江苏省南通市海安某中学2024-2025学年高一年级下册期中复习数学试题（解析版）

海安高级中学高一数学期中复习试卷

一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.已知及数z满足z（l-'）=2i,则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算求得复数z的值，进而得到复数所对应的点的坐标，从而得到所在象限.

【详解】因为Z（l—，）=2,•'所以“书二昌岛"7—

即？在复平面内所对应的点为在第二象限.

故选:B.

【点睛】本题考查复数的除法运算和由复数判定对应点的象限，属基础题.

2.设向量〃=（—1,1）,/?=（1,3）,则匕一2。二（）

A.（3,1）B.（-2,-2）C.（2,-2|D.(-3,-1)

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，利用向量的坐标运算法则，进行计算，即可得到答案.

【详解】由向量〃二(一1,1),t=(l,3),则〃-2〃=(1,3)—2・(一1/)=(3,1).

故选：A.

71

3.将函数y=3sin2x+-+1的图象向左平移不后得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的图象的一个对

4J3

称中心为（）

业13兀

A.B.C.（剽D.N，

【答案】D

【解析】

sin2力生+1,再令

【分析】先利用三角函数图象变换规律求出平移后解析式g（力二3

、12,

1

IIn

2x+—=EMeZ可求出对称中心的横坐标，从而可求得答案.

12

【详解】将函数），=3sin（2x+：）+l的图象向左平移g后得到函数

,c11兀，，rr,1IKkn

令2x+---=kjt,kwZ,则工=------ksZ,

1224T

1171E八,口

所以所得图象的对称中心为——+—,1A:GZ,

242)

当A=2时，一个对称中心为（詈

故选：D

4.已知向量4,〃不共线，且向量4+4〃与（4一1）。+2b共线，则实数2的值为（）

A.一2或一1B.—2或1C.—1或2D.1或2

【答案】C

【解析】

【分析】利用平面向量共线基本定理列等式，利用不共线向量相等列方程组求解.

【详解】若向量〃+义力与（义—1）"+2〃共线，

则存在实数左，使得（/i-l）a+2^=A（a+4b）=Za+&ib,

4-1=&,

又因为向量〃，力不共线，所以L-，解得4=2或2=-1.

2=kA,

故选：C.

5.如图，水平放置的VA8C的斜二测直观图为「48'。'，若A8'=A'C=1,则3C=（）

A.&B.2C.75D.5

【答案】C

2

【解析】

【分析】首先得到平面图形，再根据斜二测画法规则求出线段长度.

【详解】依题意由直观图可得如下平面图形，因A?=A'C=1,

所以AB=49=1,AC=2AfC=2,

所以8C=JAB2+AC2=6

6.设A8,C,。是空间不共面的四点，且满足A8・AC=0,A(j-AO=0,A8-AO=0,则△86是

()

A.钝角三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦定理证明ABCD的内角都为锐角即可.

【详解】设|A3|=4|AC|=A|AC|=c,(a>0,b>0,c>0),

因为A3・AC=0,ACAO=0,A8・40=0,

所以A3J_AC,AC1.A。,A3AO,

因此|BC|=J/+02,|CD|="-2,|BD|=&2+c2

\BCf+\CDf-\BDf»+从+j*?］空_>()

从而cosZ.BCD=

2\BC\-\CD\2\BC\\CD\2\BC\\CD\

\BD|2-h|CP|2-|gC|2_a1+c1+h2+c2-(a2+h2)_2c2

cosZBDC->0

2\BD\-\CD\2\BD\\CD\~2\BD\\CD\

|BCF+|BD|2—|CD|2a2+b2+a2+c2-(h2+c2)2a2八

cosZC^D==〉(J

2\BC\\BD\2\BC\\BD\

3

即4BCD的三个内角都为锐角，因此ABCD是锐角三角形，

故选：B.

