第六节 锐角三角函数及其应用-2026年中考数学一轮复习（解析版）

模块四三角形

第六讲锐角三角函数及其应用

知识梳理夯实基础

知识点1:锐角三角形

在咫中，ZC=90,A,8,C的对边分别为〃，

b,coA

4的正弦：sinA=________©

锐角三角形函数的定义

A的余弦：cosA=________b

A的正切：tanA=_________1

CaB

若A+B=90贝』

互余两角的三角函数关sinB二sin（90-A）=cosA

系cosB=cos（90—A）=sinA

tanA-tanB=\

知识点2:特殊角的三角函数值

1.图表记忆

a

三角函数图形记忆

30°45°60°

j_V2

sina在

2~22

V2\_

cosa在

2~22i

V3,LM

tana~T1731

2.规律记忆_

30°,45°,60°角的正弦值的分母都是2,分子依次为1,V2,6;

30°,45°,60°角的余弦值分别是60°,45°,30°角的正弦值。

知识点3:解直角三角形的常用关系

1.常见关系

三边关系______________（勾股定理）

两锐角间关系D/R

边角关系sinA=cosB=_

cosA=sinB=______，产

tanA=_______AbL

tanB=

面积关系

解直角三角形时的原则：有角求角，无角求边；有斜用弦，无斜用切；宁乘勿余,

取原避中；化斜为直，方程相助。

2.常见解法

两条边一条边一个角

条

斜边和一条斜边和一一直角边

件两条直角边

直角边锐角和一锐角

:ZK

图

形

〜

Ca，c-r€B

4a

tanA=—,sinB=-^-,

0乙3二好_乙1,

乙8二90。一4A,

45二90。-4A,

解乙a-b•tanA,

Z.4=90°-B,a=c•sin.4,

法a

a=c•sinAb

~sinAb-c•cosA0-sinB

或Q=Vc2-b2

或c二^Ja2+b2

知识点4:解直角三角形的实际应用

概念定义图形

在视线与水平线所成的锐角中，视铅

垂w

俯角、仰角线在水平线上方的角叫仰角,初线线~水平线

在水平线下方的角叫俯角.

、视线

坡面的铅直高度h与水平宽度1的T

坡度（坡比）、坡比叫坡度（坡比），用字母i表示.坡h

角面与水平面的夹角a叫坡

11

角,i=tana=.H-/——

一般指以观测者的位置为中心，将

正北或正南方向作为起始方向旋

转到目标方向线所成的角（一般指

锐角），通常表达成北（南）偏东

（西）XX度，方向角的角度值在

方向角

0°〜90。.如图，点A,B,C关于。点

的方向角分别是北偏东30°、南偏

东60°、北偏西45°（也称西北方

向）.

2.测量物体高度的常见三角形模型

(3)测量底部不可达到的物体的高度(/?)

数学模型应测数据数量关系

Iana==>x=J.

仰角叫馆xUna

山仰仇高度

lari0=—n.r=------2,

xtanp

a

型X由①②可求徨①，进而可求得力.

a-ha-A小

tana-nx-<1J,

俯角明俯xtana-

角6,高度

atanB=-=x=；-胃②.

xtanfi

a

由①2）可求得反

h\

tana=---------=a,+x=

a*

仰角明仰2

h、、

角£.测用D

-taMna-.

产'月仪的高度

hh、h、._、

。|.水平距tanfl=-----=------------=2、

xtanB

离

由①-②“r求得M&怯二

母

、

子h+a1.

型

h-ah-a/.・、

tana=--------=x=QJ,

仰角明仰xtana

chhe

h角6,高度

rtik<.......Ian0=-----=>x=行②，

xtunp

a

由①2）可求得也

hh

Iana=-----nx-⑴T.

仰角明仰xtana

J・•

角0,高度z>〃+-h+a/K、

tanB----------n*-L"^'・

hxIanfj

a

X由①②可求得人

直击中考胜券在握

1.（2021•天津中考）tan30。的值等于（）

A.—B.—C.1D.2

32

【答案】A

【分析】

根据30。的正切值直接求解即可.

【详解】

解：由题意可知，tan30°=»

3

故选：A.

【点睛】

本题考查30。的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可.

2.已知Rt蜘8c中，0C=90°,AC=2t8c=3,那么下列各式中正确的是（）

.2222

A.sinA=—B.tanA=—C.tanB=—D.cosB=—

3333

【答案】C

【分析】

由勾股定理求出斜边A8,再根据锐角三角函数的定义分别求出sin4、tan4tan8、cos8即

可.

