上海八年级数学下册复习-第二十二章 四边形（单元重点综合测试）

第二十二章四边形单元重点综合测试

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0・5毫米黑

色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置

一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）

1.（22-23八年级下.上海杨浦.期末）在平行四边形480中，对角线AC与80相交于点。，则

下列式子不一定正确的是（）

A.AO=COB.AB=CD

C.ZBAC=ZBDCD.ZBAC=ZACD

2.（22-23八年级下♦上海青浦•期末）已知平行四边形ABCO的对角线AC、3。相交于点。.下

列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（）

A.ZABD=ZACBB.ZAOB=ZADC

C.ZABD=ZCBDD.ZABD=ZACD

3.（22-23八年级下•上海静安・期末）下列判断中，不正确的是（）

A.AB+BA=0B.a+b+c=c+b+a

C.如果卜耳=「耳，那么48=COD.”+,+c）=G+/“+c

4.（2023・广东深圳•中考真题）如图，在平行四边形48co中，AB=4,BC=6,将线段回水

平向右平移。个单位长度得到线段EF,若四边形ECZ）产为菱形时，则。的值为（）

A.1B.2C.3D.4

5.（23-24九年级上•上海静安・期末）如图，点E在矩形A8C。的边上，将矩形沿AE翻折,

点B恰好落在边C。的点尸处，如果AO=OE,那么笑的值等于（）

岳+\

A.x/5B.V2+1C.D.73

2

6.（2023・上海•中考真题）已知在梯形AbC。中，连接力C，加，且设48=〃,。=〃.下

列两个说法：

①AC=¥（Q+6）；@AD=^y]a2+h2

则下列说法正确的是（）

A.①正确②错误B.①错误②正确

C.①②均正确D.①②均错误

二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）

7.（22-23八年级下•上海普陀・期末）如果一个多边形的各个外角都是40。，那么这个多边形的

内角和是度.

8.（22-23八年级下•上海普陀•阶段练习）已知菱形48。中，边长A8=4,々=30。，那么该菱

形的面积等于.

9.（22-23八年级下•上海黄浦•期末）如图，在矩形纸片A8CO中，^=6cm,fiC=8.5cm,将

矩形纸片折叠，使点8与点。重合，那么.QC/的周长是cm.

10.（2023八年级下•上海・专题练习）如图，。是等边三角形A8C内任意一点，过点。作

ODA8,OEAC,OF"C分别交AC,BC,AB于点G,H./,已知等边三角形48c的周长18,

贝I」OE>+.

11.（2023八年级下•上海・专题练习）如图，A。是等腰三角形相C的顶角平分线，8c=10,

点、E,尸分别是人DAC边的中点，连接叮，则所=.

A

B

12.（23-24九年级上.上海黄浦•期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等

腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线已知一个直角梯形的“等腰直角线”

等于4,它的面积是.

13.（20-21八年级下•上海杨浦•期中）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，点A、6的坐

标分别为（2,0）,若点。在X轴上，点。在丁轴上，以A、B、C、。为顶点作平行四

14.（2021八年级下上海崇明期中）如图，在平行四边形八次中，4=70。，将平行四边

形A8CD绕顶点8顺时针旋转到平行四边形43G2,当GR首次经过顶点。时，旋转角

=1

15.（23-24八年级上•上海长宁・期末）如图，在以冲，4cB=90。，AC=5,AB=13,点

。在边上，连接AO,将aADC沿着翻折，点C的对应点为点E,连接以3,如果AEBC,

那么随的长等于.

A

16.（23・24八年级上•上海虹口.期末）如图，在RtAABC中，点O是斜边4。的中点，PEJ.BD

于点E,于点RAB=6,BC=3,则比+尸产=.

17.（20-21八年级上♦江苏南通•阶段练习）如图，ABC中，8c的垂直平分线DP与184C的

角平分线相交于点。，垂足为点P，若4AC=85。,则4DC=.

