矩形序列8

与其他序列的关系importnumpyasnpN=10x1=np.where(np.arange(N)>=0,1,0)1.1.2典型序列9importmatplotlib.pyplotaspltimportnumpyasnpn=np.linspace(0,20,21,dtype=int)y1=np.power(1.5,n)4）实指数序列

1.1.2典型序列5）复指数序列10为数字域频率

例：1.1.2典型序列importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltn=np.arange(-6,8,1,dtype=32)omega_degree=[0,90,180,270]alpha=0.05*np.pi;omega=np.deg2rad(omega_degree)plt.rc("font",family='MicrosoftYaHei',size=12)foriinrange(len(omega)):x=np.exp((alpha+1j*omega[i])*n)print(x)plt.figure(i+1)plt.subplot(2,2,1),plt.stem(n,np.real(x),basefmt='--')plt.xlabel('n')plt.title('$\omega={}^\circ$实部'.format(omega_degree[i]))plt.subplot(2,2,2),plt.stem(n,np.imag(x),basefmt='--')……….11生成复指数序列的Python代码复数序列的形式12

实部和虚部：极坐标形式：

其中相位：

1.1.2典型序列6）正弦序列13模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率1.1.2典型序列importmatplotlib.pyplotaspltimportnumpyasnpn=np.linspace(0,20,40)fs=1x=4*np.sin(0.25*np.pi*n/fs+np.pi/4)plt.figure()plt.stem(n,x,basefmt='black')plt.plot(n/fs,x,'--'),plt.xlabel('t')plt.title(r"4sin(0.25$\pi$n+pi/4)")plt.tight_layout()plt.show()14序号使用的内置函数作用1np.sin()生成一个正弦函数2np.linspace()生成等间隔的数据点3plt.stem()绘制离散数据的茎线图4plt.plot()绘制连续曲线图生成正弦序列的Python代码1.1.2典型序列7）任意序列

15

例：x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。1.1.2典型序列1.1.3序列的周期性

16

17

1.1.3序列的周期性18

设连续正弦信号：采样序列：

1.1.3序列的周期性令：19例：N，k为互为素数的正整数即N个采样间隔应等于k个连续正弦信号周期1.1.3序列的周期性1.1.4序列的运算加法乘法累加能量平均功率移位翻褶时间尺度变换差分卷积和20信号处理是通过各种运算来完成的；这些信号处理的运算都是基本运算的组合。（1）加法

同序列号n的序列值逐项对应相加21

1.1.4序列的运算（2）乘法同序号n的序列值逐项对应相乘22

1.1.4序列的运算（3）累加23

1.1.4序列的运算（4）序列的能量24

1.1.4序列的运算（4）序列的平均功率25

1.1.4序列的运算（6）移位

261.1.4序列的运算（7）翻褶

x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n)

加以翻褶27

（a）原序列

（b）序列翻褶

（c）序列翻褶移位1.1.4序列的运算（8）时间尺度变换抽取

28

插值

1.1.4序列的运算（9）差分前向差分：29

1.1.4序列的运算后向差分：（10）卷积和设两序列x(n)、h(n)，则其卷积和定义为：301）翻褶：2）移位：3）相乘：4）累加：1.1.4序列的运算1.2离散时间系统

311.2.1时域离散的线性移不变系统

32

1.线性系统2.移不变系统

如果系统对输入信号的运算关系不随离散时间点的移动变化，也就是说系统的参数不随时间而变化，则这种系统称为移不变系统。33

1.2.1时域离散的线性移不变系统

34

35增量线性系统

线性系统x(n)y0(n)y(n)

361.2.2单位采样响应

T[·]

根据叠加原理

线性移不变系统的输出等于输入序列与单位采样响应的卷积37

1.2.2单位采样响应卷积分四步：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）累加：图解法解析法列表法对位相乘相加法向量矩阵乘法381.卷积的计算