【详解】

RtM8c中，0C=9O°,

蜘C=2,8C=3,

蜘8=y/AC2+BC2=V13，

BC_3历BC38s8=生=处

团sinA=2£2

~AB-~Xc2BC2AB13

故选：C.

【点睛】

本题考查了求锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是关键.

3.在中，AC=8,BC=6,则cosA的值等于（）

3y/1,4T■jhJ2H

AA.-BD.—C.=或JD.二或「一

545457

【答案】C

【分析】

因为BCVAC,所以BC不可能为斜边.即分类讨论①当AB为斜边时，求出AB的值，从而

求出cosA；②当AC为余-边时，也求出AB的值，从而求出cosA.

【详解】

当回ABC为巨角一-角形时，存在两种情况：

①当AB为斜边，配=90°,

0AC=8,BC=6,

^AB=>]AC2+BC2=\/82+62=10-

“AC84

0cosA=-----=—=—；

AB1()5

②当AC为斜边，0B=9O\

由勾股定理得：AB=JAC2-BC2=A/82-62=2>/7»

配°2也=亚=也

AC84

综上所述，cosA的值等于2或五

54

故选：C.

【点睛】

本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键，并注意分类讨论.

4.在RL^ABC中，ZC=90°,cosB=-,贝ljtanA的值为()

3

AGR73rV2n10而

A.D«JU«---------

11343

【答案】C

【分析】

根据cos5=g，设AB=3x,BC=x,勾股定理求出AC,根据三角函数的定义求tanA即可.

【详解】

解：在RiZ\A8C中，NC=90。，cosB=g,

设AB=3x,BC=x,

AC={AB?-BC?=V（3x）2-x2=2,

AC2缶4

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角函数，解题关键是根据三角函数值确定直角三角形三边关系，再根据三角函

数的意义计算.

5.（2020•安徽省中考）如图，心△A8C中，ZC=90°,点。在AC上，ZDBC=ZA.若

4

AC=4,cosA=-t则8。的长度为（）

【答案】C

【分析】

4

先根据AC=4,cosA=-,求出AB=5,再根据勾股定理求出BC=3,然后根据NO8C=ZA,

4

即可得cos0DBC=cosA=一,即可求出BD.

【详解】

00C=9O%

国cosA=------，

AB

团AC=4,cosA=—,

5

0AB=5,

根据勾股定理可得BC=JAB2-AC2=3,

0ZDBC=ZA,

4

0cos0DBC=cosA=—,

5

BC434

0cos0DBC=------=—,BP—=-

BD5BD5

15

0BD=—,

4

故选：C.

【点睛】

本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键.

6.如图，在mA/WC中，ZfiCA=90°,COJLAB于。，下列结论错误的有（）个

①图中有两对相似三角形；②sin8不；③8CAC=A8。；④若8c=2不，AD=S

ACf

贝i」CQ=4.

A.0B.IC.2D.3

【答案】B

【分析】

根据直角三角形的有关性质判断即可：

【详解】

根据N8C4=90。，COLA8于。，图中相似三角形有AADCS/XACB,AADC^ACDB,

△BDCS/^BCA三对三角形相似，故①错误；

+ABCD=ABCD+AACD>团N3=ZACQ,

所以sin/B=sinAACD=故②正确；

AC

RCCABA

ElAADC^AACB,AADC^ACDB,E—=—=--,所以可得到A&CO,

BDCDBC

故③正确；

根据病=定可得力仄劭=BC"=20，

DU℃

^AB=AD+BD,

团（力〃+BD）.BD=20,整理得：秘+8被—20=0，

解得：BD=-10（舍）或BD=2,

团必之=比2一初2=2。-4=16，

团。。=4,故④正确：

故答案选B.

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的相关知识点，结合相似三角形、三角函数的知识点计算是解题

的关键.

7.在回ABC中，若|cosA-_l|+（1-tanB）2=0,贝加C的度数是（）

2

A.45°B.60℃.75°D.105°

【答案】

【解析】

试题分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三

角形的内角和定理可得出团C的度数.

试题解析：由题意，得cosA=l,tanB=l,

2

00A=6O°,朋=45°,

00C=18O0-0A-0B=18OO-6OO-45O=75,>.

故选：C.

考点：特殊角的三角函数直；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角

和定理.

【点睛】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相

结合.此题考查了特殊角的「角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是

熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理.

