高中数学 加练 专题8　第71练　直线与圆、圆与圆的位置关系

第71练直线与圆、圆与圆的位置关系(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知直线y=2x与圆(x-a)2+y2=4相交于A，B两点，若|AB|=23，则|a|等于()A.1 B.32 C.52答案C解析由题意得圆心(a，0)到直线2x-y=0的距离d=|2a2所以|AB|=2r2-d又r2=4，解得a2=54⇒|a|=52.已知圆C1：x2+y2-2x+my+1=0(m∈R)的面积被直线x+2y+1=0平分，圆C2：(x+2)2+(y-3)2=25，则圆C1与圆C2的位置关系是()A.外离 B.相交C.内切 D.外切答案B解析因为圆C1的面积被直线x+2y+1=0平分，所以圆C1的圆心1，-m2在直线x+2y+1=0上，所以1+2×-m所以圆C1的圆心为(1，-1)，半径为1.因为圆C2的圆心为(-2，3)，半径为5，所以|C1C2|=(-2-1)2因为5-1<|C1C2|<5+1，所以圆C1与圆C2的位置关系是相交.3.已知圆C1：(x-3)2+(y+2)2=1与圆C2：(x-7)2+(y-1)2=50-a，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于()A.14 B.34C.14或45 D.14或34答案D解析圆C1：(x-3)2+(y+2)2=1的圆心为C1(3，-2)，半径r1=1，圆C2：(x-7)2+(y-1)2=50-a的圆心为C2(7，1)，半径r2=50-a|C1C2|=(3-7)2因为圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，故圆C1与圆C2内切或外切，故|1-r2|=5或1+r2=5，从而r2=6或r2=4，所以r2=50-a=6或r2=50-a=4，解得a=14或a=34，所以实数a等于14或4.一条光线从点(-2，-3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或53 B.-35C.-23或23 D.-34答案D解析圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为(-3，2)，半径为1，根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(-2，-3)关于y轴的对称点(2，-3)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k，则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2)，即kx-y-2k-3=0，由反射光线所在直线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切，可得|-3k-2-2k-3|k2+1=1，整理得12k2+25k+12=05.已知直线y=k(x-3)+1与圆(x-1)2+(y-2)2=25交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A.5 B.10 C.25 D.45答案D解析根据题意，圆(x-1)2+(y-2)2=25的圆心坐标为C(1，2)，半径r=5，直线y=k(x-3)+1恒过点M(3，1)，且|CM|=(1-3)2+(2-1)2=5<5=r，故点M(3，1)在圆内，当直线与CM垂直时，|AB|最小，则|AB|的最小值为6.已知点P在直线l：4x+3y-10=0上，过点P的两条直线与圆O：x2+y2=2分别相切于M，N两点，则圆心O到直线MN的距离的最大值为()A.12 B.32答案C解析由图可知，OM⊥PM，ON⊥PN，所以O，M，N，P四点共圆，设P(m，n)，则该圆圆心坐标为m2半径为m2所以该圆方程为x-m22+整理得x2-mx+y2-ny=0，由它与圆O的方程x2+y2=2作差，得两圆相交弦MN的方程为mx+ny-2=0，所以圆心O到直线MN的距离d=2m又因为点P(m，n)在直线4x+3y-10=0上，则4m+3n-10=0，代入消元得d=2=2259=65×5m当且仅当m=85时取等号二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，则下列命题正确的有()A.直线l恒过定点(3，1)B.圆C被y轴截得的弦长为26C.直线l与圆C恒相交D.直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x-y-5=0答案ACD解析对于A，由已知可得，圆心C(1，2)，半径r=5，直线l方程可化为m(2x+y-7)+x+y-4=0，由2x+所以直线l恒过定点P(3，1)，A正确；对于B，将x=0代入圆的方程有1+(y-2)2=25，解得y=2±26，弦长为(0-0)2+(2+2B错误；因为点P(3，1)到圆心C(1，2)的距离为(1-3)2+(2-1)2所以点P在圆内，直线l与圆C恒相交，C正确；当圆心C与定点P的连线恰好与l垂直时，圆心到直线的距离最大，直线l被圆C截得的弦长最短，又kPC=1-23-1=-1则l的斜率k应满足kPC·k=-1，所以k=2，代入点斜式方程有y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0，D正确.8.已知直线l：kx+y+2k-1=0与圆C：x2+y2-6y-7=0相交于A，B两点，下列说法正确的是()A.若圆C关于直线l对称，则k=1B.|AB|的最小值为42C.当k=3时，对任意λ∈R，曲线W：x2+y2+3λx+(λ-6)y+5λ-7=0恒过直线l与圆C的交点D.若A，B，C，O(O为坐标原点)四点共圆，则k=5答案BCD解析对于A，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆C的圆心(0，3)，即3+2k-1=0，得k=-1，故A错误；对于B，l：kx+y+2k-1=0，整理得k(x+2)+y-1=0，不管k为何值，直线l始终过点D(-2，1)，当点D是线段AB的中点时，此时弦长|AB|最短，圆C：x2+(y-3)2=16，圆心C(0，3)，半径r=4，圆心C和点D的距离是22，所以最短弦长|AB|=2r2-(22)2对于C，当k=3时，直线l：3x+y+5=0，曲线W：x2+y2+3λx+(λ-6)y+5λ-7=0，即x2+y2-6y-7+λ(3x+y+5)=0，所以曲线W为过直线l与圆C交点的曲线方程，故C正确；对于D，若A，B，C，O四点共圆，设此圆为圆E，圆心E(a，b)，OC的中点为0，32，所以OC的垂直平分线方程为l1：y=32，所以圆E的方程为(x-a)2+y-322=a2+94，整理得x2+y2-2因为直线AB是圆C与圆E的交线，将圆C与圆E的方程相减得2ax-3y-7=0，所以直线AB的方程是2ax-3y-7=0，将直线l所过的定点D(-2，1)代入上式得-4a-3-7=0，得a=-52所以直线AB，即直线l的斜率为2a3=-即-k=-53，则k=53，故D三、填空题(每小题5分，共10分)9.直线l：x+y-2=0，圆O：x2+y2=4，则圆O上的点P到直线l的距离等于1的点有个.答案3解析因为直线l：x+y-2=0，圆O：x2+y2=4，所以圆心O到直线l的距离d=|0+0-2由于圆O的半径为2，所以圆O上恰好有3个对应的点P到直线l的距离等于1.10.已知圆C：x2+(y-2)2=16，点P在直线l：x+2y+6=0上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B.当∠APB最大时，cos∠APB=.答案-3解析如图所示，易知∠APB=2∠AP