18.（23-24九年级上•上海普陀・期中）如图，正方形A8C。的边长为6,点M在边。。上，将&BCM

沿直线翻折，使得点C落在同一平面内的点C处，联结并延长交正方形A8CO一边于

点N.当8N=DM时,CM的长为.

三、解答题（9小题，共64分）

19.（20-21八年级下•全国,课时练习）已知：如图，四边形A8CO是平行四边形，P,。是对

角线8。上的两个点，且放=OQ.求证：AP//QC,AP=QC.

20.（22-23八年级下•上海闵行•期末）如图，己知正方形A8CD中，A8=2,AC为对角线，AE

平分/DAC,EF1AC,垂足为F.求尸C的长.

21.（21-22八年级下•上海静安•期中）如图，A8C中，A。是N8AC的平分线，E是AC上一

点，AE=AB,EF〃BC交.AD干F,BE与AD交于G,求证：四边形3E>E尸是菱形.

22.（2021•黑龙江哈尔滨•三模）如图，平行四边形ABC。中，NBC。的平分线交A/）于E,ZABC

的平分线交E/）于点F.

（1）求证：AE=DF；

(2j若乙4=1201BF=,EF=3,求8C的长.

23.（22・23八年级下•上海浦东新•期末）如图，在梯形ABCO中，AD//BC,8c=24）,点E是

8c的中点.

⑵如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与AU平行的向

量共有个；

⑶求作：混+注.（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）

24.（22-23八年级下•上海徐汇・期末）如图，已知"C是等边三角形，过点A作。七〃8C

QDEvBC）,且/%=£4,连接8。、CE.

⑴求证：四边形。8CE是等腰梯形；

⑵点尸在腰CE上，连接M交AC于点G,若NFBD=a）。,求证：CG=；DE.

25.（22-23八年级下.上海杨浦.期末）如图，己知在正方形A8C。中，A8=4,点尸是边CD上

一点（不与点C、。重合），连接转交3。于点E,延长AP交N3C。的外角角平分线于点尸，

连接

⑴当。尸=2五时，求的面积：

⑵求证：AE=EF；

⑶连接CE,当CE〃。/时，求C77的长.

第二十二章四边形单元重点综合测试

注意事项:

本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0・5毫米黑

色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置

二、选择题（6小题，每小题2分，共12分）

1.（22-23八年级下.上海杨浦.期末）在平行四边形480中，对角线AC与80相交于点。，则

下列式子不一定正确的是（）

A.AO=COB.AB=CD

C.ZBAC=ZBDCD.ZBAC=ZACD

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质分析即可.

【详解】解：如图：

•..四边形A8CZ）是平行四边形，

\AB//CD,AB=CD,AO=CO.

-AB//CD,

4BAC=NACD,

故A、B、D都不符合题意，C符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键.

2.（22-23八年级下•上海青浦•期末）已知平行四边形ABC。的对角线AC、相交于点。.下

列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（）

A.ZABD=ZACBB.ZAOB=ZADCC.ZABD=ZCBD

D.ZABD=ZACD

【答案】C

【分析】根据菱形的判断条件，即可解答.

【详解】解：如图所示，

AI)

A.ZABD=AACB,不能判断平行I四边形ABC。是菱形，故A不符合题意；

B.ZA()B=ZADC.不能判断平行四边形A8CO是菱形，故B不符合题意；

C.ZABD=/CBD,

四边形A8CD是平行四边形，

.・.ABCD,

:.ZABD=NCDB,

♦：ZABD=/CBD,

/C【)R=/CRI),

:.CB=CD,

••・四边形A8CO是菱形，故C符合题意；

D.ZABD=ZACD,不能判断平行四边形48CD是菱形，故D不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟知菱形的判定方法是解题的关键.