8.如图，在等腰心AABC中，ZC=90°,AC=6f。是AC上一点，若lanNZ）BA=g,则

的长为（）.

A

CH

A.2B.V3C.V2D.1

【答案】A

【详解】

分析：本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形.解题的关键是作辅助线，构造直角

三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解.

1DE

解析：如图，作DEmAB『E.Stan团DBA=----，回BE=5DE.强ABC为等腰直角三角形，豳A=45°,

5BE

0AE=DE.0BE=5AE,又0AC=6,0AB=6,团AE+BE=AE+5AE=6,0AE=5/T，团在等腰直

角色ADE中，由勾股定理，得AD=JJ,AE=2.

故选A.

3

9.（2021•云南中考）在△ABC中，NABC=90。，若AC=100,sinA=g，则AS的长是（）

500503

A.—B.—C.60D.80

35

【答案】D

【分析】

根据二角函数的定义得到8c和AC的比值，求出8C,然后利用勾股定埋即可求解.

【详解】

3

解：团M8c=90°,s/n（?W=—=-,4c=100,

AC5

@eC=100x34-5=60,

蜘8=，4。2一8。2:80,

故选D.

【点睛】

本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键.

10.（2021•桂林中考）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3,4）,连接。P,则。P与x

轴正方向所夹锐角a的正弦值是（）

【答案】D

【分析】

作PM取轴丁点M,构造直角三角形，根据三角函数的定义求解.

【详解】

解：作PM取轴于点M,

0P（3,4）,

国PM=4,0M=3,

由勾股定理得：0P=5,

本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边

与斜边之比.

11.（2021•金华中考）如图是一架人字梯，已知A4=AC=2米，AC与地面8c的夹角为a,

则两梯脚之间的距离8c为（）

BC

A

A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.-------米

cosa

【答案】A

【分析】

根据等腰三角形的性质得到RO=OC=：RC，根据余弦的定义即可，得到答案.

【详解】

过点4作4）_L灰、，如图所示：

0/\B=AC,ADLBC,

^BD=DC,

DC

0coa=-----

AC

0DC=AC-cosa=2cosa,

团BC=2DC=4cosa，

故选：A.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键.

12.（2021•宜昌中考）如图，△A3C的顶点是正方形网格的格点，贝lJcos4AC的值为（）

4D•乎

3

【答案】B

【分析】

作人。团BC于。，利用勾股定理求出A8的长，再根据公式计算即可.

【详解】

解：作4D08C于D,

由图可知：AD=3,BD=3,

在/?皿8。中，AB7Aoi+BD，他由?=3上，

BD3V2

团cosZABC-~AB=W2=T

故选：B.

【点睛】

此题考查求角的余弦值，勾股定理求边长，正确构建直角三角形并熟记余弦值公式是解题的

关键.

13.(2021•福建中考)如图，某研究性学习小组为测量学校4与河对岸工厂8之间的距离，

在学校附近选一点G利用测量仪器测得乙4=60。,NC=9()o,AC=2km.据此，可求得学校

与工厂之间的距离A8等于()

C.2x/3kmD.4km

【答案】D

【分析】

解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长.

【详解】

ZA=60°,ZC=90°,AC=2km

/.cosA=——,cos60°=-

AB2

AC2一

cosA）_.

2

故选D.

【点睛】

本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键.

14.（2021•吉林长春中考）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A、B两

点间的距离为30米，ZA=a,则缆车从4点到达B点，上升的高度（8C的长）为（）

【答案】A

【分析】

在RtGW8c中，已知团84c和斜边八8,求团84C的对边，选择团84C的正弦，列出等式即可表示

出来.

【详解】

在Rt^ABC中，

sin^BAC=—,

AB

即sin。=Z?C=30g;ina,

故选:A.

【点睛】

本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角函数的定义，列出方程.

15.（2020•重庆A卷）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一

个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）/=1:0.75,山坡坡底C点到坡顶。点的距离。=45m,

在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28。，居民楼48与山坡CD的剖面在同一平面

内，则居民楼AB的高度约为（）

（参考数据：sin28°«0.47,8s28。=0.88,tan280ao.53）

A.76.9mB.82.1mC.94.8mD.112.6m

【答案】B

【分析】

构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE.DF、

AF,进而求出A8.

