人教八年级数学下册专项练习-平行四边形的判定-九大题型

平行四边形的判定•九大题型

【知识点1平行四边形的判定】

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

⑵定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

⑸定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【题型1判断能否构成平行四边形】

【例1】（湖南永州•九年级校考阶段练习）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条

用钉子钉成一个矩形框架4BC0,然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形4BCD为平

行四边形；②对角线8。的长度不变；③四边形4BCD的面积不变；④四边形4BCD的周长不

变，其中所有正确的结论是（）

A.①②B.①④C.①②④D.①③④

【变式7］（北京西城•八年级校考期中）下列乙4：：“：乙。的值中，能判定四边形ABCD

是平行四边形的是（）

A.1：2：3：4B.1：4：2：3C.1：2：2：1D.3：2：3：2

【变式1・2】（河南新乡•八年级新乡市第十中学校考期中）在四边形4BC0中，对角线4c,8。

相交于点.给出下列四组条件：；③

0®AB\\CDfAD\\BC®AB=CD,AD=BC,40=CO,

B0=D0；®AB\\CD,AD=BC.其中一定这个四边形是平行四边形的条件有（）

A.①②③R.②③④C.①②④D.①③④

【变式1-3】（浙江舟山•八年级统考期末）如图，已知目4BCD的一组邻边AB,BC,用尺规

作图作团4BC。，下列4个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型2添加条件构成平行四边形】

【例2】（山东枣庄•八年级统考期末）如图，平行四边形ABCO中，E,尸是对角线4C上的两

点，如果添加一个条件使四边形BE。尸是平行四边形，则添加的条件不能是（）

A.DE=BFB.AE=FCC.AF=CED.Zl=Z2

【变式2・1】（河南南阳•八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D,E,F分别为边BC,

AB,AC上的点，连接FD并延长到点G,已知尸GIL4B，则添加下列条件，可以使线段AG,

DE互相平分的是（）

【变式2・2】（黑龙江双鸭山•八年级统考期末）若。是四边形ABCD的对角线AC和BD的

交点，且OB—OD,AC-24cm,则当OA~cm时，四边形ABCD是平行四边形.

【变式2-3］如图，在四边形ABCD中，DELAC,BFLAC,垂足分别为点E,F.

⑴请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形DEBF为平行四边形，你添加的条件

是______.

⑵添加了条件后，请证明四边形DEBF为平行四边形.

【题型3数图形中平行四边形的个数】

【例3】（内蒙古包头•八年级统考期末）如图，在平行四边形4BC0中，EFIIBC,GH||

AB,EF与GH相交于点O,图中共有个平行四边形（）

GD

A.4个B.5个C.8个D.9个

【变式3・1】（重庆•八年级期末）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成,

其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个

图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数

为（）

%

【变式3・2】（浙江杭州•八年级期末）如图，点A,B,C在同一直线上，点D,E,F,G在

同一直线上，＞4C//DG,AD//BE//CF,AF//BG.图中平行四边形有（）个

ABC

【变式3・3】（内蒙古呼伦贝尔・八年级统考期末）如图，由25个点构成的5x5的正方形点阵

中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是I个单位.定义：由点阵中的四个点为顶点的平

行四边形叫做阵点平行四边形.图中以A,B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为

（）

A.6个B.7个C.9个D.11个

【题型4求与已知三点组成平行四边形的点的个数】

【例4】(四川广元•八年级统考期末)已知A,B,C三点的坐标分别是(3,3),(8,3),(4,

6),若以A,B,C,D四点为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是()

A.(-1,6)B.(9,6)C.(7,0)D.(0,-6)

【变式4・1】以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形最多能作()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式4-2](湖南邵阳•八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系内，以A(3,5),B(1,

1),C(4,1)三点为顶点画平行四边形.

⑴可以画多少个平行四边形？

⑵写出每个平行四边形第四个顶点D的坐标.

【变式4・3】在平面直角坐标系xOy中,已知点A(l,1),B(3,2).

(1)如图1，在y轴上是否存在一点P,使PA+PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

(2)如图2,点C坐标为(4,1),点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，

求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形；

(3)点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、R、P、Q为顶点的四边形是平行区边形，请

直接写出点P以及对应的点Q的坐标.

