2026-2027学年北师大版九年级数学上册 第2章《一元二次方程》达标测试卷

【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】

第2章《一元二次方程》达标测试卷

一、选择题：本大题共8小题，共24分。

1.下列方程属于一元二次方程的是（）

A.r2—4=0B.x—y=5C.ax2+bx—c=0D.x4-1=3

2.一元二次方程5--2x+2=0的一次项系数是（）

A.5B.-2C.2D.0

3.用配方法解一元二次方程/一2%一2025=0,将它转化为（x+a）2=6的形式，则曲的值为（）

A.-2026B.2026C.-1D.1

4.关于x的一元二次方程/+以一6=0的一个根为2,则〃的值为（）

A.-2B.2C.-1D.1

5.若关丁人的一元二次方程入2-2人-1=0有两个不相等的实数根，则A的取值范围是（）

A.k>-18.左>一1且上。0C.k<1D.kVl且々H0

6.如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30c”?、宽为20的长方

形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xc/〃，根据

题意可列方程（）

A.(30+%)(20+%)=600B.(30+2x)(20+2x)=600

C.(30-2x)(20-2%)=1200D.(30+2x)(20+2x)=1200

7.已知等腰三角形的一边长为4,另外两边长是关于X的方程kd-(/c+8)x+8=0的两个根，则这个等

腰三角形的周长为()

A.7B.8C.9D.10

8.我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法•以方程/+5x-14=0,BPx（x4-5）=14为

例说明，《方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是（％+%+5）2同时它又等于四个矩形的

面积加上中间小正方形的面积，即4x14+52,因此％=2.小明用此方法解关于X的方程％2+mx-n=0

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时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14,小正方形的面积为4,则()

A.m=2,n=3B.m=—,n=2

C.m=I，n=2D.TH=2,n=|

二、填空题：本大题共5小题，共15分。

9.将一元二次方程3/-4=6x化成i般式为.

10.若关干x的一元二次方程(TH-2)x2+4x4-2=0有两个实数根，则机的取值范I制是.

11.有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人.

12.若“〃是一元二次方程/一5无+2=0的两个实数根，则根+5-2产的值为.

13.如图，在直角三角形A8c中，NB=90。，AB=5cm,BC=6cm,点尸从点8开始沿射以Icm/s的

速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm/s的速度向点。运动.当t=5时，四边形

ACQP的面积为^PQ8面积的条

三、计算题：本大题共1小题，共6分。

14.解方程：

(l)x2-6x+5=0;

(2)(x+3)(x-1)=5.

四、解答题：本大题共6小题，共55分。

15.关于x的一元二次方程/-kx-k-l=0.

(1)求证：方程总有两个实数根：

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(2)若方程有一个根大于0,求A的取值范围.

16.公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售

出150个，6月份售出216个.

(1)求该品牌头盔销售量的月均增长率；

(2)此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每

上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该

品牌头盔的销售价应定为多少元？

17.学习的本质是自学.周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式/+4乃+6进行了配方，发现/+

4%+6=工2+4%+4+2=(%+2)2+2,小容发现(x+2)2是一个非负数，BP(x+2)2>0,他继续探

索，利用不等式的基本性质得到Q+2)2+220+2=2,即(x+2)2+2N2,所以，他得出结论是(％+

2)2+2的最小值是2,即/+4%+6的最小值是2.小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值

可以用配方法，他自己设计了两个顾，请你解答.

(1)求代数式一6m+10的最小值；

(2)求代数式一2/-4%+3的最值.

18.如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，伺养室的一面靠现有墙(墙足够长)，中间用

一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1，〃宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长为

527n.

-1-1C

(1)①设AB的长为加用含x的代数式表示BC的长;②若建成的饲养室总占地面积为2407n2,求顾的

长；

(2)假设有只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，间每天传

染中平均一只鸡传染了几只鸡？

19.配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或儿个完全平方式的和的

方法.这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一.我们定义：一

个整数能表示成a2+b2(a”是整数)的形式，则称这个数为“和美数”.例如，10是“和美数”.理由：因为

10=32+M.再如，M=/+2%?+2y2=(x+y)2+y2(%,y是整数)，所以M也是“和美数”.

(1)解决问题：

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(1)请你再写一个小于10的“和美数”：,判断40是否为“和美数”：;

(2)若二次三项式/一4%+5(%是整数)是“和美数”，可配方成(x-m)2+为常数)，则加〃的值

为.

(2)探究问题：

(1)已知“和美数”％2+/-2%+4丫+5。/是整数)的值为0,则％+y的值为;

(2)已知5=7+4)/2+4%一12丫+«》/是整数，2是常数)，要使S为“和美数”，试求出符合条件的A

值.

拓展结论：已知实数x,y满足一/+3x+y-5=0,求x+y的最小值.

20.如图，在矩形人BCO中，AB=16cm,BC=6cm,动点P,Q分别以3cm/s,2cm/s的速度从点人，C

同时出发，沿规定路线移动.