39（1）

卷积计算的图解法

解：40（2）

卷积计算的解析法

41

42

解：

则

两式相加得

43（3）

卷积计算的列表法

1324

376

673

673

673

673

673

673解：

根据卷积和计算式列表如下：

44（4）

对位相乘法

将两序列按照右对齐排成两行，然后作乘法运算，不要进位，最后将同一列的乘积值相加即卷积和结果。

312

8642

4321

12963

1213171152

45（5）向量矩阵乘法

46用矩阵形式表示为

各行为前一行的循环右移1位每行循环右移1位形成的对角线元素相同的矩阵，称为Toeplitz矩阵（5）向量矩阵乘法47

卷积和与两序列的前后次序无关481.卷积的计算

系统级联的单位采样响应49

1.卷积的计算

系统并联的单位采样响应502.相关的计算

互相关运算没有卷积运算的翻褶这一步

（1）互相关运算性质1）互相关运算不满足交换律2）51

2）当是绝对可和的能量信号时，则有

52

4）可以用卷积运算来表示相关运算

（1）互相关运算性质（2）自相关函数序列53

自相关函数的性质：

542）当m＝0时自相关序列取最大值（序列与自己本身的相似程度是最大的）

3）若x(n)是绝对可和的能量信号时，有

（2）自相关函数序列55

解：编写程序计算两个序列的自相关和互相关。（3）功率信号的相关函数互相关：自相关：56当x(n)、y(n)为周期信号时：57

54321

1248

403224168

20161284

108642

54321

5143164493420858

12345

8421

12345

246810

48121620

816243240

82034496431145

自相关与互相关互相关——两个信号之间的相似程度，时间轴表示“挪了”多少“距离”，例如一个信号不动，另一个以起点开始“错动”，“挪”到某点时，两个信号的相似程度在函数值上体现，而“挪动”的“距离”在时间轴上体现。自相关——对于周期信号，自相关极值点间的距离就是周期；对于随机信号，自相关表示该信号的变化快慢，如果自相关函数平滑，说明变化慢。59相关的应用（1）在信号测量中，即使预先知道了振荡干扰，受到噪声和不确定性影响，常常难以发现信号中的振荡信息，信号的自相关可以帮助验证是否有周期振荡信号存在，并确定信号的周期；（2）时延估计：两个相似信号之间的互相关会产生振幅最大值。在雷达测量中可以确定距离或飞行时间，或者在同步信号、对齐信号方面有应用价值；（3）信号分析：使用互相关来分析地震信号、雷达、声呐和其他信号。将输入信号与已知标准信号对比可以帮助检测低于噪声阈值的事件、提取信息或识别特性事件。6061【例10.3.1】编写Python程序产生随机信号，用来模拟机器正常运行时的随机噪声，通过加入正弦信号模拟机器运行状态异常时发出的周期性振荡声音，观察异常时自相关函数波形，得到周期性振荡信号的周期。

1.2.3系统的因果性和稳定性

62

因果系统的单位采样响应必然是因果序列。63

1.2.3系统的因果性和稳定性稳定性是系统正常工作的前提条件。64

解：

1.2.4常系数线性差分方程一个N阶常系数线性差分方程表示为：

描述时域离散系统的输入输出关系它们决定系统的特征65

661.线性常系数差分方程的求解经典解法。这种解法类似于模拟系统中求解微分方程的方法，包括齐次解和特解，由边界条件确定待定系数，这种方法比较繁琐，实际中很少采用。迭代法。这种方法简单，适合用计算机求解，但只能得到数值解，不容易得到闭合形式（公式）解答。卷积和计算法。这种方法用于起始状态为零的情况，得到的是零状态解。这是在LSI系统中很重要的一种分析方法。如果起始状态不为零，还需要用求齐次解的办法得到零输入响应。变换域方法。如果在z域进行求解，方法简便有效，用得最多，z变换与分析连续时间系统的拉普拉斯变换类似，后面将会讨论。67

解：

68

解：

69

解：由差分方程得到系数矢量：a=[1,-0.5]，b=[1]输入取6个长度，X

=[1,0,0,0,0,0]输入序列为6个长度，则输出也为6个长度fromscipyimportsignalimportnumpyasnpb=np.array([1])a=np.array([1,-0.5])x=np.array([1,0,0,0,0,0])y=signal.lfilter(b,a,x)print(y)运行结果如下：[1.0.50.250.1250.06250.03125]利用Scipy库中的lfilter计算差分方程的递推解lfilter(b,a,x)：一维滤波函数70

解：使用冲激响应函数求解importnumpyasnpfromscipyimportsignalimportmatplotlib.pyplotasplts=signal.dlti([1,0],[1,-0.5])

#使用传输函数表示法创建LTI系统t,y=signal.dimpulse(s,n=6)#计算LTI系统的单位采样响应plt.rc("font",family='MicrosoftYaHei',size=12)plt.stem(t,np.squeeze(y),basefmt='--')plt.xlabel('n',fontsize=20)plt.title('冲激响应',fontsize=20)plt.grid(),plt.show(),print(y)差分方程的解(array([0.62,1.232,1.6320254,1.96870794,1.95972102,1.40011046,0.38456671,-0.77329974,-1.71844926,-2.18569435,-2.05880028]),array([-0.8814429,0.7411681]))运行结果如下：71当差分方程的初始状态不为零时，这时除了求零状态响应，还需求零输入响应，即由初始状态造成的输出响应，利用Scipy库中的lfiltic函数求系统全响应。

importnumpyasnpfromscipyimportsignalb=np.array([1,0.5,0])a=np.array([1,-0.6,0.36])ys=np.array([-1,-2])xs=np.array([1])xic=signal.lfiltic(b,a,ys,xs)n=np.arange(0,11)x=np.sin(np.pi*n/6)y=signal.lfilter(b,a,x,zi=xic)print(y)运行结果如下：(array([0.62,1.232,1.6320254,1.96870794,1.95972102,1.40011046,0.38456671,-0.77329974,-1.71844926,-2.18569435,