八

♦B

>

Ox

图1图2

【题型5证明四边形是平行四边形】

【例5】（山东泰安•八年级校考期末）如图，在ZkABC中，BC=4C,点E,F分别是边48,

4c的中点，连接EF并延长，交外角乙ACD的平分线于点G.求证：四边形4ECG是平行

四边形.

【变式5・1］（湖北恩施•八年级统考期末）如图，BE是AABC的中线，延长BE到D,使ED

=BE,连接AD,CD,补全身形.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

【变式5・2］（宁夏中卫•八年级校考期末）如图，是等边三角形，点。是射线上的

一个动点（点D不与点3,C重合），ZkADE是以40为边的等边三角形，过点E作BC的平行线,

分别交射线48,4c于点尸，G,连接BE.

（1）求证：AAEB丝△4OC.

（2）当点。在线段BC上时.探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并写出证明过程.

【变式5・3】（江西九江•八年级统考期末）如图，在平行四边形4BCD中，E,尸分别是4D,BC

边上的点，且DE=CF,连接BE和4产的交点为M,CE和。尸的交点为N,连接MN,EF.

⑴求证：四边形4BFE为平行四边形；

（2）若4。=6cm,求MN的长.

ED

【题型6全等三角形拼平行四边形问题】

【例6】（福建厦门•八年级统考期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其

中一种纸片的两条直角边长分别为1和2,另一种纸片的两条直角边长都为2.图1、图2、

图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.

⑴请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把

图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四

边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形校实际大小画在图1、图2、图3的方

格纸上.

要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合;

②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹.

⑵请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）.

【变式6・1】（全国•九年级专题练习）如图,有两块全等的含30。角的直角三角板，将它们拼

成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（）

A.1种B.2种

【变式6・2】（河南周口•三模）把三角形形状的纸片放在方框纸上，使其每一个顶点都在格

点上，如图1所示（方格边长均为N）.对这个三角形进剪切、拼接后，可以得到一个平行

四边形，如图2中阴影部分所示.

剪切、拼接的方案如下：如悭2,取BC的中点M,连接AM;剪下△AMC后，拼接至1床BEA

位置，可得到平行四边形AEBM.

我们约定；剪切、拼接时，纸片的每一部分都要被用到，而且不得用所给纸片以外的纸片.

⑴请你采用不同于图2的剪切、拼接方案，也得到一个平行四边形，在图3中用阴影表示出

你得到的平行四边形，并补充已知和求证，写出证明过程.

⑵对这个三角形进行剪切、拼接后，也可以得到一梯形.试在图4中，用阴影表示出你得到

的梯形（不必说明剪切、拼接方案，但必须保留作图痕迹）.

【变式6・3］如图所示，A4BC的顶点在8x8的网格中的格点上.

⑴画出44BC绕点A逆时针旋转90°得到的44B1C1；

⑵在图中确定格点D,并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形.

【题型7利用平行四边形的判定和性质求解】

【例7】（山东淄博•八年级校考期末）如图，在国4BCO中，过对角线8。上一点P作EFIIBC,

GH||AByFI.CG=3BGfSa=1.5，贝USmAW=一

【变式7・1】（湖北十堰•八年级统考期末）如图，在中，4cB=90。，分别以48,

4c为腰向外作等腰直角三角形48。和等腰直角三角形4CE,连接OE,C4的延长线交OE于点

F,则与线段4尸相等的是（）

D

A.BCB.iABC.\ACD.\AB

2223

【变式7・2】(广东深圳•八年级校考期末)如图，BD垂直平分AC,交AC于E,ZBCD=

ZADF,FA±AC,垂足为A,AF=DF=5,AD=6,则AC的长为

【变式7・3】(江苏•八年级期末)【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合

作探究.图①是一块边长为12cm的等边三角形学具，P是边4c上一个动点，由点4向点C运

动，速度为lcm/s,Q是边CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方

向运动，连接PQ,交4B于点。，设点P运动的时间为t(s).

(1)【问题】填空：CP+CQ=cm；

⑵当NDQB=30。时，求t的值；

(3)【探究】如图②，过点P作PEJ.4B,垂足为E,在点P,点Q运动过程中，线段。E的长度

是否发生变化？若不变，请求出DE的长度；若变化，请说明理由.

【题型8利用平行四边形的判定和性质证明】

【例8】(吉林长春•八年级统考期末)如图，以肉4BCD的边48、CD为边，作等边△48E和

等边△COF,连接OE,BF.求证：四边形8FDE是平行四边形.

