沪科版八年级数学下册专项练习07 有关四边形的五大模型

专项07有关四边形的五大模型

模型一中点四边形模型

1.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边

形ABCD应具备的条件是（）

A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.对角线互相平分

2,如图，已知矩形ABCD的边长分别为a,b,进行如下操作:第1次,顺次连接矩形ABCD各边的

中点，得到四边形ABGDi；第2次，顺次连接四边形AiBiCiDi各边的中点，得到四边形

A2B2C2D2；……，如此反复操作卜去，则第n次操作后，得到四边形AnBnCnDn的面积是（）

A胃B.gC.黑D.g

第2题图第3题图

模型二十字架模型

3,如图,E,F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接

BE交AG于点H,连接DH.若正方形的边长为6,则线段DH长度的最小值是.

4,如图，在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点（与点B,D不重合）,GE_LCD,

GFJ_BC,E,F分别为垂足，连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.

⑴求证:/DAG=NEGH;

⑵判断AH与EF是否垂直,并说明理由.

it

模型三对角互补模型

5.如图，已知正方形ABCD中，边长AB=6,点P为对角线BD上任一点，连接AP,过点P作PQ1AP

交BC于点Q.

(1)求证:AP=PQ;

⑵若DP二企，求四边形ABQP的面积.

模型四含60。角的菱形

6.如图，在菱形ABCD中,NB=6(T,AB=6,点E、F分别在边AB、AD上，且BE=AF,连接EF、CE、

CF,贝IJEF的最小值是()

A.2B.3C.2V3D.3V3

7.如图，在菱形ABCD中,NA=60o,E、F分别是AB、AD的中点,DE、BF相交于点G,连接BD,CG.

⑴求证:NBGD=120。;

⑵若DE=2V5，求DC的长；

⑶若菱形ABCD的面积为328,求CG的长.

模型五折叠型

8.将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A，处，得到折痕DE,如图1.

⑴求证:四边形AEA'D是正方形.

⑵将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C处，点B落在

点B，处，得到折痕EF,BC，交AB于点M,如图2.线段MC与ME是否相等?若相等，请给出证明；

若不等，请说明理由.

专项07有关四边形的五大模型

答案全解全析

1.C要使四边形EFGH是矩形，应添加的条件是四边形ABCD的对角线互相垂直理由如下:

如图，连接AC、BD,AC与BD交于点O,根据三角形的中位线定理得

EF//AC,EF=iAC,GH//AC,GH=^AC,EH〃BD,/.EF//GH,EF=GH,

22

・・・四边形EFGH是平行四边形.

•・・EF〃AC,EH〃BD,BD_LAC,

AEH1EF,/.ZHEF=90°,.,.四边形EFGH是矩形.

添加其余选项的条件均无法证明四边形EFGH是矩形.

2.A如图，连接AICIBDI,

•・•顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形AIBICIDI,.••四边形AIBICIDI的面积为矩形

ABCD面积的一半,・・・Si=%b.

2

;顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A2B2C2D2,/.C2D2=1A1C1,A2D2=1B1D1,

AS2=iAiCixiBiDi=-ab,……，依此类推可得Sn点.

2242"

3.答案3V5-3

解析根据正方形的性质可得AB=AD=CD=6,NBAD=NCDA=9(r,NADG=NCDG=45。,

又<AE=DF,・・・△BAE0ACDF,AZ1=Z2,

VDG=DG,AADG^ACDG,AZ2=Z3,

・•・N1=N3,又；ZBAD=ZBAH+Z3=90°,

AZ1+ZBAH=90°,ZAHB=90°.

如图，取AB的中点。，连接OH,OD,

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得0H《AB=3,

在RtAAOD中,由勾股定理得ODWOA2+AD2=3倔

・・・0H+DH20D,・・・当O,D,H三点共线时,DH的长度最小,最小值=OD-OH=3V§-3.

4.解析（1）证明:•・•在正方形ABCD中,AD±CD,GE±CD,AD//GE,二ZDAG=ZEGH.

（2]AH_LEF.理由如下：

连接GC交EF于点O,如图，

VBD为正方形ABCD的对角线，

AZADG=ZCDG=45°.