7.释迦塔俗称应县木塔，建于公元1056年，是世界上现存最古老最高大之木塔，与意大利比萨斜塔、巴黎

埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.2（）16年、释迦塔被吉尼斯世界纪录认定为世界最高的木塔.小张为测量木塔

AB的高度，设计了如下方案：在木塔所在地面上取一点M，并垂直竖立一高度为1m的标柠MN,从点

N处测得木塔顶端A的仰角为60。，再沿8W方向前进92m到达C点，并垂直竖立一高度为2.5m的标杆

CD,再沿8c方向前进2m到达点£处，此时恰好发现点A,。在一条直线上.若小张眼睛到地面的距离

EF=1.5m,则小张用此法测得的释迦塔的高度A8约为（参考数据：6^1.732）（）

A.64.5mB.67.8mC.70.2mD.72.4m

【答案】B

【解析】

【分析】过点N作NQ_LAB于点。，过点尸作EP_|_AS于点P,交C。于点G,利用特殊角的三角函数值

以及三角形相似即可得到答案.

【详解】如图，过点N作NQ_LAB于点。，过点/作々_LA8于点P,交CO于点G,

则四边形B/WNQ,BCGP都是矩形，所以

B。=MN=Im,BM=QN、BP=CG=EF='5m,FG=CE=2m,

所以/)G=C。一斯=2.5—1.5=Im.

4

AQAB-\AB-\

在Ri△八QN中，QN=

tanNANQtan6073

AD_1

所以FP=BM+MC+CE=——+94,

73

由己知得.DFG^.AFP，所以上一二?，

DGAP

维1+94初.…581+9573581+95x1.732,_Q

即2J3，解得AB=----------—«-------------------p67.8m.

-=--------------1111

IAB-X.5

故选:B.

8.对于集合4={4,4，}和常数%,定义：〃=8S'i))+8S-(a-+COS“⑹-4)

n

为集合A={q,a，相对常数a的“余弦方差”.若集合4='1,茎，兀）相对常数°。的“余弦方

差”是一个常数。则丁二（）

।1

A.gB.-C.2D.3

23

【答案】A

【解析】

【分析】根据新定义计算，结合两角和与差的余弦公式展开化简可得.

』g-a))+COS2(号-4))+COS2(兀-4)

【详解】由题意，,

〃—一

3

COS2(--^)+COS2(—+)+COS2%

33

3

22

(cos(cos%+si吟sin%了+(cos—cos^-sin—sin^))+cos0Q

3

।3

-cos2%+—sin2珞+cos2Q)

2

3~2

故选：A.

二、多选题本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知非零复数4,z2,其共胡复数分别为则下列选项正确的是（）

5

A.Z：=Z：

B.ZI+z2=Z[+Z2

C.若=则|z2T的最小值为2

DAN

Z?=㈤

【答案】BD

【解析】

【分析】设4=。+勿，Z2=c+M(o,〃,c,deR),对A根据复数的乘法运算即可判断，对B根据共枕复

数的概念和复数的加减即可判断；对C根据复数表示的几何意义即可判断；对D,根据复数的除法运算和

复数模的计算即可判断.

【详解】设Z]=q+/?i,z2=C4-i/i(6f,/?,C,jGR),

对A,Zj2=a2+2abi-b2,z/=(r/-/?i)2=a2-2ab\-b2»

当〃/至少一个为0时，z：=丁，当a/均不等于0，z；wf，故A错误；

对B,4+4=(〃+c)+(〃+d)i,则马+Z2=(a+c)-(〃+d)i,

而4+Z2=〃一。i+c-M=(a+c)-(O+4)i,故4+z2=4-z2，故B正确；

对C,若卜+1|=1,即卜+1)+蜀=1,即+J,

即伍+1『+屋=1,则(c/)在复平面上表示的是以(一1,0)为圆心，半径厂=1的圆，

卜-1|的几何意义表示为点(c,d)到点(1,0)的距离，显然(1+1)2+。2=4>1,

则点(1,0)在圆外，则圆心到定点(1,0)的距离"=2,

则点(1,0)与圆上点距离的最小值为1一，・=2—1=1,故C错误:

Z]a+bi(a+〃i)(c+t/i)ac-bd+(ad+be)i

对D,

Z1211

2㈤z2c+dic+dc-vd

6

|z,|

4),故D正确;

z,㈤

故选：BD.