D

【变式8・1］（四川成都•八年级校考期末）如图，在平行四边形A8C0中，对角线AC,B0相

交于点0,BD=2AB,点E为线段0C的中点.

（1）求证：乙AB0=2乙0DE；

（2）若F,G分别是OB,4。的中点.

①判断△EFG的形状并证明你的结论；

②当E/JLEG,且ZB=2百时，求平行四边形ABC。的面积.

【变式8・2］（四川成都•八年级统考期末）己知，在△4BC中，点M是BC的中点，点D是

线段4M上一点（不与点A重合）.过点D作4B的平行线，过点C作4M的平行线，两线交

于点E,连结4E.

⑴如图1,当点D与M重合时，求证：四边形4B0E是平行四边形；

⑵如图2,当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，

请说明理由；

（3）图3,延长B。交AC于点H,若B”_L4c，且B”=4M,求乙C4M的度数.

【变式8-3］（江西吉安•八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC=2,乙8=30。，将△ABC

绕顶点A逆时针旋转得到△ADE.设旋转角度为a度（0。4]<120。），AD交BC于点F,DE

分别交BC、AC于点G、H.试探究以下问题：

（1）当口=时，为直角三角形；

⑵当△4。”且为等腰三角形时，求BF的值；

（3）连接BD,是否存在角。，使得四边形ABDH为平行四边形?如果存在，直接写出馥的大小:

如果不存在，请说明理由.

【题型9平行四边形的应用】

【例9】（八年级课时练习）如图，一块草地的中间有一条弯路，AC||BD,CE||OF.请给

出一种方案，把道路改直，且草地的种植面积保持不变.

【变式9・1】（全国•九年级专题练习）村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平

行，耍架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？

【变式%2］（八年级课时练习）如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A、B、C、D

处均有一棵大桃树、田村准备开挖养鱼，想使池塘的面积扩大一倍，并要求扩建后的池塘成

平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想?若能，画出图形，说明理由.

【变式9-3］（江苏无锡•九年级专题练习）某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一

个四边形花园，要求花园所占面积是肉4BCD面积的一半，并且把四边形花园的四个顶点作为

出入口，要求分别在团48CD中的四条边上，请你设计两种方案：

方案（一）：如图①所示，两个出入口民尸以确定，请在图①上画出符合要求的四边形花园,

并简要说明画法；

方案（二）：如图②所示，一个出入口M已确定，请在图②上画出符合要求的梯形花园，并

简要说明画法

平行四边形的判定一九大题型(解析版)

【知识点1平行四边形的判定】

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

⑵定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形

(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

⑸定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【题型1判断能否构成平行四边形】

【例1】(湖南永州•九年级校考阶段练习)如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条

用钉子钉成一个矩形框架4BC0,然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形4BC0为平

行四边形；②对角线80的长度不变；③四边形4BCD的面积不变；④四边形4BCD的周长不

变，其中所有正确的结论是()

A.①②B.①④C.①②④D.①③④

【答案】B

【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断；

②®误，观察图象即可判断；

麟昔误，面积是变小了；

④正确，根据平行四边形性质即可判断.

【详解】解：・・•两组对边的长度分别相等，

・•・四边形ARCD是平行四边形，故①正确：

•・•向右扭动框架，

・・・BD的长度变大，故②错误；

・・,平行四边形ABCD的底不变，高变小了，

・・・平行四边形ABCD的面积变小，故③错误；

・・・平行四边形ABCD的四条边不变，

・・・四边形ABCD的周长不变，故④正确.

故所有正确的结论是①④.

故选：B.

【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键

是熟练应用这些知识解决问题.

【变式1-1］（北京西城•八年级校考期中）下列乙4:NB：NC：口的值中，能判定四边形4BCD

是平行四边形的是（）

A.1：2：3：4B.1：4：2：3C.1：2：2：1D.3：2：3：2

【答案】D

【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以乙A和4c是对角，△B和/。是对角，

对角的份数应相等，据此即可求解.

【详解】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有

D符合条件.

故选：D.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题

目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法.

【变式1-2］（河南新乡•八年级新乡市第十中学校考期中）在四边形4BC0中，对角线4&B0

相交于点O.给出下列四组条件：®AB\\CD,ADWBC；②AB=CD,AD=BC；③40=CO,

B0=D0：®AB\\CD,AD=BC.其中一定这个四边形是平行四边形的条件有（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】A

【分析】根据平行四边形的5个判断定理.：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组

对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对

角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断.

