高中数学 加练 专题2　第8练　函数的周期性与对称性

第8练函数的周期性与对称性(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-1f(x)，当x∈(2，4)时，f(x)=1+log3x，则f(99A.1 B.2 C.-12答案B解析因为f(x+2)=-1所以f(x+4)=-1=-1-1f(x)所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(99)=f(3+96)=f(3)=1+log33=2.2.已知函数f(x)=ax2+2a是定义在[a，a+2]上的偶函数，又g(x)=f(x+2)，则g-32，g(-2)，g(-3)的大小关系为A.g(-2)>g(-3)>g-3B.g(-3)>g-32>g(C.g(-2)>g-32>g(-3D.g-32>g(-3)>g(答案C解析因为函数f(x)=ax2+2a是定义在[a，a+2]上的偶函数，所以a+a+2=0，解得a=-1，所以f(x)=-x2-2，x∈[-1，1]，则g(x)=f(x+2)=-(x+2)2-2，x∈[-3，-1]，所以g(x)图象的对称轴为直线x=-2，且g(x)在[-3，-2]上单调递增，在[-2，-1]上单调递减.又g(-3)=g(-1)，-2<-32<-1所以g(-2)>g-32>g(-1即g(-2)>g-32>g(-33.设函数f(x)=ax3-x-3+a，若函数f(x-1)的图象关于点(1，0)中心对称，则实数a等于()A.-1 B.0 C.1 D.2答案B解析因为函数f(x-1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，即f(x)为奇函数，故f(-x)+f(x)=a(-x)3-(-x)-3+a+ax3-x-3+a=2a=0，所以a=0.4.已知函数f(x-1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，当x∈[-1，1]时，f(x)=x-1，则f(2025)等于()A.-2 B.-1 C.0 D.2答案C解析根据题意，函数f(x-1)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为x=-1，则f(x)=f(-2-x).又由函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，则有f(x)=-f(2-x)，所以f(-2-x)=-f(2-x)，则f(x+4)=-f(x)，f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数，所以f(2025)=f(253×8+1)=f(1)=0.5.设定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=1对称，f(x+2)为奇函数，若f(1)+f(2)=2，则2025Σk=1f(k)等于(A.0 B.2 C.4 D.2025答案B解析定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=1对称，则f(2-x)=f(x)，由f(x+2)为奇函数，得f(-x+2)=-f(x+2)，于是f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，因此函数f(x)是以4为周期的周期函数，由f(x+2)=-f(x)，得f(1)+f(3)=f(2)+f(4)=0，由f(-x+2)=-f(x+2)，得f(2)=0，而f(1)+f(2)=2，则f(1)=2，所以2025Σk=1f(k)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)6.已知函数f(x)在[-2，+∞)上单调递增，y=f(x-2)的图象关于y轴对称，若关于m的不等式f(m-1)-f(2m+1)<0成立，则实数m的取值范围是()A.(-∞，-2)∪(0，+∞)B.(-2，0)C.-2D.(-∞，-2)∪-答案D解析因为y=f(x-2)的图象关于y轴对称，则y=f(x)的图象关于直线x=-2对称，又函数f(x)在[-2，+∞)上单调递增，所以f(x)在(-∞，-2]上单调递减，由f(m-1)-f(2m+1)<0，可得f(m-1)<f(2m+1)，由函数的单调性以及对称性可得|(m-1)-(-2)|<|2m+1-(-2)|，即|m+1|<|2m+3|，化简可得3m2+10m+8>0，解得m>-43或m<-2则实数m的取值范围是(-∞，-2)∪-4二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且当x∈(2，3)时，f(x)=|2x-5|，则下列结论正确的有()A.函数f(x)的周期为2B.函数f(x)在区间(-1，0)上单调递增C.f(1)=0D.f(2025.5)=0答案ACD解析因为函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，故函数f(x)是周期函数，周期为2，故A选项正确；由奇函数性质得，函数f(x)在区间(-1，0)与(0，1)上的单调性相同，由函数的周期性得函数f(x)在(0，1)上的单调性与在(2，3)上的单调性相同，因为当x∈(2，3)时，f(x)=|2x-5|=5-2x，2<x<52，2x-5，52≤x由函数f(x)在R上是奇函数，则f(1)=-f(0)=0，故C选项正确；由函数的周期性得，f(2025.5)=f(1.5)=-f(0.5)=-f(0.5+2)=-f(2.5)=0，故D选项正确.8.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.现已知函数f(x)=ax+1x-1+a，则下列说法正确的是(A.函数y=f(x+1)-2a为奇函数B.当a>0时，f(x)在(1，+∞)上单调递增C.若方程f(x)=0有实根，则a∈(-∞，0)∪[1，+∞)D.已知定义域为R的函数g(x)的图象关于点(1，1)中心对称，若a=12，且f(x)与g(x)的图象共有2026个交点，记为Ai(xi，yi)(i=1，2，…，2026)，则(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x2026+y2026)答案ACD解析对于A，因为f(x+1)-2a=a(x+1)+1x+a-2a=ax+1x，所以y=ax+1x是奇函数对于B，因为f

32=52a+2，f(2)=3a+1，所以f

32-f(2)=1-a2，当0<a<2时，f(x)在(1，+∞)对于C，令f(x)=ax+1x-1+a=0，显然x≠-1，所以a=11-x2，因为1-x2∈(-∞，0)∪(0，1]，所以11-x2∈(-∞，0)∪[对于D，由A可知，当a=12时，f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，且g(x)的图象关于点(1，1)中心对称，所以这2026个交点关于点(1，1)对称，故(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x2026+y2026)=(x1+x2+…+x2026)+(y1+y2+…+y2026)=2026+2026=4052，故D正确三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知函数f(x)的定义域为R，f(1-x)=f(x)，且f(x)在12，+∞上单调递减，则关于x的不等式f(x+1)>f(2-3x答案-∞，14∪(1解析因为f(1-x)=f(x)，f

1-x+12=f

x所以函数f(x)的图象关于直线x=12对称又f(x)在12，所以f(x)在-∞，12上单调递增，作出f(x)结合草图可知，要使f(x+1)>f(2-3x)，则(x+1)到12的距离小于(2-3x)到12的距离，故不等式f(x+1)>f(2-3x等价于(x+1)-12<(2-3x)-12，两边同时平方后整理得4x2-5x+1>010.已知函数f(x)是定义域为R且周期为4的奇函数，当x∈[0，2]时，f(x)=-x2+2x，g(x)=f(x)+f(x+1)，则g(x)的最大值为.答案3解析因为y=f(x)是周期为4的函数，故y=f(x+1)也是周期为4的函数，当x∈[0，2]时，f(x)=-x2+2x，所以当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，故f(-x)=-f(x)=-(-x)2-2x，所以当x∈[-2，0]时，f(x)=x2+2x，当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，f(x-4)=f(x)=(x-4)2+2(x-4)，所以当x∈[2，4]时，f(x)=x2-6x+8，则当x∈[-2，-1)时，x+1∈[-1，0)，g(x)=f(x)+f(x+1)=x2+2x+(x+1)2+2(x+1)=2x2+6x+3，当x∈[-1，0)时，x+1∈[0，1)，g(x)=f(x)+f(x+1)=x2+2x+[-(x+1)2+2(x+1)]=2x