【详解】

解：如图，由题意得，加DF=28°,8=45,8c=60,

在RSDEC中,

回山坡C。的坡度/=1：0.75,

设。£=4x,则£C=3x,

由勾股定理可得CO=5x,

又CD=45,即5x=45,

取=9,

0EC=3x=27,OE=4x=36=F8,

团8E=BC+EC=60+27=87=DF,

在Rt-DF中，

4F=tan28°xDF=0.53x87=46.11,

M8=4F+F8=46.11+36=82.1,

故选：B.

EB

【点睛】

本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前

提.

16.（2021•随州中考）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所

成角为。时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点〃处，现将梯子底端

向墙面靠近，使梯子与地面所成角为夕，已知sina=cos〃=],则梯子顶端上升了（）

A.1米B.L5米C.2米D.2.5米

【答案】C

【分析】

根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD=CEsin6AD=ABsina,两线段作差即可.

【详解】

解：如图所示标记字母，

根据题意得4B=CE=10米，

0sin6=5/l-cos2J=~，

CDCD4

在RtQECO中，sin0=---=---=一,

CE105

4

[?1CD=-X10=8,

ci.ADAD3*5

在RtGLABO中，sina=------=------=-

AB105

3

0AD=-xlO=6,

5

MC=CDXO=8-6=2.

故选择C.

A

B

【点睛】

本题考杳三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的

定义是解题关键.

4

17.如图，RtM8c中，BC=90°,点。在AC上，ED8c=04.若4C=4,cos4=-,则BD

的长度为.

【答案】V

4

【分析】

在A44C中，由三角函数求得囚8,再由勾股定理求得8C,最后在MC。中由三角函数求得

BD.

【详解】

4

解：vZC=90°,AC=4,cosA=-,

A4B„=--A-C-=5c,

cosA

BC=7AB2-AC?=>/52-42=3，

•;NDBC=ZA,

BC4

/.cosZDBC=cos/A=--=—,

BD5

ncC515

BD=3x—=—,

44

故8。的长度为

4

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，解题关键是解直角三角形.

18.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点

上，AB、CD相交于点P,则tanKJAPD的值是,

【答案】2

【分析】

如图，取格点H,连接AH,BH,证明0AHB=9O°,CD0BH,可得回APD=0ABH,即可求出答案.

【详解】

0DH=CB,DH0CB,

团四边形DHBC是平行四边形,

0CDQBH,

团团APD=（3ABH,

0tan0APD=tanSABH：

12M=132+1=715.AH=yj22+22=2x/2>BH="+l?=五'

^AH2+BH2=AB2^

团13ABH是直角三角形，且0AHB=9（r,

AH2^/2

0tan0ABH=------=—产-=2，

BH及

0tan[3APD=2；

故答案为：2.

【点睛】

此题考查了解直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理，以及三角函数的定义.此题难度

道中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用.

19.（2021•梧州中考）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A

到桥的距离是40米，测得财=83。，则大桥BC的长度是一米.（结果精确到1米）（参考

数据：sin83°=0.99,cos830=0.12,tan830=8.14）

【答案】326

【分析】

根据正切的定义即可求出BC.

【详解】

解：在R皿8c中，4>40米，04=83°,

tanZ.A==tan83"，

AC

圆4C=ACtan83«40x8.14«325.6«326（米）

故答案为：326

【点睛】

本题考杳的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

20.（2021•湖北荆州中考）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，ABt3c可分

别绕点A,B转动,测量知8c=8cm,AB=16cm.当人8,BC转动到NMf=60",

ZA8C=50。时，点C到4E的距离为cm.（结果保留小数点后一位，参考数

据：sin70°*0.94,6=1.73)

图1图2

【答案】6.3

【分析】

作辅助线如图，则四边形CDGF是矩形，可得CD=FG,然后分别解直角M8G和直角叫CF求

出8G和8F的长即可.

【详解】

解：如图，作CDME于点。，作8GME于点G,作CWBG于点F,则四边形CDGF是矩形,

国CD=FG,

在直角M8G中，/1/?=16cm,ZBAE=60P,

^\BG=ABsin^Q=16x—=8>/3（cm）,0486=30°,

2

0ZABC=50°,

团国C8F=20°,

WCF=70°,

在直角团8CF中，8C=8cm,0BCF=7O°,

0BF=BC-sin70°«8x0.94=7.52(cm),

0CD=FG=873-7.52«6.3'.cm),

即点。到AK的距离为6.3cm；

故答案为：6.3.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确添加辅助线构建直角三角形、掌握求

解的方法是关键.

