数字信号处理-使用Python分析与实现 课件 第9章 数字信号处理中的有限字长效应

1第9章有限字长效应李蓉艳同济大学电子与信息工程学院2024年12月第9章数字信号处理中的有限字长效应2有限字长效应数值表示的量化影响A/D转换的量化误差定点制的截尾与舍入误差浮点制的截尾与舍入误差量化误差的概率密度函数滤波器系数的量化误差加性噪声字长越长，噪声越小字长增加一位，信噪比增加6dB滤波器运算的量化误差零输入极限环振荡IIR和FIR有限字长效应零极点位置系数量化的字长量化噪声通过线性系统本章重点-有限字长效应3输入信号的量化效应系统的量化效应数字运算过程中的量化效应溢出误差（求和超过比特位容量）舍入噪声（乘法中的截断/舍入）系数量化（改变滤波器的零极点位置）极限环（IIR系统中的寄生振荡）4特性原码反码补码表示负数的方法符号位+绝对值正数取反取反后加1零的表示+0和-0+0和-0唯一0范围（8位）-127到+127-127到+127-128到+127加法运算复杂度需处理符号位需循环进位直接相加硬件实现简单但低效中等复杂度高效且简单原码：+5表示为00000101-5表示为10000101例8位系统中：反码：+5表示为00000101-5表示为11111010补码：+5表示为00000101-5表示为11111011补码因为运算高效和唯一零表示，成为有符号数的实际标准。反码因双零和运算复杂较少采用。原码仅用于需要直接访问绝对值的场景（如ADC输出）。9.1数值表示法对量化的影响59.1数值表示法对量化的影响1.数制定点表示相乘运算：运算后需要需要对尾数做截尾或舍入处理——截尾误差或舍入误差。加法运算：不会增加字长，但绝对值可能会超过1。这种运算错误称为溢出。算术精确但动态范围有限6浮点表示

优点：数值动态范围大；缺点：系统复杂、运算速度慢；

加法运算和乘法运算会产生舍入或截尾误差。9.1数值表示法对量化的影响72.码制（1）原码。

优点：乘除运算方便，正负数乘除运算都一样，并以符号位简单地决定结果的正负号。缺点：加减运算不方便。先要判断两数符号是否相同，相同则做加法，不同则做减法，做减法时还要判断两数绝对值大小，以便用大者作为被减数，这样增加了运算时间。9.1数值表示法对量化的影响8（2）补码。

9.1数值表示法对量化的影响9（3）反码。

9.1数值表示法对量化的影响103.量化方式-截尾与舍入（1）定点制的截尾与舍入误差。

9.1数值表示法对量化的影响

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舍入误差是对称分布的，而补码截尾误差是单极性分布的，因而它们的统计特性是不同的。一般来说舍入误差的影响要小，所以应用得多一些。12（2）浮点制的截尾与舍入误差。

9.1数值表示法对量化的影响13（3）量化误差的概率密度函数。设量化误差在整个可能出现的范围内是等概率的，也就是均匀分布的

149.2模拟/数字（A/D）转换的量化误差

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9.2模拟/数字（A/D）转换的量化误差16

9.2模拟/数字（A/D）转换的量化误差17（2）量化噪声与信号功率的关系。

表示成分贝数，则为

9.2模拟/数字（A/D）转换的量化误差18

9.2模拟/数字（A/D）转换的量化误差19（3）量化噪声通过线性系统。

9.2模拟/数字（A/D）转换的量化误差20

9.2模拟/数字（A/D）转换的量化误差21

229.3数字滤波器系数的量化误差（1）系数量化对零极点位置的影响。

零极点彼此密集时，系统对于极点位置灵敏度高。级联或并联型结构：分解为二阶子系统（SOS）零极点独立量化敏感度更低并联型优于直接型对IIR可能引发稳定性的问题对FIR不影响稳定性23（2）FIR滤波器系数量化的影响。

9.3数字滤波器系数的量化误差24

259.4数字滤波器运算中的量化误差（1）定点运算中的有限字长效应。“零输入极限环振荡”——对尾数进行舍入处理的情况下，无限冲激响应数字滤波器由于存在非线性舍入以及反馈环节，又可以产生自激持续振荡。