10.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形CO。，其中

4COD=^QC=3OA=3,动点2在°。上（含端点），连接。尸交扇形。43的弧月8于点。，且

OQ=xOC+yOD,则下列说法正确的是（）

=2x,则04.0

C.ABPQ>-2D.PAPB>—

2

【答案】ABD

U针斤】

【分析】建立平面直角坐标系，表示出相关点的坐标，设。（cosasine）,e£[（）,*],可得

P（3cose,3sin6）,由OQ=xOC+,结合题中条件可判断A,B；表示出相关向量的坐标，利用数量

积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C,D.

【详解】如图，作OE_LOC,分别以OC,OE为心y轴建立平面直角坐标系,

设2(cos9,sin，),ee[0,^],则尸(3cosO,3sin。),

7

由。Q—xOC+可得cos，=3入一］）'3山，二^^了，且x>0,y>°，

3

若)'=1，则cos?e+sin?夕=(3X一5元)2+2=1，

12

解得x=y=-,（负值舍去），故x+y=—,A正确;

33

若y=2x,则cos0=3x—3y=O,0400=(1,0)(0,3)=0,故B正确：

2

AB-PQ='(-2cos0t-2s\n0)=-y/3sin0+3cos0=-2\/3sin(,0-—)，

223

由于。£［0,」］,故。一二£［一三,四］,故一26sin（。—工）N—3,故C错误;

33333

由于PA=(1-3cos4一3sin夕)，PB=(——3cos<9,---3sin夕)，

22

ic

故PA・PB=(1-3cos，，一3sin6)・(-----3cos。,^一3sin0)

22

17C,万7C、__cItTt57tl

-----3sin(0n—)，而。H—G[r—、—],

26666

|1^711

故3sin（e+¥）NU-3=」（0=四取等号），故D正确，

26223

故选：ABD.

11.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每

类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形

三边小江c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜辕并大斜导减中斜暴，

余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜呆减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积若把以上这段文

字写成公式，即5=、口［c"_（在上£用现有VA6c满足sinA:sin氏sinC=2:3:近，旦

V42

VA3c的面积5"隙=土且，请运用上述公式判断下列命题正确的是（）

2

A.VA8C周长为5+J7

氏VA3C三个内角A,C,B满足关系A+B=2C

8

CV"。卜接圆半径为孥

D.VA8C中线。。的长为巫

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用判断48C。的结论，从而得解.

【详解】现有△ABC满足sinA：sinB：sinc=2：3：币,

所以a：b：c=2：3：J7

设o=2f,b=3t,c=y/jt,r>0,

21224f2+9r-7r21

利用余弦定理cose—+_―J

2ab⑵2~2f

由于CW(0,TT),

所以C=£.

3

所以A+8=2工，故A+/3=2C,所以△A8C三个内角4,C,8成等差数列，故4正确;

3

利用SPABC=3",

2

所以」a》sinC=',解得1=1.

2222

所以：a=2,b=3,c=y/y9

所以△ABC的周长为5+J7，故A正确；

上二五=酒二r-

利用正弦定理Sinc-V3~3-2R△48C外接圆半径氏为四，故C错误;

3

2

如图所示：

9

A

D

x/l_2

解得4必二巨，所以cosA=2互

利用正弦定理73-suiA，

77

利用余弦定理：CD1=AC2+AD2-2ACMD*cosA=9+--2X3x—x,

4274

解得。。=《叵，故。正确.

2

故选：ABD.

［点睹】本题考查正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，考直运算能力和技换能力及思维能力.

三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在中，角A8C的对边分别为〃，"c.若a：b:c=4:5:6,则cos2C的值为

【答案】一3三1

32

【解析】

【分析】在.A5C中，。：〃：c・=4:5:6,设。=4%,b=5k,c=6k,〃wO,再由二倍角公式可得

cos2C=2cos2C-\及余弦定理求出cosC,从而可求解.

【详解】由题意知，在_A5C中，a:〃：c=4:5:6,设a=4&,b=5k,c=6k,攵工0,

2t216公+25公一36/_1

由余弦定理得cosC="-

2ab2x4x5公募，

所以cos2c=2cos2c-1=2x(1]-1.

