高中数学：空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系

【学习目标】I.正确理解空间中两直线间的位置关系（特别是两条直线的异面关系）.（重点）2.掌握空间中直线

与平面的交点个数、位置关系及符号表示.（难点）3.掌握空间中平面与平面的位置关系.（难点）

【导语】

在几何的宇宙中，点、线、面是构建空间的原始密码.一个点，是坐标的凝望；一条直线，是方向的无尽延

展；一个平面，是维度的悄然铺陈.它们以极简的姿态，编织出空间最深邃的对话——点能否挣脱线与面的

束缚？直线与平面是擦肩而过，还是深深相嵌？当平面与平面遥遥相对，是默契的平行，还是交错的锋

芒？这些关系不仅是数学的语言，更是现实世界的隐秘逻辑.从雕塑的立体轮廓到卫星的轨道计算，从折叠

时空的科幻幻想到芯片电路的精密设计，点、线、面的位置法则无声地支配着形与力的秩序.理解它们的交

融与对抗，便是解码空间本质的起点.让我们以观察为眼，以推理为桥，踏入这场几何的永恒博弈，在抽象

与具象的交界处，探寻万物结构的诗意真相.

一、空间中直线与直线的位置关系

阅读课本第129页完成以卜内容.

问题1观察你所在的教室.

（1）教室内同一列的灯管所在的直线有什么位置关系？

（2）教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是平行直线吗？是相交直线吗？

提示（1）互相平行.

（2）既不是平行直线，也不是相交直线.

知识梳理

1.空间两条直线的位置关系有三种

（共面（相交直线:在同一平面内，有且只有一个公共点.

I直线平行直线:在同一平面内,没有公共点.

［异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点.

2.异面直线的画法

例1（课本例2）如图所示，ABC\a=B,Ma,aua,8初，直线A8与。具有怎样的位置关系？为什么？

A

解直线A5与。是异面直线，理由如下.

若直线A3与。不是异面直线，则它们相交或平行.设它们确定的平面为小则B右夕，au”.由于经过点8与

直线a有且仅有一个平面a,因此平面a与夕重合，从而ABua,进而A《a,这与A&z矛盾.所以直线A3

与〃是异面直线.

例1已知a,b,c是三条直线，如果a与〃是异面直发，人与c是异面直线，那么々与。有怎样的位

置关系？并画图说明.

解直线。与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面.如图⑴(2)(3).

反思感悟判定两条龙线是异面直线的方法

(1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内.

(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号

语言可表示为AGa,BCa,/c«,朋心A3与/是异面直线(如图).

跟踪训练1(1)如图，在三棱柱A8C-4SG中，4A_L底面48C,力是8c的中点，则直线力G()

A.与直线AC相交

B.与直线AC平行

C.与直线A4相交

D.与直线4Al是异面直线

答案D

解析易知三棱柱AAC-48Ci为直三棱柱，由图易判断£>G与AC异面，A,B错误；由图可判断力G与

直线A4是异面直线，C错误，D正确.

(2)如青，已知正方体ABC£)-AI8CIOI，判断下列直线的位置关系：

①直线MB与直线DC的位置关系是；

②直线A出与直线BQ的位置关系是；

③直线DiD与直线DiC的位置关系是;

④直线AB与直线B.C的位置关系是.

答案①平行②异面③相交④异面

解析首先看两直线是否有交点，判断是否相交，然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在同一个

平面内，如果不在，那么两直线异面.

本题中直线。I。与直线"C相交于点。］，所以③应该填“相交”；直线A山与直线。iC都在平面A由

中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行"；点4，B,8在一个平面48当内，而。不在

平面45%内，则直线A由与直线8C异面.同理，直线A3与直线5c异面，所以②④都应该填“异面”.

二、空间中直线与平面的位置关系

问题2我们把一支笔抽象为一条直线，桌面抽象为平面，随意摆放笔，观察它与桌面的公共点的个数,

共有多少种情况？画出相应的图形，并用符号语言表示.

提示（1）有无数个公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点，对应的图形及符号表示如下.

知识梳理空间中直线与平面的位置关系

直线。在平面a外

位置直线。在

直线。与平直线a与平

关系平面a内

面a相交面a平行

有无数个有且只有一个

公共点没有公共点

公共点公共点

符号

auaaQa=Aa//a

表示

图形/-------7V____a

表示0口

例2下列命题中，正确的是（）

A.如果小〃是两条平行直线，那么。平行于经过〃的任何一个平面

B.如果直线a和平面a满足a//a,那么a与平面a内的任何一条直线平行

C.如果直线a,力满足a〃a,b〃a.,那么。〃Z?

D.如果直线a,〃和平面a满足a//a,b^a,那么。〃a

答案D

解析如图，在正方体48co-ABC7T中，AA'//BB\4r在过8夕的平面A88卬内，故A不正确；A4〃平

而BCCB,BCu平面8CCB,但儿4不平行于8C,故B不正确；A4〃平面8CCB,ATT〃平面

BCCB,但A/T与AZT相交，故C不正确；D中，假设人与a相交，因为。〃乩所以。与a相交，这与。

〃a矛盾，故b"a,故D正确.