【详解】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可

知①能判断这个四边形是平行四边形；

②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这

个四边形是平行四边形；

③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断

这个四边形是平行四边形；

④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判

断这个四边形是平行四边形（例可能是等腰梯形）；

故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的

判定定理，难度一般.

【变式1・3】（浙江舟山•八年级统考期末）如图，已知山1BCD的一组邻边AB,BC,用尺规

作图作回4BCD,下列4个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（）

【答案】C

【分析】根据各个图形的做法结合平行四边形的判定方法进行判断即可.

【详解】解：图①，由作图可知AB=C。，AD=BCf根据“两组对边分别相等的四边形是平

行四边形”可知，图①作法与理论依据正确;

图②，

由作图可知，作AC的垂直平分线，得到AC的中点。再连接40并延长到点立使0。=BO,

根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得，图2作法与理论依据正确；

图③，作同位角相等，得出再微取C0=4B,根据“一组对边平行且相等的四边形

是平行四边形''可得，图3作法与理论依据正确；

图④，作同位角相等，得出48IIC0,再截取40=BC,“一组对边平行，另一组对边相等的

四边形不一定是平行四边形”，因此图4作法与理论依据不正确；

综上所述，作法与理论依据E确的是图①、图②、图③，共3个.

故选：c.

【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法及尺规作图的

意义是解题的关键.

【题型2添加条件构成平行四边形】

【例2】(山东枣庄•八年级统考期末)如图，平行四边形4BC0中，E,尸是对角线4c上的两

点，如果添加一个条件使四边形BED户是平行四边形，则添加的条件不能是()

A.DE=BFB.AE=FCC.AF=CED.Zl=Z2

【答案】A

【分析】根据各选项给出的条件，逐一验证即可.

【详解】解：7•四边形ABCO是平行四边形，

：.AD=BCfAD//BC,

:・NDAE=/BCF,

,:DE=BF,不能得出△AOEgZXCB尸，

・••不能得出四边形OE3尸是平行四边形，故A错误；

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC,/DAE=NBCF,

•：AE=CF,

：./\ADE^/^CBF(SAS),

：.ZAED=ZCFBtDE=BF,

：・NDEF=/BFE；

：.DE\\BF,

，四边形OE5厂是平行四边形，故B正确；

・・•四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC,ZDAE=ZBCF；

:AF=CE,

：.AE=CF,

丝△C3尸(SAS),

^AED=ZCFB,DE=BF,

・•・ZDEF=/BFE,

：.DE\\BF,

・・・四边形OEB户是平行四边形，故C正确；

・・•四边形A8CO是平行四边形，

：.AD=BCfNDAE=NBCF,

'：/ADE=/CBF,

：./\ADE^/\CBF（ASA）,

；・DE=CF,ZAED=ZBFC,

：.ZDEF=/BFE,

：.DE\\CF,

・•・四边形是平行四边形，故D正确；

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定定

理是解题的关键.平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应

着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系.

【变式2・1】（河南南阳•八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D,E,F分别为边BC,

AB,AC上的点，连接FD并延长到点G,已知FGIL4B，则添加下列条件，可以使线段AG,

DE互相平分的是（）

C.DE^ACD.DG=AF.

【答案】D

【分析】通过分析线段AG,&£互相平分，得四边形A&GE是平行四边形，结合选项，利用

平行四边形的判定定理即可求解.

【详解】若线段AG,OE互相平分，则四边形AOGE是平行四边形，

•••添力口DG=AE,

又,•尸GIIAB,

・・・四边形4O6E是平行四边形，

・・・线段AG,互相平分，

故选：D.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

【变式2・2】（黑龙江双鸭山•八年级统考期末）若。是四边形ABCD的对角线AC和BD的

交点，且OB=OD,AC=24cm,则当0A=cm时，四边形ABCD是平行四边形.

【答案】12

【分析】由。4=12cm求出0C,得出OA=OC,再由平行四边形的判定定理即可得出结论.

【详解】解：当OA=12cm时，OC=24-12=12（cm）,

：.OC=OA,

•：OB=OD,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

故答案为：12.

【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的

关键.