(1)若点P从点4移动到点8停止，点Q随点尸的停止而停止移动，问经过多长时间P,。两点之间的距

离是10cm?

(2)若点〃沿着48CD移动，点。从点C移动到点。停止时，点。随点Q的停止而停止移动，试

探求经过多长时间△PBQ的面积为12皿2.

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答案和解析

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】B

【解析】解：•••关于x的一元二次方程收2+2%-1=0有两个不相等的实数根，

21=22-4x/cx(-1)>0且k土0,

解得A>一1且kH0,

故选：B.

本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程a/+法+c=0®H0)的根与4=b2-

4ac有如卜关系：①当』>0时，万程有两个不相等的实数根；②当4=0时，方程有两个相等口勺实数根；

③当4V0时，方程无实数根.

由关于x的一元二次方程k/+2x-1=。有两个不相等的实数根，知/=22-4xkx(-1)>0且k*

0,解之可得答案.

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键.

根据题意画出图形，得出爪2=4,4n=14-4,即可得出答案.

【解答】

解：如图，

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Xx+m

解得：m=2,n=|•

故选：D.

9.【答案】3x2-6%-4=0

10.【答案】血工4旦加工2

11.【答案】12

【解析】解：设平均一人传染了3人，

x+1+(x+1)%=169

x=12或％=-14(舍去).

平均一人传染12人.

故答案为：12.

设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解.

本题考查一元二次方程的应用，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解.

12.【答案】7

13.【答案】3

【解析】当运动时间为fsB寸，BP=tcm,BQ=2tcm.

由题意，四边形ACQP的面积为APQB面积的反，.・.△PQB的面积是△力BC面积的|,

/.1t-2t=|x|x5x6,整理，得g=9,解得q=3,亡2=-3(不符合题意，舍去)，

即当t=3s时，四边形ACQP的面积为^PQB面积的生

14.【答案】【小题1】

解：X2—6x+5=0,

(x-5)(x-1)=0,

x-5=0或工-1=0,

所以/=5,%2=1-

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【小题2】

(x4-3)(x-1)=2,x2+2x-3=2,

x2+2x—5=0,这里a=l,b=2,c=-5,

因为卅-4以:=4+20=24,

一一乃

所以无二2±E2±2

2x1-2-

即=—1+V-6»x2=-1—>/-6.

15.【答案】【小题1】

证明：由题意可知，A=(-k)2-4(-/c-1)=/c2+4/c+4=(A+2)2>0,

•••方程总有两个实数根.

【小题2】

解：x2-kx—k-1=0,(x-k-1)(%+1)=0,

：•x=k+1或x=-1.

•.,方程有一个根大于0,二&+1>0,二k>一1.

16•【答案】【小题1】

解：设该品牌头盔销售量的月均增长率为X，

依题意，得150(1+%)2=216,

解得%1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).

答：该品牌头盔销售量的月均增长率为20%.

【小题2】

设该品牌头盔的销售价为)，元，依题意，得

(y-30)[600-10(y-40)]=10000,

解得力=50,y2=80.

•••尽可能让顾客得到实惠，

•••y=80不合题意，舍去.故y=50.

答：该品牌头盔的销售价应定为50元.

17.【答案】【小题1】

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解：由m2-6m+10=m2—6m+9+1=(m-3)2+1>0+1=1,

:.m2-6m+10的最小值是1,此时m=3.

【小题2】

[tl-2x2-4x+3=-2(x2+2x+1)+5=-2(x+l)2+5<0+5,

.2/一4%+3的最大值是5,此时％=-1.

18.【答案】【小题1】

解：①•••可建围墙(不包括门)的总长为52”且48边长为x/〃，

•••BC边长为52+2-3%=(54-3x)m.

②根据题意，得%(54-3%)=240,

整理，得%2-18%4-80=0,

解得%1=8.x2=10.

答：饲养室总占地面积为2407几2时，/W的长为8〃?或10m.

【小题2】

设每天传染中1只鸡传染了4只鸡，则笫一天传染中有x只鸡被传染，笫二天传染中有％(1+不只鸡被传

染，

依题意，得1+%+%(1+%)=64,

整理，得(1+X)2=64,

解得勺=7,不=-9(不符合题意，舍去)

答：每天传染中平均一只鸡传染了7只鸡.

19•【答案】【小题1】

4

/

答案不唯一

是

2

【小题2】

(1)-1；

(2)S=x2+4yz+4%—12y+/c=(x+2)z+(2y-3)z+k-13,

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由题意得k-13=0,k=13.

拓展结论：v-x2+3x+y-5=0,

x+y=x2-2x+5=(x-I)24-4>4,

当％=1时，x+y最小，最小值为4.

【解析】1.

解：(1)4是“和美数”，理由：4=2?+02(答案不唯一)；

40是“和美数”，理由：40=62+22.

故答案为4(答案不唯一);是.

(2)x2—4%4-5=%2—4%+4