3.(2223八年级下.上海静安.期末)下列判断中，不正确的是()

A.AB+BA=()B.a+b+c=c+b+a

C.如果陷=|切,那么48=COD.a+,+c)=R+/“+c、

【答案】C

【分析】根据向量是既有方向又有大小的量，向量的加法满足所有的加法运算定律，逐项进

行分析判断即可.

【详解】解：A.A8+B4=0，故A正确，不符合题意；

B.a+b+c=c+h+a,故B正确，不符合题意；

C.如果卜,二|。4,那么4*CQ或相=OC,故C错误，符合题意；

D.〃+,+c)=(a+〃)+c,故D正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了向量的计算，解题的关键是耍考虑向量是既有大小又有方向的量，

向量的运算满足所有加法运算定律.

4.（2023・广东深圳•中考真题）如图，在平行四边形48co中，AB=4t3C=6,将线段/W水

平向右平移。个单位长度得到线段EF,若四边形七8户为菱形时，则。的值为（）

A

C.3D.4

【答案】B

【分析】首先根据平行四边形的性质得到CD=A8=4,然后根据菱形的性质得到比=8=4,

然后求解即可.

【详解】,・•四边形ABC。是平行四边形,

：.CD=AB=4f

・・,四边形反刀尸为菱形,

EC=CD=4,

■:8c=6,

：.BE=BC-CE=2f

,a=2.

故选：B.

【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握

以上知识点.

5.（23-24九年级上•上海静安・期末）如图，点E在矩形A8C。的边EC上，将矩形沿AE翻折,

点8恰好落在边的点尸处，如果AO=OE,那么黑的值等于（）

DE

C.”

B.72+1D.73

【答案】B

【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、等腰二角形的性质，先根据矩形的性质得出

ND=NB=NC=90。，AB=CD,再根据折叠的性质得出〃F£=N6=90°,A/3-AF,BE-EFy然

后根据等边对等角得出尸=NO必=45。，根据余角的定义、等量代换及等角对等边得出

CF=CE，设AO=D尸二x,根据勾股定理得根据线段的和差及勾股定理得出

B£=(V2-l)V2x,最后再化简即可得出答案.

【详解】四边形A8CD为矩形

.-.ZD=ZB=ZC=90o,AB=CD

.・将矩形沿AE翻折，

/.ZAFE=ZB=90°,AB=AF,BE=EF

AD=DF

:.^DAF=^DFA=45°

:.^DFA+ZEFC=90°

:2EFC=/FEC=45。

:.CF=CE

]^AD=DF=x

在Rt^ADF中，AF=yjAD2+DF2=0

:.CF=yf2x-x=[x[2-\]x

:.BE=EF=(6-l)6x

景(正同岳二'I

故选B.

6.(2023・上海・中考真题)已知在梯形48co中，连接AC,BD,且AC14。，设48=«CD=).下

列两个说法：

①4c=+；(§)AD-\/a2-\-b~

则下列说法正确的是()

A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误

【答案】D

【分析】根据已知及结论，作出图形，进而可知当梯形ABCD为等腰梯形，即AO=8C,ABNCD

日("〃)；②AD咚后市,其余情况得不出这样的结论，从而得到答案.

时，①AC=

【详解】解：过3作的〃C4,交8c延长线于£,如图所示:

若梯形A8CO为等腰梯形，即A£>=4C,/W/CD时,

二•四边形ACEB是平行四边形，

CE=AB.AC-BE,

AB//DC,

3AB=/CBA,

QAB=AB,

.△OA府△CBA(SAS)

:.AC=BD,即8。=BE,

又AC1BD,

•••BE工BD,

在RtZXBOE中，BD=BE,AB=a,CD=b,则OE=DC+CE=8+。，

AC=BE=^r=—DE=b)，此时①正确;

V22

过3作勿'_LOE于尸，如图所示:

则所！。七(，

在中，BD=BE,AB=a,CD=bDE=b+a,8/===,4+"

FC=FE-CE=^(a+b)-a=^(b-a)f

,BC=商+FC，=?］+［合［咚肝而

此时②正确;

而题中，梯形A8CO是否为等腰梯形，并未确定；梯形的。。是48f8还是AD/BC,并未确

定，

・"无法保证①②正确，

故选:D.