【变式2・3】（河南新乡•八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，0E_L4C,BFA.AC,

垂足分别为点E,F.

⑴请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形DEBF为平行四边形，你添加的条件

是.

⑵添加了条件后，请证明四边形DFRF为平行四边形.

【答案】（1）DE=3尸（答案不唯一）

⑵见解析

【分析】（1）由平行四边形的判定可得出答案；

（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论.

(1)

解：由题意得OE〃〃0由平行四边形的判定可添加的条件是（答案不唯一），

故答案为：DE=BF（答案不唯一）；

（2）

证明：VDE1AC,BF.LAC,

：.DE//BF,

:DE=BF,

・•・四边形尸为平行四边形.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

【题型3数图形中平行四边形的个数】

【例3】（内蒙古包头•八年级统考期末）如图，在平行四边形48CD中，EF||BCfGH||

4B,EF与GH相交于点0,图中共有个平行四边形（）

A.4个B.5个C.8个D.9个

【答案】D

【分析1根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】解：,・•四边形A3CQ是平行四边形，

：.ABnCD,ADnBC,

：EF||BCfGH||AB,

EF||AD,GH||CD,

・・・Z1E||OG||OF,BEnOHWCF,4G||0E||BH,DG||OF|£H,

J四边形BCFE,四边形ADFE,四边形ABHG,四边形CDGH,四边形AEOG,四边形BEOH,

四边形DFOG,四边形。rOH均为平行四边形，

・••图中共有个平行四边形9个.

故选：D

【点口青】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的

关键.

【变式3・1】（重庆•八年级期末）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成,

其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个

图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数

为（）

闻Ehrg8=1=^1rH…

①②③④

A.39B.40C.41D.42

【答案】B

【分析】观察图形的变化可得10+4=14,14+5=19,19+6=25,25+7=32,32+8=40,即可得结

果.

【详解】解：观察图形的变化可知：

第①个图形中一共有10个平行四边形，

第②个图形中一共有14个平行四边形，

第③个图形中一共有19个平行四边形，

第④个图形中一共有25个平行四边形，

第⑤个图形中一共有32个平行四边形，

则第⑥个图形中平行四边形的个数为40.

故选；B.

【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进

行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题.

【变式3・2】（浙江杭州.八年级期末）如图，点A,B,C在同一直线上，点D,E,F,G在

同一直线上，支AC“DG,AD"BE“CF,AF“BG.图中平行四边形有（）个

A.4B.5C.3D.6

【答案】B

【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得.

【详解】解：如图，

ABC

图中的平行四边形有：°ABED,°ABGF,°BCFE,°ACFDf口PBQF,

故选用

【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四

边形是平行四边形.（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）一组对边平行且

相等的四边形是平行四边形.

【变式3・3】（内蒙古呼伦贝尔・八年级统考期末）如图，由25个点构成的5x5的正方形点阵

中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位.定义：由点阵中的四个点为顶点的平

行四边形叫做阵点平行四边形.图中以A,B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为

（）

A

A.6个B.7个C.9个D.11个

【答案】D

【分析】根据平行四边形的判定，两组对边必须平行，可以得出上下各两个平行四边形符合

要求，以及特殊四边形矩形与正方形即可得出答案.

【详解】解：根据题意得：一共11个面积为4的阵点平行四边形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定得出结论是解题的关键.

【题型4求与已知三点组成平行四边形的点的个数】

【例4】(四川广元•八年级统考期末)已知A,B,C三点的坐标分别是(3,3),(8,3),(4,

6),若以A,B,C,D四点为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是()

A.(-1,6)B.(9,6)C.(7,0)D.(0,-6)

【答案】D

【分析】根据平行四边形的性质，分别从以BC为对角线、以AC为对角线、以AB为对角线

去分析求解即可求得答案.

【详解】解：当以BC为对角线时：CD=AB=5,此时D(9,6)；

当以AC为对角线时，CD=AB=5,此时D(-1,6)；

当以AB为对角线时，AD=BC=4,此时点D(7,0).

・・・D点的坐标不可能是：(0,-6).

故选：D.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等.解此题的关键是分

类讨论数学思想的运用.

【变式4-1】(江苏南通•八年级校考期末)以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形

最多能作()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】连接不在同一直线上的三点，得到一个三角形，分别以三角形的三边为对角线，用

作图的方法，可得出选项.