使用定点制时，每次乘法之后，会引入误差。使用浮点制时，每次加法和乘法之后均会引入误差。

一阶IIR网络的舍入等效结构26

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28一阶IIR网络的死带范围

29（2）IIR滤波器有限字长效应统计分析。

将每次乘法运算后舍入处理带来的舍入误差看作叠加在信号上的独立噪声。由于分析的系统是线性的，只要计算出每个噪声源通过系统后的输出噪声，利用叠加原理就可以得到总的输出噪声。9.4数字滤波器运算中的量化误差30（3）FIR滤波器有限字长效应统计分析。FIR滤波器没有反馈环节，因此舍入误差不会引起非线性振荡。也没有反馈造成的误差积累。所有舍入噪声均直接加在输出端，因而输出噪声只是这些噪声的简单相加。输出噪声方差为

9.4数字滤波器运算中的量化误差31（4）浮点运算中的量化误差。浮点制系统的分析中，用相对误差比用绝对误差更适合。取相同的尾数字长时，浮点运算的误差要比定点运算的误差小。浮点制系统的字长一定时，其输出的信噪比为一常数。

9.4数字滤波器运算中的量化误差32浮点运算的信噪比与信号的大小、结构和分布无关；在相同尾数字长情况，下浮点制的误差比定点制小，即浮点制运算精度比定点制高，但浮点制运算的高精度是以它的复杂性为代价换取的；虽然浮点制的误差与信号无关，但与滤波器的结构有关，一般滤波器阶数越高，误差越大。高阶滤波器应尽量用低级滤波器并联或级联实现。为了减少有限字长效应的影响，可以采取以下措施：增加量化字长：每增加一个字长，可以增加6分倍的信噪比。因此，选择更高精度的ADC或提高数字处理的字长可以有效降低量化噪声。选择合适的量化模式：在量化过程中，可以选择截断或四舍五入等不同的量化模式，以减少量化误差。优化算法：通过优化信号处理算法，减少对高精度计算的需求，从而间接降低有限字长效应的影响。9.4数字滤波器运算中的量化误差339.5本部分内容的Python例程1.数的二进制（1）Python内置了函数bin(x)，将十进制数转换为二进制字符串，字符串以0b开头，表示是二进制。例如print(bin(3),bin(16))输出结果为0b110b10000（2）也可以用反复除以2并记录余数，最终得到该十进制数的二进制表示。defdec2bin(dec_num):bin_num=""ifdec_num==0:return"0"whiledec_num>0:bin_num=str(dec_num%2)+bin_numdec_num//=2returnbin_numprint(dec2bin(10))输出结果为1010342.量化（1）编写定点表示的四舍五入量化子程序。defround_num(original_num,Bits):delta=1/(2**Bits)Quantized_num=np.round(original_num/delta)*deltareturnQuantized_num【例9.5.1】调用四舍五入量化子程实现0.123的四位二进制四舍五入量化结果importnumpyasnpdec_num=0.123Qua_num=round_num(dec_num,4)print(Qua_num)程序运行结果为0.1254位二进制数的量化间隔为1/16，0.123四舍五入量化后最接近1/16*2=0.125的这一区间值。9.5本部分内容的Python例程35（2）编写定点表示的截断误差子程序。deftruc_num(original_num,Bits):delta=1/(2**Bits)Quantized_num=np.floor(original_num/delta)*deltareturnQuantized_num【例9.5.2】调用截断误差子程序实现0.123的四位二进制截断量化结果importnumpyasnpdec_num=0.123Qua_num=truc_num(dec_num,4)print(Qua_num)程序运行结果为0.06250.123截断量化后最接近1/16*1=0.0625的这一区间值。363.滤波器系数量化滤波器系数可以是整数或者非整数。如果是整数，有限精度格式就可以在计算机中表示其值。如果是非整数，则需要无限精度格式来表示，以保持滤波器的特性。实际中由于数字系统的精度限制，系数量化后的滤波器极点和零点位置发生变化，滤波器实际实现后频率响应特性可能有很大改变。这里考虑滤波器系数量化的舍入处理。

由于有限精度的表示，在递归数字系统的实现中，输出信号出现了失真。无限精度下输出最终衰减为零，而有限精