【点睛】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形

的判定性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性

质是解决问题的关键.

二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）

7.（22-23八年级下•上海普陀•期末）如果一个多边形的各个外角都是40。，那么这个多边形的

内角和是度.

【答案】1260

【分析】由一个多边形的每个外角都等于40。，根据〃边形的外角和为360。计算出多边形的边

数〃，然后根据〃边形的内角和定理计算即可.

【详解】解：设多边形的边数为〃，

多边形的每个外角都等于40。，

”=360+40=9,

，这个多边形的内角和=（9-2）x1800=12600.

故答案为：1260.

【点睛】本题考查了〃边形的内角和定理：〃边形的内角和也考查了〃边形的外

角和为360。.

8.（22-23八年级下•上海普陀•阶段练习）已知菱形中，边长八3=4,々=3（）。，那么该菱

形的面积等于.

【答案】8

【分析】根据直角三角形的性质：30。的角所对的高为边长的一半，可利用菱形的面积公式求

解.

【详解】解：如图，菱形A8c。中，边长A3=4,N3=30

・•・菱形"CQ的面积为：4x2=8；

故答案为：8

【点睛】本题考查的是含30。的百角二角形的性质.菱形的性质,熟记菱形的面积公式是解本

题的关键.

9.（22-23八年级下•上海黄浦•期末）如图，在矩形纸片A8CQ中，A8=6cm,BC=8.5cm,将

矩形纸片折叠，使点8与点。重合，那么.OC/的周长是cm.

【分析】根据翻转变换的性质得到M=。尸，根据三角形的周氏公式计算即可.

【详解】解：由翻转变换的性质可知，BF=DF，

则，。（开的周长

=DF+CF+CD=13F+CF+CD=BC+CD=S.5+6=\4.5,

故答案为14.5.

【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和

大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

10.（2023八年级下•上海・专题练习）如图，。是等边三角形A8C内任意一点，过点。作

ODAI3,OEAC,OF"C分别交AC,BC,AB于点、G,H,h已知等边三角形ABC的周长18,

贝ljOD+OE+OF=.

【分析】本题考查了平行的性质、等边三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质.在

解题的时候要注意找准对应平行线所形成的角.由平行挂理得出O、OG尺。力”是等边三角形,

由等边三角形三边相等的性质和平行四边形的性质求出QQ+QE+QP的值.

【详解】解：・・・OD||A®OEAC,OFIBC

：.4EIO=NODH=Z.GOF=NB=60°,ZOE1=NOGF=NOHD=60°,

则四边形0/3。和四边形0/（〃都是平行四边形，

♦・.AAC是等边二角形

・•・三角形IEO.OGF、8"是等边三角形，

则O/=8DOF=CH,

：・OE=OI,OD=DH,

：,OD+OE+OF=DH+BD+CH=BC,

・・•。的周长为18,

・•・OO+。七+O/=18+3=6.

故答案为：6.

11.（2023八年级下•上海・专题练习）如图，A。是等腰三角形相C的顶角平分线，8c=10,

点、E,尸分别是ADAC边的中点，连接EF,则斯=.

B

【答案】|

【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得到

CD=gBC=；xl0=5,根据三角形中位线定理即可得到结论，熟练掌握三角形中位线定理是解

题的关键.

【详解】解：:ABuAC,A。平分N8AC,

/.CD=-«C=-xl0=5,

22

•:点、E,尸分别是ADAC边的中点，，

r是，AC£＞的中位线，

.­.EF=-C£）=-x5=-,

222

故答案为：~.

12.（23-24九年级上.上海黄浦•期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等

腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线己知一个直角梯形的“等腰直角线”

等于4,它的面积是.