【详解】F

如图，以点A,B,C能做三个平行四边形：分别是口ABCD,°ABFC,°AEBC.

故选B.

【变式4・2】(湖南邵阳•八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系内，以A(3,5),B(1,

1),C(4,1)三点为顶点画平行四边形.

Jy

r-8_

—

i7_

_

i6

_

M—-5

l_

J—4

I-_

I

i3

-4

—C

—

B

⑴可以画多少个平行四边形？

⑵写出每个平行四边形第四个顶点D的坐标.

【答案】（1）可以画3个平行四边形；

（2）（0,5）或（6,5）或（2,-3）.

【分析】（1）根据平行四边形的性质，将平行四边形画出来即可;

（2）根据所作平行四边形可直接得出点。的坐标.

（1）

解：可以画3个平行四边形，如图所示：

(2)

由图可得：平行四边形第四个顶点。的坐标为（0,5）或（6,5）或（2,-3）.

【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、平行四边形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的

性质是解题的关键.

【变式4・3】（山东济南•八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（l,1）,B（3,

2）.

(1)如图1,在y轴上是否存在一点P,使PA+PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

(2)如图2,点C坐标为(4,1),点D由原点0沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，

求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形；

(3)点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行区边形，请

直接写出点P以及对应的点Q的坐标.

【答案】(1)存在点P的坐标，且P((),3；(2)D运动2秒后四边形是平行四边形；(3)

P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0),对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1).

【分析】(1)过A点作关于7轴的对称点M,连接BM后与y轴的交点即为所求的点P,求出

BM解析式，再令产0进而求出P点坐标；

(2)只能是AC为一条对角线，BD为另一对角线，设D(加,())，利用BD的中点与AC的中点为

同一个点即可求解；

⑶分类讨论：设PQ几0),Q(0,〃)，再分成①AB为对角线；②AP为对角线；③AQ为对角线

共三种情况分别求解即可.

【详解】解：(1)过A点作关于)轴的对称点M(-l,1),连接BM后与y轴的交点即为所求的

点P,

设直线BM的解析式为尸代入M(-l/)，B(3,2),

{:二屋:，解之得{：=£，

4

・•・直线BM解析式为y=江+京

令x=0,解得产］

，存在点P的坐标，且P(0,1),

4-

故答案为：存在点P的坐标，使得PA+PB最小，此时P点坐标为(0,：)：

4

(2)当四边形ABCO是平行四边形，只能是AC为一条对角线，另一条对角线为BD,

设D(/"0),由中点坐标公式可知：

线段AC的中点坐标为(岸,?)，即(a1),

线段BD的中点坐标为(等,等)，即(等,1),

又线段AC与BD中点为同一个点，

，，，^2^=2，解得1n=2,

故四边形ABC。是平行四边形，D点的坐标为(2,0),又速度为1个单位每秒，

・•・经过2秒后，四边形ABCD是平行四边形，

故答案为：2秒；

⑶分类讨论：设P(肛0),Q(0,/i),A(l,l),B(3,2),

情况①：AB为对角线时，另一对角线为PQ,

线段AB的中点坐标为(2,5，线段PQ的中点坐标为

又线段AB和线段PQ的中点为同一个点，

2=巴_

A｛33解得｛m：虞故比时P(4,0),Q(0,3)；

————71—3

2-2

情况②：AQ为对角线时，另一对角线为BP,

线段AQ的中点坐标为点手)，线段BP的中点坐标为〔手,手)，

又线段AQ和线段BP的中点为同一个点，

1_3+m

・•・｛；：解得二2,故此时P(-2,0)，Q(0,l)；

=fl-1

2___2

情况③：AP为对角线时，另一对角线为BQ,

线段AP的中点坐标为(号,中)，线段BQ的中点坐标为(平,学)，

又线段AQ和线段BP的中点为同一个点，

1+m_3+0

・・・｛亚］1，解得｛二寸，故此时P(2,0)，Q(0,-l)；

2-2

综上所述，P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0),对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1).

【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定、平行四边形的存在性问题等，熟练掌握判定

法则及平行四边形的性质是解决本题的关键.

【题型5证明四边形是平行四边形】

【例5】(山东泰安•八年级校考期末)如图，在△4BC中，BC=AC,点、E,尸分别是边AB,

4c的中点，连接E,并延长，交△4BC外角/ACD的平分线于点G.求证：四边形4ECG是平行

四边形.

