高中数学 加练 专题3　第23练　指对同构

第23练指对同构(分值：40分)指对同构的常用形式(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：①同左构造形式：aea≤lnbelnb，构造函数f(x)=xex；②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f(x)=xlnx；③取对构造形式：a+lna≤lnb+lnlnb(b>1)，构造函数f(x)=x+lnx(2)商型：eaa≤①同左构造形式：eaa≤elnblnb，构造函数②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数③取对构造形式：a-lna≤lnb-lnlnb(b>1)，构造函数f(x)=x-lnx(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有两种同构方式：①同左构造形式：ea±a>elnb±lnb，构造函数f(x)=ex±x；②同右构造形式：ea±lnea>b±lnb，构造函数f(x)=x±lnx.一、单项选择题(每小题5分，共15分)1.若ex-ax≥-x+ln(ax)，则正实数a的取值范围为()A.0，1e B.(0C.1e，+∞ D.(e答案B解析不等式ex-ax≥-x+ln(ax)，可化为ex+x≥eln(ax)+ln(ax)，设g(x)=ex+x，则g'(x)=ex+1>0，即g(x)在R上是增函数，而g(x)≥g(ln(ax))，因为a>0，x>0，所以x≥ln(ax)=lna+lnx，lna≤x-lnx恒成立，令f(x)=x-lnx，则f'(x)=1-1当0<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(1)=1，故只需lna≤1，即a≤e.又a>0，所以a的取值范围为(0，e].2.已知a<0，不等式xa+1ex+alnx≥0对任意的实数x>1恒成立，则实数a的最小值为()A.-12e B.-2e C.-1e D答案D解析xa+1ex+alnx≥0⇔xa+1ex≥-alnx⇔xex≥-alnxxa⇔xex≥1xaln1xa⇔xex设f(x)=xex(x∈R)，则f(x)的大致图象如图所示，不等式①即为f(x)≥f

ln1xa，因为x>1，所以f(x)≥f

ln1xa等价于x≥ln1xa，即x≥-alnx，即-a≤xlnx，令g(x)=xlnx(x>1)，则g'(x)=lnx-1(lnx)2，当所以g(x)min=e，所以-a≤e，故a≥-e，即实数a的最小值为-e.3.若对任意x∈(0，1)，lnxx<x+2aex+2A.-12，12 B.[C.[-1，+∞) D.-答案D解析由lnxx<x+2ae当a≥0时，x∈(0，1)，lnxelnx<0，x+2当a<0时，令f(x)=xex，则f(lnx)<f(x+2a)恒成立，f'(x当x∈(-∞，1)时，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，1)上单调递增，又当x∈(0，1)时，lnx∈(-∞，0)，2a+x∈(-∞，1)，所以只需lnx<2a+x在(0，1)上恒成立，即2a>lnx-x在(0，1)上恒成立.令g(x)=lnx-x，则当x∈(0，1)时，g'(x)=1-xx即g(x)在(0，1)上单调递增，又g(1)=ln1-1=-1，故2a≥g(1)=-1，此时有-12≤a<0综上，a的取值范围是-1二、多项选择题(共6分)4.若不相等的正数a，b满足aa=bb，则()A.a>1B.b<1C.a+b>2D.n+1nn+1n>n+2答案BCD解析由aa=bb，得alna=blnb，令f(x)=xlnx，f'(x)=lnx+1=0，解得x=1当x∈1e，+∞时，f'(当x∈0，1e时，f'(x所以f(x)在0，1e上单调递减，在所以0<a<1，0<b<1，故A不正确，B正确；要证明a+b>2即证明b>2e-a只需证f(b)>f

2只需证f(a)>f

令g(x)=f(x)-f

2=xlnx-2e-xln2eg'(x)=lnx+1+ln2e=lnx2e所以g(x)在0，1所以g(x)>g1e=0所以a+b>2e，故由于f(x)在(1，+∞)上单调递增，而n+1n所以f

n+1n>所以n+1nlnn+1n>所以n+1nn+1n>n+2n+1n+2n三、填空题(共5分)5.若f(x)=xex-a(x+lnx)有两个零点，则实数a的取值范围是.答案(e，+∞)解析f(x)=xex-a(x+lnx)=ex+lnx-a(x+lnx)，令t=x+lnx，t∈R，显然该函数为增函数.当t=0时，f(x)=1在(0，+∞)上恒成立，无零点，故t≠0.当t≠0时，由et-at=0，得a=e可知函数y=ett(t≠0)的图象与直线y=a有两个交点，令g(t)=ett则g'(t)=e当t>1时，g'(t)>0，g(t)在(1，+∞)上单调递增；当t<0或0<t<1时，g'(t)<0，g(t)在(-∞，0)，(0，1)上单调递减，g(t)的极小值为g(1)=e，则函数g(t)=ett(t≠0)由图可得a>e，故实数a的取值范围为(e，+∞).四、解答题(共14分)6.(14分)已知函数f(x)=xlnx-x-lnx+1的导函数为f'(x).(1)证明：函数f(x)有且只有一个极值点；(6分)(2)若xf'(x)-f(x)≤-3-mxex恒成立，求实数m的取值范围.(8分)(1)证明由题意知f(x)的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=lnx+1-1-1x=lnx-令φ(x)=lnx-1x(x>0)则φ'(x)=1x+1x2=所以φ(x)即f'(x)在(0，+∞)上单调递增，又f'(1)=-1<0，f'(e)=1-1e>0所以f'(x)在(1，e)上有唯一零点x0，当0<x<x0时，f'(x)<0，当x>x0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，所以函数f(x)有且只有一个极值点x0.(2)解xf'(x)-f(x)≤-3-mxex恒成立，即(xlnx-1)-(xlnx-x-lnx+1)≤-3-mxex恒成立，即lnx+x+1≤-mxex恒成立，即ln(xex)+1≤-mxex恒成立.令t=xex>0，则lnt+1≤-mt，所以-