【答案】4+4近或12

【分析】分两种情况,结合勾股定理,即可求解.

【详解】解；如图，在梯形448中，AD^BC,ABC是等腰直角三角形，AD=AC=4t

:.AB2+BC1=2AB1=AC2=16,

AB=2应，

・・・梯形A8CO的面积为g（AC+AD）xAB=g（2拒+4b2&=4+4拉；

如图，在梯形48CD中，AD4BC,.ABC是等腰直角三角形，CO=AC=4,

ZBAP=ZZ?=90°,N8AC=45。，

，ZC4D=ZD=45°,

48=90°,

・・・..AC。是等腰直角三角形，

AD=y/2AC=4y/2,

・,・梯形A8C£＞的面积为:（8C+4O）x48=；（2及+4夜）x2应=12；

如图，在梯形"CQ中，AD/7BC,"C是等腰直角三角形，C7）=AC=4：

综上所述，它的面积为4+4a或12.

故答案为：4+4夜或12

【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题

的关键.

13.（20-21八年级下•上海杨浦•期中）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，点A、8的坐

标分别为（2,0）,（1,-6）,若点C在x轴上，点。在），轴上，以A、B、C、。为顶点作平行四

边形，则点。的坐标为.

【答案】（0,⑹或（0,-4）

【分析】分三种情况，由平行四边形的性质可得出答案.

【详解】解：若以AB为边，四边形A8CD为平行四边形，点。在＞轴的正半轴，

•・•点A、8的坐标分别为（2,0）,（1,-石）,

/.D（0,x/3）,C（-l,0）；

若以4B为对角线，四边形4D8C为平行四边形，点。在＞轴负半轴，

・・・。（0,叫，C（3,0）；

若以4B为边，四边形A8DC为平行四边形，点。在了轴的负半轴，

・・・。（0,-@,C（l,0）；

综上，点。的坐标为（。，句域仅,-G）.

故答案为：（。，6）或（（），-6）.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质.

14.（20-21八年级下•上海崇明•期中）如图，在平行四边形A8CO中，4=70。,将平行四边

形ABC。绕顶点3顺时针旋转到平行四边形4g当首次经过顶点C时，旋转角

ZAM=1

【答案】40

【分析】由旋转的性质可知：平行四边形A6C〃全等于平行四边形A6CQ,得出6c=6£,由

等腰三角形的性质得出NBCG=NG,由旋转角NABA=NCBG,根据等腰三角形的性质计算即

可.

【详解】•・•平行四边形A8C。绕顶点B顺时针旋转到平行四边形ABCQ,

:.BC=BC、,

:.NBCC】=ZC）,

•・•在平行四边形A8c。中，Z4=70°,

ZC=ZA=ZC,=70°,

ZBCC,=ZC,=70°,

ZCBQ=180°-2x70°=40°,

...ZABA,=ZCBC,=40°,

故答案为：40.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形

的内角和定理，解题的关键是证明三角形C8G是等腰三角形.

15.（23-24八年级上•上海长宁•期末）如图，在&二八3时，ZACB=90°,AC=5,48=13,点

。在边8C上，连接AD,将aADC沿着A。翻折，点C的对应点为点E,连接EB,如果

那么兆的长等于.

【分析】由ZACB=90。，AC=5,A8=I3,根据勾股定理求得BC=12,由翻折得

ZAED=ZACB=90°,由AEBC,得/6£=180。-48=90。，NBDE=ZAED=90。，可证明四

边形ACDE是正方形，则OC=OE=AC=5,所以8£>=7,则BE={BD2+DE?=加，于是得到

问题的答案.

【详解】解：VZACB=90°,AC=5,AB=13.