反思感悟直线与平面位置关系的判断

在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏.另外，我们可以借助空间几何图

形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断.

跟踪训练2（1）下列说法中，错误的是（）

A.如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交

B.连接平面外一点和平面内一点的直线与平面内不过该点的直线异面

C.经过两条异面直线中的一条直线，有且仅有一个平面与另一条直线平行

D.两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行

答案D

解析根据异面直线的判定方法，选项B正确；选项D错误，直线还可能与平面相交；AC显然正确.

（2）（多选）若直线。不平行于平面a,且Ma,则下列结论错误的是（）

A.a内的所有直线与a是异面直线

B.a内不存在与。平行的直线

C.a内存在唯---条直线与。平行

D.«内的所有直线与a都相交

答案ACD

解析因为直线。不平行于平面a.且。Qa,则〃与平面。相交，

设交点为A,则平面a内所有过点A的直线与直线。相交，即共面,

平面a内所有不过点A的直线与直线a异面，故A偌误，D借误；

显然a内不存在与。平行的直线，故B正确，C错误.

三、空间中平面与平面的位置关系

问题3我们把书和桌面分别抽象为一个平面，随意上下、左右移动和翻转书本，它和桌面所在平面的位

置关系有几种？有什么特点？请画出相应的图形，并用符号语言表示.

提示有两种，平行、相交.

特点：两个平面平行时，两者没有公共点；两个平面相交时，两者有一条公共直线.对应的图形及符号语言

表示如下.

a//p

知识梳理空间中平面与平面的位置关系

位置关系两个平面平行两个平面相交

有无数个公共点

公共点没有公共点

（在一条公共直线上）

符号表示

图形表示口

例3已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一

定是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.以上都不对

答案C

解析如图，可能会出现以下两种情况.

反思感悟平面与平面位置关系的判断方法

（I）平面与平面的位置关系有两种，平行和相交，相交的判断主要是以基本事实3为依据找出一个交点，平

面与平面平行的主要特点是没有公共点.

（2）牢牢抓住其特征和定义，把文字语言或符号语言转化，结合空间想象全方位、多角度思考，特别是特殊

情况，要学会举反例否定.

跟踪训练3（多选）以下四个命题中，正确的有（）

A.在平面a内有两条直线和平面乃平行，那么这两个平面平行

B.在平面。内有无数条直线与平面夕平行，那么这两个平面平行

C.平面a内AABC的三个顶点在平面夕的同一-侧且到平面少的距离相等且不为0,那么这两个平面平行

D.平面。内有无数个点到平面。的距离相等且不为0,那么这两个平面平行或相交

答案CD

解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行于另一个平面，所以A,

B错误.

■课堂小结-------------------------------------------------------------------------------------

1.知识清单：

(1)空间中两直线的位置关系.

(2)空间中直线与平面的位置关系.

(3)空间中平面与平面的位置关系.

2.方法归纳：举反例、特例.

3.常见误区：异面直线的判断、两个平面交线的确定.

随堂演练

1.”两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析两条直线为异面直线,则这两条直线没有公共点.反之,两条直线没有公共点.这两条直线是平行

直线或异面直线，所以“两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分不必要条件.

2.已知直线。〃平面a,Pea,则过点P且平行于直线。的直线()

A.只有一条，不在平面a内

B.有无数条，不一定在平面。内

C.只有一条，且在平面a内

D.有无数条，一定在平面。内

答案C

解析过点尸和直线。可确定唯一一个平面，在这个平面内，过点P可作直线与直线。平行，且这条直线

唯一，而且这条直线在平面a内.

3.如图所示，用符号语言可表达为()

A

R

A.aC\§=m,〃ua,niC\n=A

nSa,mC\n=A

C.aC\^=m,"UQ,Au"?,Au〃

D.aPI夕=“7,〃WQ,A^n

答案A

解析如题图所示，两个平面a与夕相交于直线〃?，直线〃在平面a内，直线〃?和直线〃相交于点A,故

用符号语言可表达为ad夕=用，〃ua,mC\n=A.

4.若一条直线上有两点在已知平面外，则下列结论正确的是（）

A.直线上所有的点都在平面外

B.直线上有无数多个点都在平面外

C.直线上有无数多个点都在平面内

D.直线上至少有一个点在平面内

答案B

解析一条直线上有两点在已知平面外，则直线与平面平行或相交.相交时有且只有一个点在平面内，故

A,C错误；直线与平面平行时，直线上没有一个点在平面内，故D错误.

课时对点练

［分值：100分］

单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分

基础巩固

1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）

A.平行或异面B.相交或异面

C.异面D.相交

答案B

解析可以借助长方体来判断.如图，在长方体ABCQ-A/QOi中，A4与BC是异面直线，又44〃8团，

AA}//DD^显然BBCBC二B,与8c是异面直线.