32

31

故答案为：一亍.

32

13.已知方程f+3or+3a+l=0，(。＞2)的两根为tana,(an/，a,则。+尸二

10

【答案】勺

【解析】

【分析】根据方程/+3方+3a+l=0，（。＞2）的两根为lana,tan/7,得到

tana+tan4=-3a,tana•tan£=3a+1,由两角和的正切公式得到tan（a+4），再确定a+/的范围求

解.

【详解】因为方程/+30¥+3。+1=0，（4＞2）的两根为tan。，Ia“，

所以tana+tan尸=-3〃,tana•tan6=3a+1,

…/小tana+tanB,

则lan(a+/?)=----------=1.

1-tancr-tanft

因为。＞2,

所以tana+tan£=-3a<0,tana•tan£=3a+1>(),

所以tana<0,tan夕v0,

a,Pe——,0,

。+夕£（一乃,0）,

所以a+/?=-学.

4

故答案为：二

4

【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

14.设xwR,向量d=3）,〃=（6,一3）,且a_LZ?,则工=；当问一1,2]时，ta-vb

的取值范围为.

【答案】①.G②[2后,24]

【解析】

【分析】根据向量垂直列方程求得x,进而可得空I答案；利用平方的方法，结合二次函数的性质求得

ta+h\的取值范围.

【详解】空1：因为&_!_/?，所以〃•/?=（）'即、QX—3=0,得X=JJ;

空2：由题知柩+屋=『〃2+/?2+2%/?=4/+12,又/4-1,2],

II

所以当1=0时，W+b]取得最小值，最小值为12,

当1=2时，+取得最大值，最大值为28,

故卜〃+可的取值范围为〔2套2汨.

故答案为：JJ;[2x/3,2x/7].

四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知平面向量々=(1,工),0=(2X+3,T),C=(-3,5),X£R.

(1)若a，b，求x的值；

(2)若〃〃人求忸一可的值.

(3)若。与-的夹角是钝角，求x的取值范围.

【答案】(1)T或3：

(2)1或3行

(5、，53、

(3)―力，一1°

\3)\J37

【解析】

【分析】(1)利用少〃=0即可；

(2)利用得出入.值，再利用求模公式；

(3)利用〃/<()且4、C不共线即可.

【小问1详解】

若dj_b,则=(l,x).(2x+3,-x)=1X(2A+3)+X(-X)=0.

整理得d—2x—3=0，解得工=-1或戈=3.

故工的值为一1或3.

【小问2详解】

若“〃〃，则有lx(r)-x(2x+3)=0,即x(2x+4)=0,解得x=0或工二一2

当上=0时，。=(1,0)/二(3,0),则2。—〃=(—1,0),得出一,二1；

当工=-2时，〃=(1,_2),人=(_1,2),则24—匕=(3,-6),彳导2a-b=j3?+(-6)2=36.

综卜，加一4的值为|或37r

12

【小问3详解】

3

因〃与C夹角是钝角,则由d<0,即1x(-3)+5x<0,得RV-,

又当a与c共线时，有1X5=-3R,得X=-《，不合题意，则工工一：

(5、(53、

综上，X的取值范围为-8,一鼻.

16.已知函数/(x)=2cosx(VJsinx+cosx)-l,g(x)=/(2元一?)

(1)求最小正周期；

(2)求g(x)的对称中心；

(3)若原工)一小2在［(),今上恒成立，求实数，〃的取值范围.

【答案】(1)兀；

(7Tkn)

(2)—+—,0,A:eZ；

(124)

(3)0</H<2-V3.

【解析】

7T

【分析】(1)利用二倍角公式与辅助角公式，将/")化成2sin(2x+：),即可求出最小正周期；

6

7T7T

(2)写出g(x)=2sin(4x——),令4x——二E,keZ即可求解出对称中心：

3

r

闭将原力一加归2等价转化为一2+m工以外工2+〃2,进而转化为《皿，求出g。)的最

2+ni>g(X)n1ax

大值和最小值后解不等式组即可.