•**BC=ylAB--AC1=V132-5-=12»

由翻折得ZAED=ZACB=90。,

VAEBC,

：.ZCAE=180°-ZACB=90°,ZBDE=ZAED=90°,

・•.四边形AS七是矩形，

°：AE=ACf

・♦・四边形ACQE是正方形，

DC=DE=AC=5,

:・BD=BC-DC=12-5=7,

•*-BE=\IBD2+DE2=>/72+52=y/14，

故答案为：＞/74.

【点睛】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、平行线的性质、正方形的判定与性质等知

识，求得0c=。匠=5是解题的关键.

16.(23・24八年级上.上海虹口.期末)如图，在RiAABC中，点。是斜边4C的中点，PE±BD

于点£,践_LAC于点凡AB=6,BC=3,则正+尸产=.

【答案】竽

【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理、三角形面积等知识，解题的关键是

利用面积法求高.如图作连接PO,利用《48・8(7=^^。刚/求出8M,利用

S咖=2(S的+S加即可解决问题.

【详解】解；如图作助V/JLAC于“，连接

"3C=90。,人。=OC,人8=6,8C=3,

BD=AD=DC,AC=ylAB2+BC2=3x/5，

•：-ABBC=-ACBM,

22

哈

•s—q+q

'e“ABD—°ADP丁JBDP，

:.-ADBM=-ADPF+-BDPE,

222

:.PE+PF=BM=—.

5

故答案为：空.

J

17.（20-21八年级上•江苏南通•阶段练习）如图，/WC中，3c的垂直平分线QP与NBAC的

角平分线相交于点。，垂足为点尸，若,。=85。，则皿c=.

【答案】95。/95度

【分析】过点。作D£上A6延长线于点£,过点。作。尸/AC于点/，根据角平分线的性质和

垂直平分线的性质，证明&DEB^RtDFC（HL）,得至|J/BDE=/CDF,进而得到/BDC=NEDF,

再根据四边形内角和为360。，求得@尸=98。，即可得到/瓦）。的度数.

【详解】解：过点。作让延长线于点E,过点。作。尸,AC于点尸，

/.ZDEB=ZDFC=90°,

A。平分/8AC,

:,DE=DF,

加垂直平分ec,

BD=CD,

在RtADEB和RtAORT中,

DE=DF

BD=CD'

：.RtDEBgRtDFC(HL),

；.Z1BDE=KDF,

/.ABDC=/BDF+4CDF=ABDF+4BDE=NEDF,

四边形"£陀的内角和为360。，

：.ZEDF=3600—NDEB-ABAC-ZDFA,

Z7MC=85°,ZDEB=ZDM=90°,

AZEDF=95°,

.•.N3DC=95°,

故答案为：95。.

//P\：\

AFC

【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，四边

形内珀和等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键.

18.（23-24九年级上•上海普陀・期中）如图，正方形A8CQ的边长为6,点用在边。C上，将BCM

沿直线8M翻折，使得点C落在同一平面内的点U处，联结。C并延长交正方形A例第一边于

点、N.当8N=D”时，CM的长为.

【答案】3或12-6百

【分析】分点N在AB边上和8C边上两种情况，当点N在AB边上时，根据正方形的性质及

砒=OM可得四边形8NZW是平行四边形，根据折叠的性质及平行四边形的性质得出

MC=MD,即可得答案；当点N在BC边上时，过得。作CE_LC£＞于E,连接CC,利用SAS可

证明。绦。LW,得出NSV=NC8M,根据折叠的性质及直角三角形两锐角互余得出CE是

△CDV的中位线，设CM=CN=x,利用中位线的性质及勾股定理列方程求出X即可得答案.