21.（2021•湖南省邵阳市中考）如图，在矩形中，DELAC,垂足为点E.若

4

sinZADE=-rAD=4,则AB的长为.

【答案】3

【分析】

在用A4OE中，由正弦定义解得AE=?,再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相

等，得到sinNAOE=sin"8,最后根据正弦定义解得8的长即可解题.

【详解】

解：在用△ADE中，

/3AE4

sinNAD七==—

AD5

AD=4

5

12

DE=>IAD2-AE2=J4;

T

-DELAC

ZADE+NEDC=/EDC+/ECD=90°

ZADE=ZECD

r)p4

sin/ADE=sinZECD=——=-

CD5

:.CD=DE-=3

4

在矩形ABC。中，

AB=CD=3

故答案为：3.

【点睛】

本题考杳矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解

题关键.

22.（2021•四川绵阳中考）在直角△A8C中，ZC=90°,—i―+—=NC的角平分线

tanAtanB2

交AB于点D,且8=2加,斜边A8的值是.

【答案】3石

【分析】

CD平分mCB,过点。作。僦C于点£,过点。作。战BC于点F,由此可证明四边形CEDF

为正方形，再利用CQ=2&,根据直角三角形的性质可求出。石=氏=。/=尸。=2,再根据

锐角三角函数和勾股定理得到小工=：,求出AC8C的值即可.

AC-BC2

【详解】

解：如图，8平分MCB,过点。作。E24C于点E,过点。作。用8c于点F,

又ZC=90°,

因四边形CEDF为正方形，

:.DE=EC=CF=FD,/ECD=NEDC=45。，

在.R&CED中,sin/£CO=^=sin450=#，

115

的A=生，.人生----+-----

ACBCtanAtanB2

ACBC5

,・1=一

BCAC2

AC2+BC25

IH、IJI--------------=一,

ACBC2

X-.-AC2+BC2=AB2,

AB25

ACBC~2

0tf.RtAADE+，tanA=—DE=—,,

DE2

团AE=

lanAlanA

DF2

团在员△曲中，.人而=而

回B/=鸟=白，

(anBlanB

：.ACBC=(CE+AE)(CF+BF)

22

3方2+,)

444

T--------+-------H---------------

tailAtanBtanAtan3

=4(i+—!—+—!—+1)

tanAtan13

=4x(2+：)

2

=18,

..-A-B-2=-5

182

/.AB:=45,

即AB=36（舍负），

故答案为：3石.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键.

23.（2021・广西百色中考）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无

人机•当无人机飞到点P处时，与平台中心。点的水平距离为15米，测得塔顶4点的仰角

为30。，塔底B点的俯角为60。，则电视塔的高度为________米.

【答案】2()73

【分析】

根据题意可知：OP=15m,ZAPO=3()，/BPO=60'，ABLOP,然后分别在心4APO

中在新△4PO中，利用锐曲三角函数求解即可.

【详解】

解：根据题意可知：0P=15///,乙400=30‘，Z.BPG=60°，AB1OP,

在Rt^APO中，AO=0P-tanAAP0=15-tan30^=15x—=5^，

3

在RsBPO中,BO=OP•tanZ.BPO=15xtan600=15x=156，

团力8=4。+加=5囱+150=2073，

即电视塔的高度为20石米.

故答案为：2()6

【点睛】

本题主要考杳了利用特殊角锐角三角函数值解直角三角形，解题的关键是熟练掌握特殊角锐

角三角函数值.

24.(2021•辽宁阜新中考)如图，甲楼高21m,由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45。，看乙楼底

的俯角是30。，则乙楼高度的为m(结果精确到1m,75-1.7).

【答案】57

【分析】

根据题意画出下图：ABLBC,。。_1_5。,垂足分别为点8、点。，/0=21/77,ZDAE=45\

ZC4E=30\AE-LC。，垂足为点E,可得四边形A/?CK是矩形，继而得到四=仍=21,

在此△ACE中，可求出AE,然后在心△AOE中，求出OE,即可求解.

【详解】

解•：根据题意画出下图：DCLBC,垂足分别为点3、点C,AB=21///,

ZDAF=45\ZC4E=30\AE1CD,垂足为点E,

回4?_L3C,DCLBC.AEYCD,

⑦//gC=ABCE=AAEC=90"，

因四边形ABCE是矩形，

回四=/0=21,

AE=CE=21=2=21次

在用A4CE中，tan/勿少tan300旦,

T

在用AAOE中，DE=AE♦tan45°=216，

06P=DE+CE=216+21a57加，

即乙楼高度约为57，".