【答案】见解析

【分析】先由=可以知道角相等，再利用角平分线的性质进行等角转化得到平行，然

后根据中点得到边相等，进而得到全等三角形，最后根据AAEF三△CFG得到相等，最后得

出结论.

【详解】解；*：BC=AC

：.Z-BAC=乙ABC

TCG是外角乙4co的角平分线

：.Z.ACG=Z.DCG=-Z-ACD

2

：Z-ACD=ABAC+乙ABC=2Z.BAC

:.乙ACG=^BAC

：.AEnCG

•・•点尸是4c的中点

：.AF=FC

・••在产和△CG尸中

^ACG=乙BAC

・•・AF=FC

ZAFE=乙CFG

/.△AEFCFG(ASA)

：.AE=CG

・・・四边形4ECG是平行四边形

【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，平行四边形的判定，利用全等三角形的判定和性

质得到边相等是解题的关键.

【变式5・1】（湖北恩施•八年级统考期末）如图，BE是AABC的中线，延长BE到D,使ED

=BE,连接AD,CD,补全身形.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

【答案】四边形A5CO是平行四边形，理由见解析

【分析】按题意画出图形，证明4c与互相平分即可得出结论.

【详解】解：补全图形如下，

证明：是△ABC的中线，

・•・£是AC的中点，

又,；DE=BE,

即E是〃。的中点，

JAC与8。互相平分，

，四边形ABCD是平行四边形.

【点睛】本题考查了三角形的中线，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题

的关键.

【变式5・2］（宁夏中卫•八年级校考期末）如图，△4BC是等边三角形，点。是射线BC上的

一个动点（点。不与点8,C重合），A/lOE是以4。为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，

分别交射线AB，AC于点F,G,连接BE.

⑴求证：^AEB^^ADC.

⑵当点0在线段上时.探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并写出证明过程.

【答案】(1)见解析

⑵四边形BCGE是平行四边形，理由见解析

【分析】(1)根据等边三角形的性质可得48=4C,AE=AD,LBAC=Z.E4D=60°,然

后求出NB4E="4。，再利用边角边证明△AEB^WL4DC全等；

(2)四边形8CGE是平行四边形，因为△AEBWzxAOC,所以可得乙ABE=zT=60。，进而

证明=则可得到EB||GC,又EG||BC,所以四边形3CGE是平行四边形.

(1)

证明：•・•△4BC和△4DE都是等边三角形，

AE=ADfAB=AC,LEAD=LBAC=60°.

又•••Z.EAB=LEAD-乙BAD,乙DAC=LBAC-乙BAD,

:.乙EAB=乙DAC,

在△4E8和△4DC中，

(AB=AC

\^EAB=乙。4C,

(AE=AD

••.A4EB"4DC(SAS)；

(2)

解：四边形BCGE是平行四边形，理由如下：

由⑴得△4EB\ADC,

LABE=ZC=60°.

又•••Z.BAC="=60°,

•••LABE=Z-BAC,

：.EBUGC,

又TEG||BC,

.•・四边形BCGE是平行四边形.

【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，灵活

运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

【变式5・3】(江西九江•八年级统考期末)如图，在平行四边形ABCD中，E,尸分别是AD,BC

边上的点，且OE=CF,连接BE和4户的交点为M,CE和。户的交点为N,连接MN,EF.

⑴求证：四边形48FE为平行四边形;

(2)若4。=6cm,求MN的长.

【答案】(1)见解析

(2)3cm

【分析】(1)由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形4BFE为平行四边形;

(2)由平行四边形的性质可得DN=FN,AM=MF,由三角形中位线定理可求解.

(1)

证明；•・•四边形ABCD是平行四边形，

AD\\BC,AD=BC.

•・•DE=CF,

:.AE=BF.

・•・四边形ABFE是平行四边形；

(2)

解：•••DE=CF,4D||BC,

.•・四边形DEFC是平行四边形，

DN=FN,

•.・四边形48尸E是平行四边形，

AM=MF,

MNUADfMN=^AD=3cm.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握平行四边形的对角

线互相平分是解题的关键.

【题型6全等三角形拼平行四边形问题】

【例6】（福建厦门•八年级统考期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其

中一种纸片的两条直角边长分别为1和2,另一种纸片的两条直角边长都为2.图1、图2、

图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.