【详解】如图，当点N在A8边上时，连接CC,

TA8c。是正方形,

AABCD,

,:BN=DM,

・••四边形BNDM是平行四边形,

DN〃BM,

；・ZDCM=NCMB/MDN=NCMB,

・・,将"CM沿直线8M翻折，使得点C落在同一平面内的点C处,

:.NCMB=/CMB,MC=MC,

NDCM=MDN,

MC=MD,

：.CM=MD=-CD=3,

2

当点N在8c边上时，过C作CEJ.CO于E,连接CC,

•:BN=DM,BC=CD,

:・CM=CN,

°：CM=CN,/BCM=ZDCN=期,BC=CD,

:…CBMWCDN,

NCDN=NCRM,

•・•将aBCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C'处，

・・・8M垂直平分CC,MC=MC,

VZBCC+ZCBM=90°,NDNC+NCDN=90。，NDCU+NEC。=90。，

:.4DNC=/BCC,ZDCC=ZCDN,

.・.NC=CC\CC=DC,

NC'=DC,

VCE1CD,

，DE=CE=-CD=3,

2

・•・CE是△CON的中位线，

CE=-CN=-CM=-C'M,

222

设。V/=CV=x,

在Rt.CME中，CE2+EM2=C'M2,即（gxf+AW?=V,

解得：EM=^~x,

2

CE=x+x=3,

2

解得：A-=12-6>/3,BPCM=12-6x/3.

故答案为：3或12-66

【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判

定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并分类讨论是解

题关键.

三、解答题（9小题，共64分）

19.（20-21八年级下•全国•课时练习）已知：如图，四边形A8CO是平行四边形，P,。是对

角线8。上的两个点，且3P=DQ.求证：AP//QC,AP=QC.

【答案】见解析

【分析】直接利用平行四边形的性质得出AB=QC,A8〃OC,进而得出△A8P丝△CQQ（SAS）,

即可得出答案.

【详解】证明：•・•四边形是平行四边形,

:・AB=DC,AB//DC,

；・/ABP=/CDQ,

在4ABPfilACOQ中,

AB=DC

</ABP=NCDQ,

BP=DQ

:•△ABPQXCDQ(SAS),

：・NAPB=NCQD,AP=QCt

.*.180°-ZAPB=iS0°一/DQC,

即N4PQ=NCQP,

：.\P//QC,

：.AP//QC,AP=QC.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出

△A8P四△COQ是解题关键.

20.(22-23八年级下•上海闵行•期末)如图，己知正方形A8CO中，A8=2,AC为对角线，AE

平分/D4C,EF1AC,垂足为求产。的长.

【答案】272-2

【分析】利用正方形的性质求出AC=CF获三=2亚，再根据角平分线的性质可得所=9,

进而可证明A"=AD=2,问题随之得解.

【详解】•・•正方形ABCQ中，A4=2,AC为对角线,

:.AB=BC=AD=2,

：・AC=yjAB2+BC2=242，

・.•AE平分NDAC,EF1AC,EDkAD,

:.EF=ED,

EA=EAt

RtEAF^RtEAD,

AF=AD=2t

FC=AC-AF=141-2.

【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，证明4/=4)=2,

是解答本题的关键.

21.(21-22八年级下•上海静安•期中)如图，"C中，AD是NR4C的平分线，£是人。上一

点，AE=AbfEF〃BC文AD千F,BE与AD交于G,求证：四边形电无尸是菱形.

【答案】见解析

【分析】先根据条件证明一A8Z)oA£。、一ABFmAEF,得至l」O5=OE,FB=FE,再根据等边

对等角得到/。即=/m七，从而证明四边形应犯〃是平行四边形，进一步得证四边形/切防是

菱形.

【详解】A力是NBAC的平分线，

\?HAD?EAD,

在△A8O和Z^AED中，

AB=AE

<ZBAD=NEAD,

AD=AD

.•"6。三AEZXSAS),

DB=DE,

在和△A£F中，

AB=AE

</BAD=NEAD,

AF=AF

:.t.ABF=AE尸(SAS),

:.FB=FE,

又・・E尸〃BC,

:"FEB=/DRE、

又DB-DE,H3-FE,

4DBE=NDEB,AFBE=/FEB,

;"DEB=/FBE,

；.BF〃DE,

•••四边形8。四是平行四边形，

又DB=DE,

四边形皿）£尸是菱形.