Di.

2.如图所示，在正方体ABCO-A/iCi。中，点P为线段4G上的动点，则下列直线中，始终与直线8P异

面的是（）

A.DDiB.ACC.AD\D.81c

答案B

解析由正方体的性质易知当P为4G的中点时，尸为的中点，

而DD"/BBi,所以8,D,功，B四点共面，则BP,OQ在平面8。步囱上，故A不符合题意；

因为猫"CG,即A,C,CH4四点共面，

易知PW平面ACCA,而阴平面ACG4,PWAiG,&AC,

故8尸与AC异面，故B符合题意；

当点P,G重合时，易知八B〃QG,A8=QiG,

则四边形AAG。是平行四边形，则此时AOi〃OP,故C不符合题意；

当点P,G重合时，显然BC,小尸相交，故D不符合题意.

3.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（）

A.0个B.1个

C.0个或1个D.1个或2个

答案C

解析平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：

①直线与平面相交，可以作0个平行平面；

②直线与平面平行，可以作1个平行平面.

4.若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是（）

A.三条交线为异面直线

B.三条交线两两平行

C.三条交线交于一点

D.三条交线两两平行或交于一点

答案D

解析三个平面两两相交，有两种情况：一是如三棱柱的三个侧面，三条交线两两平行；二是如三棱锥的

三个倒面，三条交线相交于一点.

5.已知直线a,b,c,若。〃b,且b与c相交，则〃与c的位置关系是（）

A.相交

B.相交或异面

C.平行或异面

D.相交、平行或异面

答案B

解析因为〃与c相交，所以〃与c确定一个平面，不妨设为a,

又仇所以qua或

若则〃与c相交；若a〃a,则〃与c异面.

综上可得，。与c的位置关系是相交或异面.

6.（多选）下列说法正确的是（）

A.若一条直线平行于两平行平面中的一个，则它也平行于另一个平面

B.若两个平面a〃.，aua,则。〃用

C.若两个平面Q〃从aua,bup,则。与〃一定不相交

D.若两个平面af邛aua,则。与夕可能相交也可能平行

答案BCD

解析对于选项A,该直线可能在另一个平面内，A不正确；对于B,若两个平面a〃夕，aua,则。与夕

无公共点，即a〃夕，B正确；对于C,若两个平面a〃夕，aua,bup,则。与〃无公共点，所以。与人一

定不相交，C正确；对于D,若两个平面。「£=仇aua,则a与£可能相交，也可能平行，D正确.

7.（多选）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，贝1」（）

NAFUBG

B.CH//BD

C.直线£7与BG异面

D.直线E/与8。异面

答案AD

解析根据题意，画出该正方体的直观图，如图，对于A,易得A/〃BG,A正确;对于B,直线C”与

8。异面，B错误；对于C,直线E/与8G相交，C错误；对于D,直线£7与B。异面，D正确.

〃（「）G（/）

8.（5分）如图，正六棱柱中与直线48异面的侧棱共有条.

答案4

解析根据正六棱柱的性质结合图形可得，侧棱中没有与A8平行的直线；与A8相交的侧棱有A4,

共2条.又正六棱柱的侧棱共有6条，所以与直线AA异面的侧棱共有6-2=4（条）.

9.（5分）若直线/上有两点到平面a的距离相等，则直线/与平面a的关系是.

答案平行或相交或仁。

解析当/〃Q时，/上所有的点到平面Q的距离均相等，符合题意;

当/与Q相交时，/上有两点到平面Q的距离相等，符合题意;

当/U次时，/上所有的点到平面。的距离均相等，符合题意,

故l//a或/与a相交或/ua.

10.（10分）如图所示，在长方体A8CD-A181Goi中，直线囱。与长方体的六个面之间的位置关系如何?

解明。1在平面平面Gd内,501与平面平CG5,平面平面AMMi,平面CDDiG都相交,

B八与平面ABC。平行.

inr综合运用

11.平面a外的一条直线a与平面a内的一条直线b不平行，则（）

A.a一定不平行于a

B.a//a

C.〃与6一定是异面直线

D.a内可能有无数条直线与。平行

答案D

解析由题意，知。与a可能平行也可能相交.若a〃a,bua,则。与异面；若。与a相交，bua,则。

与/?相交或异面，由此可知A,B,C均不正确.

12.（多选）如图，若G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线G”，MN是异面直线

的图形有（）

H

D

答案BD

解析A中，GH//MN；C中，GM//HN,且GM7HN,故GH,MN相交；B,D符合题意.

13.（5分）如图，在正方体ABCO-ABGOi中，判断下列位置关系:

4

（1）4口所在直线与平面BCCi的位置关系是

（2）平曲A.BCi与平面ABCD的位置关系是

答案（1）平行（2）相交

解析(l)AOi所在的直线与平面8CG没有公共点，所以4。所在直线与平面BCG平行.

(2)平面A|6G与平面ABCO有公共点8,故两平面相交.

14.(12分)如图所示，在正方体AB