44

1T>-

11

A41

22

图1图2图3

⑴请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把

图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四

边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方

格纸上.

要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；

②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹.

⑵请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）图I可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧

拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在

边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直珀三角形；图3以四个直角三用形的直角边拼出对角

线为3的平行四边形即可；

（2）根据平行四边形的判定方法证明即可.

⑴解:如图所示：

图3

zz

（2）证明：如图1中，\AB=CD=3tAD=BC=V2+2=2>/2,

・・・四边形A5CD是平行四边形.（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是

平行四边形进行证明）

【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关

键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接.

【变式6・1】（全国•九年级专题练习）如图，有两块全等的含30。角的直角三角板，将它们拼

成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（）

C.3种D.4种

【答案】C【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得.

【详解】以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形:

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键.

【变式6・2】（河南周口•三模）把三角形形状的纸片放在方框纸上，使其每一个顶点都在格

点上，如图1所示（方格边长均为N）.对这个三角形进剪切、拼接后，可以得到一个平行

四边形，如图2中阴影部分所示.

剪切、拼接的方案如下：如图2,取BC的中点M,连接AM;剪下△AMC后，拼接到4BEA

位置，可得到平行四边形AEBM.

我们约定：剪切、拼接时，纸片的每一部分都要被用到，而且不得用所给纸片以外的纸片.

图1图2图3图4

⑴请你采用不同于图2的剪切、拼接方案，也得到一个平行四边形，在图3中用阴影表示出

你得到的平行四边形，并补充已知和求证，写出证明过程.

⑵对这个三角形进行剪切、拼接后，也可以得到一梯形.试在图4中，用阴影表示出你得到

的梯形（不必说明剪切、拼接方案，但必须保留作图痕迹）.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）沿中位线裁剪即为平行四边形.是拼成四边形的一条边，即可，再根据拼

接方法，写出已知、求证，利用平行线的判定定理证明即可；

（2）沿一腰的中点D向底边剪开，得出FD二DG,进而得出梯形.

（1）

解：所画图形如下所示，

己知：沿△A3C的中位线NE裁剪下△ANE,将△ANE按如图所示拼接在一起，因点A与点

C重合，点N与点M重合，AE与CE重合，得到四边形5cMM

求证；四边形〃CMN是平行四边形.

证明：由题意，得AANEqACME,

：.ZA=ZACMtAE=CM,

・・・AN||CM,即BNZCM,

・•・四边形BCMN是平行四边形.

（2）

【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行四边形性质与判定、梯形的性质，正确利

用全等三角形的性质是解题关键.

【变式6・3】（河北石家庄•九年级校考期中）如图所示，44BC的顶点在8x8的网格中的格

点上.

⑴画出44BC绕点A逆时针旋转90°得到的448传1；

⑵在图中确定格点D,并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）由题意可知旋转中心、旋转角、旋转方向，根据旋转的画图方法作图即可；

（2）如图有三种情况，构造平行四边形即可.

【详解】解：（1）如图44/Ci即为所求

（2）如图，D、D\D”均为所求.

【点睛】本题考查了图形的旋转及中心对称图形，熟练掌握作旋转图形的方法及中心对称图

形的定义是解题的关键.

【题型7利用平行四边形的判定和性质求解】

【例7】（山东淄博•八年级校考期末）如图，在机4BCD中，过对角线匕一点尸作EF||8C,

GHIIAB)n.CCr=3BGf=1.5，则SmAEP”=一

AHD

E/P

BG

【答案】4.5#号

【分析】由条件可证明四边形"PF。、BEPG为平行四边形，可证明S四边形力=S四边形p“G，

再利用面积的和差可得出四边形4EPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答

案.

【详解】解：E尸||BC,GH||AB,

四边形HPFO、BEPG.AEPH.GFPG为平行四边形,

SAPEB=S&BGP»

［司理可得Sv。=SRDFP，^^ABD=SACDB，

S&ABD~SAPEB—S"HD=~$ABGP—54。"，

WS四边形4EP”=S四边形PFCG'

,•CG—3BGiS^BEPG=L5,

S四边形4EPH=S四边形PFCG=3x1.5=4.5；

故答案为；4.5.

【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关

键，即①两组对边分别平行=四边形为平行四边形，②两组对边分别相等o四边形为平行四

边形，③一组对边平行且相等Q四边形为平行四边形，④两组对角分别相等Q