高中数学 加练 专题2　第7练　函数的奇偶性

第7练函数的奇偶性(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x-1，则当x<0时，f(x)等于()A.2-x-x-1 B.2-x+x+1C.-2-x-x-1 D.-2-x+x+1答案D解析当x<0时，-x>0，f(-x)=2-x-x-1，因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-2-x+x+1.2.设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间[-2025，2025]上的最大值是M，最小值为m，则M+m等于()A.0 B.2 C.1 D.3答案B解析由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)=f(x)-1=x5+2x3+3x，则函数g(x)为奇函数，∴g(x)在区间[-2025，2025]上的最大值与最小值之和为0，即M-1+m-1=0，∴M+m=2.3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，+∞)上单调递减，f(-3)=0，则不等式f(x-1)>0的解集为()A.(-3，3)B.(-∞，-2)∪(1，4)C.(-∞，-4)∪(-1，2)D.(-∞，-3)∪(0，3)答案B解析根据题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，+∞)上单调递减，则f(x)在(-∞，0)上单调递减，又由f(-3)=0，则f(3)=0，则函数f(x)的草图如图所示，若f(x-1)>0，则有x-1<-3或0<x-1<3，解得x<-2或1<x<4，即不等式f(x-1)>0的解集为(-∞，-2)∪(1，4).4.若f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2x，则f(0)+g(1)等于()A.1 B.2 C.34 D.答案D解析f(x)+g(x)=2x， ①则f(-x)+g(-x)=2-x，又f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴-f(x)+g(x)=2-x， ②①②两式相加除以2得g(x)=2相减除以2得f(x)=2∴f(0)=0，g(1)=2+12∴f(0)+g(1)=545.已知函数f(x)=lg(|x|-1)+2x+2-x，则使不等式f(x+1)<f(2x)成立的x的取值范围是()A.(-∞，-1)∪(1，+∞)B.(-2，-1)C.(-∞，-3)∪(1，+∞)D.(-∞，-2)∪(1，+∞)答案D解析由|x|-1>0得f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，f(-x)=lg(|x|-1)+2-x+2x=f(x)，故f(x)为偶函数，而y=lg(|x|-1)，y=2x+12x在(1，+∞)故f(x)在(1，+∞)上单调递增，则f(x+1)<f(2x)可化为x解得x>1或x<-2.6.已知函数f(x)=21+x-21-x，x≥0，m·A.2 B.0 C.-2 D.-4答案D解析当x>0时，-x<0，因为f(x)是偶函数，所以有f(x)=f(-x)⇒21+x-21-x=m·2-x+n·2x⇒22x(2-n)=m+2，要想x>0上式恒成立，只需2-n=0，m+2=0⇒当x<0时，-x>0，因为f(x)是偶函数，所以有f(x)=f(-x)⇒21-x-21+x=m·2x+n·2-x⇒2-2x(2-n)=m+2，要想x<0上式恒成立，只需2-n=0，m+2=0⇒综上所述，m-n=-4.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.下列函数中，为奇函数的是()A.y=2x-2-xB.y=ln(x+1)+ln(x-1)C.y=xD.y=lnx答案ACD解析对于A，设f(x)=2x-2-x，定义域为R，f(-x)=-f(x)，为奇函数；对于B，y=ln(x+1)+ln(x-1)，定义域为(1，+∞)，所以为非奇非偶函数；对于C，作出函数的图象，如图实线部分所示，根据图象可知，为奇函数；对于D，设f(x)=lnx2+1+x，定义域为R，f(x)+f(-x即f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.8.已知函数f(x)的定义域为R，f(1)=4，且对任意实数m，n，有f(m+n)=f(m)+f(n)-2，当x>0时，f(x)>2.则下列结论正确的是()A.f(-1)=0B.f(x)是R上的增函数C.f(x)为偶函数D.f(x)-2为奇函数答案ABD解析函数f(x)的定义域为R，对任意实数m，n满足f(m+n)=f(m)+f(n)-2，令m=n=0，得f(0)=2f(0)-2，有f(0)=2，又f(1)=4，令m=1，n=-1，得f(0)=f(1-1)=f(1)+f(-1)-2，解得f(-1)=0，故A正确；当x>0时，f(x)>2，设x1<x2，则x2-x1>0，f(x2-x1)>2，由x2=x2-x1+x1，得f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)-2，即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-2>0，所以f(x1)<f(x2)，则f(x)是R上的增函数，故B正确；若f(x)为偶函数，则f(1)=f(-1)，与f(1)=4，f(-1)=0矛盾，故C错误；令n=-m，则f(0)-2=f(m-m)-2，即0=f(m)-2+f(-m)-2，所以函数f(x)-2为奇函数，故D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2023·全国甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2为偶函数，则a答案2解析∵f(x)=(x-1)2+ax+sinx=(x-1)2+ax+cosx=x2+(a-2)x+1+cosx，且函数为偶函数，∴a-2=0，解得a=2.经验证，当a=2时满足题意.10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2时，有x2f(x1)-x1f(x2)x1x2(x1答案(-2026，0)∪(2026，+∞)解析由x2f(x1)-x1f(x2)x1x2(x1-可得f(x设函数g(x)=f(x)x，x∈(-∞，0)∪(0则g(x)在(0，+∞)上单调递增，又因为f(x)为定义在R上的奇函数，即f(-x)=-f(x