【点睛】本题考查全等三角形的性质和证明、菱形的判定，解决本题的关键是熟知菱形的判

定定理.

22.（2021•黑龙江哈尔滨•三模）如图，平行四边形A8CD中，N8CD的平分线交4。于E,ZABC

的平分线交。于点足

⑴求证：AE=DF；

⑵若ZA=120。，BF=80EF=3,求BC的长.

【答案】（1）见详解.

⑵13

【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识,

（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得ZAB/=乙4尸8,ZDEC=ZDCE.即可得到

AB=AF,DE=DC.即可求证结论.

（2）过点A作A〃_L4〃，垂足为从利用4AF=120。，8/=86可计算出A3的长度，结合

（1）即可求出8c长度.

【详解】（1）解：•・•四边形人BCD是平行四边形.

:・AD〃BC,AB=DC,AD=BC.

:・ZAFB=/FBC，/DEC=NECB.

TCE是/BCD的平分线，跖是N/WC的平分线.

ZABF=NFBC,ZDCE=ZECB.

ZABF=NAFB,/DEC=ZDCE.

AB-A/-,DE=DC.

：.AF=DE.

：.AF-EF=DE-EF.

，AE=DF.

（2）过点A作A〃_L8b,垂足为“，如图:

由（1）知=且NBA尸=120。，BF=8百，

I./BAH=60°,BH=-BF=^.

2

丁ZABA/=30°,

・•.AH=-AB

2t

・•・++8”2,A/?=8.

:.AF=DE=AB=8.

EF=3.

:.AE=AF-EF=5.

：.AD=AE+ED=\3.

:.BC=AD=\3.

23.（22-23八年级下•上海浦东新•期末）如图，在梯形ABC。中，AD//BCfBC=2AD,点E是

5c的中点.

⑵如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与8C平行的向

量共有个；

⑶求作：AC^EC.（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）

【答案】（l）AC;BC

⑵7

⑶图形见解析

【分析】（1）根据平行四边形的性质，向量的运算，即可；

（2）根据平行向量的意义求解；

（3）根据三角形的作图，即可.

【详解】（1）•・•点E是3C的中点,

:・BC=2BE=2EC,

,:BC=2AD,

：.EC=ADt

*：AD〃BC,

・・・四边形48CQ是平行四边形，

AE=CD,

AD+AE=AC,AC-AB=BC.

故答案为：AC;BC.

（2）与BC平行的向量有：BE,EC,A。,EB，CE,DA,C3共7个,

故答案为：7.

（3）以点。为圆心，乱长为半径，延长BC,连接质，

：・EC=CF,

uinuuiaiuiiuuiaimuu

••AC+EC=AC+CF=AF.

【点睛】本题考查向量，平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行向量的性质，平行四边

形的性质.

24.（22-23八年级下•上海徐汇・期末）如图，已知M8C是等边三角形，过点A作。七〃8。

QDEvBC）,且=连接B。、CE.

DAE

⑴求证：四边形D8CE是等腰梯形；

⑵点尸在腰CE上，连接M交AC于点G,若/FBD=60。,求证：CG=；DE.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】(1)根据等边三角形和平行线的性质得到△/1用运△ACE,继而得到8D=CE进行证

明即可：

(2)先证明NQ8A=NC8G,进而得到DBA—GBC(ASA),从而CG=A。，由==

即可得出结论.

【详解】(1)解：:ABC是等边三角形，

ZABC=ZACB=60°,AB=AC=BCf

又1DE//BC,

：./DAB=ZABC=ZACB=NCAE=60°,

,:DA=EA

：.^ABD^ACE(SAS)

:・BD=CE

・：DE〃BC(DEcBC)

・・・四边形O8CE是等腰梯形；

(2)证明：vZraD=60°,ZABC=60°,

：,4FBD=AABC,

."DBA+Z