XVDG=DG,AD=CD,

/.△ADG^ACDG(SAS),ZDAG=ZDCG.

在正方形ABCD中,NECF=9。。，

XVGE±CD,GF±BC,

・•・四边形FCEG为矩形,・・.OE=OC,

/.ZOEC=ZOCE,AZDAG=ZOEC.

由(1)得NDAG=NEGH,・・・ZEGH=ZOEC,

・•・ZEGH+ZGEH=ZOEC+ZGEH=ZGEC=90°,

.•.ZGHE=9O°,.\AH1EE

5.解析⑴证明:过点P作MN〃CD交AD于点M,交BC于点N,

丁四边形ABCD是正方形,・・・NADB=45o,AD〃BC,

•・・MN〃CD,NADC=NG90。，

・・・四边形MNCD为矩形，

.*.ZNMD=90°,ZMPD=45°=ZMDP,AD=CD=MN,

/.MD=MP,AAM=PN,

VAP1PQ,:.ZAPQ=90°,AZAPM+ZQPN=90°,

■:ZQPN+ZPQN=90°,ANAPM=NPQN,

zAPM=zPQN,

在仆AMP和^PNQ中，々AMP=4PNQ

.AM=PN,

:.AAMP^APNQ(AAS),AP=PQ.

⑵在等腰直角三角形DMP中,DP二企，

根据勾股定理得MD=MP=1,，AM=5,

易知四边形ABNM为矩形，则四边形ABQP的面积=S矩形ABNM-2s△AMP=6X5-2X芋=25.

6.D如图，连接AC,过点C作CG1AD于点G,则NCGD=90。.;四边形ABCD是菱

AB=6,ZB=60°,AB=CB=AD=CD=6,ZD=ZB=60°,A△ABCADC都是等边三角

^.,.ZACB=ZB=ZCAF=60°,CB=CA=CD=6,DG=AG=-AD=ix6=3,ACG=VCD2-DG2=V62-32

22

=3V3.VCF>CG,/.CF>3V3,：.CF的最小值是3A.在△BCE和^ACF

(CB=CA,

中，4B=zCAF,ABCE^△ACF(SAS),ACE=CF,ZBCE=ZACF,/.ZECF=ZACE+ZACF=

BE=AF,

NACE+NBCE=NACB=60°,,・・AECF是等边三角形,・・・EF=CF,・・・EF的最小值为3V3.

7.解析⑴证明:•・•四边形ABCD是菱形,NA=60。,

・•・AB=BC=CD=AD,ZA=ZBCD=60°,

•••△ABD与ABDC均为等边三角形，

.\ZADB=ZABD=ZCDB=ZCBD=ZDCB=60°.

・・・E,F分别是AB,AD的中点，

・•・ZBFD=ZDEB=90o,AZGDB=ZGBD=30°,

・•・ZGDC=ZGBC=90°,DG=BG,

・•・ZBGD=360o-90°-90o-60°=120°.

⑵由(1)可知△ADB是等边三角形,DE_LAB,

・•・ZEDB=30°,ZDEB=90°,BD=2BE,

°：DE=2>/3,:.BE=2,1.CD=AB=2BE=4.

⑶设菱形的边长为2a,则DE=V3a,

•・•菱形ABCD的面积为32V3,A2a-V3a=32V3,

解得a=4或a=4(舍去),・・・DC=8.

由(1)可知ZGDB=ZGBD=30°,ZBGD=120°,

DG=BG,DC=BC,CG=CG,

.,.△CDG^ACBG,/.ZDGC=ZCGB=60°,

由(1)知ZGDC=90°,JZDCG=30°,DG2+CD2=CG2,

ACG=2DG,JgCG)2+82=CG2,/.CG二竽

8.解析(1)证明:•・•四边形ABCD是矩形，

AZA=ZADC=90°.

;将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A处，得到折痕DE,

AD=A'D,AE=A'E,ZADE=ZA'DE=45°.

VAB/7CD,/.ZAED=ZA'DE=ZADE,

AD=AE,AD=AE=A'E=A'D,

・•・四边形AEAD是菱形.

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