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的应用中仰角俯角问题，解题的关键是明确题意构造直角三角形,

并结合利用锐角二角函数解百•角三角形.

25.(2021•广西贵港•中考真题)如图，在矩形A8CD中，8D是对角线，AE^BDt垂足为E,

连接CE,若tanNAOB=g,则tan国DEC的值是

【分析】

过点。作于点产，易证AA8ENACO尸(A4S),从而可求出AE=b,BE=FD,

设48=。，则A0=2a,根据三角形的面积可求出4£,然后根据锐角三角函数的定义即可求

出答案.

【详解】

解；如图，过点C作。于点F,设CD=2a,

在与△。。/中，

NAEB=NCFD

­/ABE=NCDF,

AB=CD

AABE=&CDF(AAS),

.'.AE=CF,BE=FD、

ABi

AE±HD,tan04DB=-----=—,

AD2

设48=Q,则40=2Q,

回BD=>/5a,

0Sa4so=yBD*AE=；AB*AD,

^AE=CF=-a,

5

^BE=FD=—a,

5

0EF=8D-2BE=>/5a-^-a=—at

55

CF2

0tan0DfC=-----=—,

EF3

故答案为：；2

D

【点睛】

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述

知识是解题的关键.

26.（2021•江苏常州中考）如图，在△ABC中，人C=3.BC=4,点。、£分别在C4、C4上，

点F在“3C内.若四边形CQ也是边长为1的正方形，贝Ijsin/F84=.

【答案】叵

10

【分析】

连接防，CF,过点F作FMM8,由，,咏=5.4+5血卞+5/"，可得FM=1,再根据锐角三

角函数的定义，即可求解.

【详解】

团四边形CQ正是边长为1的正方形,

00C=9O°,

蜘B=53?+4?=5,

团SJBC=SjCF+S&BCF+SJBF，

0—x3x4=­x3xl+—x4xl+—x5xFM,

2222

0FM=1,

团BF=J（4-1了+『=715,

回sin"班=」=叵.

Vio10

故答案是：叵.

10

【点睛】

本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握”等积法”是解题的关键.

27.（2021・湖北黄石中考）如图，直立于地面上的电线杆A8,在阳光下落在水平地面和坡

面上的影子分别是4C、CD,测得4C=5米，CQ=4米，48=150。，在D处测得电线

杆顶端A的仰角为45。，则电线杆人A的高度约为_____米.（参考数据：75-1.414,

73«1.732,结果按四舍五人保留一位小数）

【答案】10.5

【分析】

延长4。交8C的延长线于E,作D用8E于F,根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、

CF的长，根据正切的定义求出EF,得到8E的长，根据正切的定义解答即可.

【详解】

解：延长4。交8c的延长线于E,作。用8E于F,

团团8CD=150°,

00DCF=3O°,又CD=4,

HDF=2,CF=^JCD2-DF2=273,

由题意得团E=45。，

⑦EF=DF=2,

^BE=BC+CF+EF=5+2+2G=7+23，

^AB=BExtanE=(7+26)xl=10.5米，

故答案为：10.5.

【点睛】

本题考杳的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函

数的定义是解题的关键.

28.(2021•辽宁本溪中考)如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,8,C都在

格点上，以A8为直径的圆经过点C和点。，则tanZ/WC=.

3

【答案】-

【分析】

根据同弧所对的圆周角相等可得43C=NADC，再利用正切的定义求解即可.

【详解】

解：^ZABC=ZADC,

3

0tanZ.ADC=tanZ.ABC=-

2t

3

故答案为：

J

【点睛】

本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键.

29.（2021・湖北天门中考）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度

为3nVs,从A处沿水平方向飞行至B处需10s,同时在地面C处分别测得4处的仰角为75。，

B处的仰角为好,则这架无人机的飞行高度大约是m（百》］.732,结果保留整数）

【答案】20

【分析】

过点A作APJ.8C于点O.过点8作水平线的垂线，垂足为点E，先解直角三角形求出

BDCD的长，从而可得BC,再根据直角三角形的性质求出8E的长即可得.

【详解】

解：如图，过点A作AO13c卜点O,过点8作水平线的垂线，垂足为点E,

由题意得：AB=3xlO=3O(m),ZACE=75°,ZI3CE=30°,AB//CE,

/.ZACB=