【小问1详解】

/(x)=2cosx(5/3sinx+cosx)-1=2>/3cosxsinx4-2cos2x-\=>/3sin2x+cos2x

2］当sin2x+；cos2x)=2sin(2x+*,

所以/3)最小正周期为£=兀.

【小问2详解】

履同=中无一;,n

=2sin22x--+—

I46

13

,.7t,,r.,7tkit.—

令4x——=kjt、ksZ,解得：x=—+一,keZ,

3124

fTTbrrA

故g(x)的对称中心为［五+q~,ojM£Z.

【小问3详解】

若|g(x)-小2在［0,上恒成立,

7T

即-2<g(x)-m<2,-2+m<g［x)<24-m在［0,一］上恒成立,

：-2+mWg(x).

故t,

松+用冷⑴皿

因为g(x)=2sin(4x-g),xe［0,—］,

31

则4不一^£［一所以双%)=25亩(4工一々)£［一6,21，

JJJjj

\~2.+in<~>/3i—

故：，解得：OM〃2M2-百.

［2+/??>2

故实数〃1的取值范围为0Vtn<2-V3.

17.在VA3C中，内角A,B,C所对的边分别为小b,c,且1+smAJsm'

cosAcosB

（1）判断V4VC的形状；

（2）设/W=2,且。是边BC的中点，求当NC4Z）最大时V4BC的面积.

【答案】（1）等腰三角形

⑵6

【解析】

ARAn

【分析】（1）利用倍角公式化简后可得sinMCOSM-cos<sinM=0,故可得A=B即三角形为等腰三角

2222

形；

（2）根据余弦定理和基本不等式可得当NC4O最大时VA8C为正三角形，故可求此时三角形面积.

【小问1详解】

由二倍角公式得

14

.AA.BB

sm—+COS—sin—+cos-

.ABA.B

22__22,整理得sin—cos----cos—sin—=0,

cos^-sin^2222

2222

即sin12_0

0.

【22)

Afl

VA,Be(0,n),-------=0,即A=8,即VA8C为等腰三角形.

22

【小问2详解】

由（1）及题设,有AC=BC=2CD,

…2E232

AC^+AD2-----------------+AD~

“3…心.44

2ACAD2ACAD2ACAD

3ACAD3ACADy/3

-----+------>2

SAD2AC8AD2AC~^~"

而NC4O为三角形内角，，/CAOV?,当且仅当42=正时，等号成立.

6AC2

即NC4力的最大值为色，此时由&二立，而£?二](AD^CD

故Y

6AC2AC2TcJ

71

故,4。2+CD2=AC2，可得二月⑦为直角三角形且ZACD=-,

又由（1）可得VABC为正三角形，・・・VABC的面积S="X22=J3,

4

18.有一个半径为，圆心角的扇形铁皮0MM现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个

3

矩形.

图1图2

方案I：如图I,裁剪出的矩形ABC。的顶点A8在线段QN上，点C在弧MN上，点D在线段OM

上;

15

方案2：如图2,裁剪出的矩形PQRS的顶点P,S分别在线段QM,ON上，顶点Q,R在弧MV上，并且

满足PQ〃RS〃0E,其中点E为弧MV的中点.

(1)按照方案1裁剪，设/NOC=9,用。表示矩形ABC。的面积，并求出其最大面积；

(2)按照方案2裁剪，求矩形PQKS,的最大面积，并与(1)中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出

面积最大的矩形.

【答案】(1)S=立/，in(26+工〕一!1/()＜夕＜三］，最大值为立产：

3II6J2)\3)6

⑵(2-6)产，方案1

【解析】

【分析】(1)由图1得到8c。民。4,进而得到人3,得到矩形A3C3的面积

S=AB-8C=—r2[s\n(20^^]--/ovOv巳］,再利用三角函数的性质求解；

3(16；2)k3J

(2)由图2设NQOE=/7得到QR,!\2,得到矩形PQRS面积为：S=QRPQ

=rf2sinf2/7+-l-^Vo</?<-

,再利用三角函数性质求解.

5)八

【小问1详解】

3.

初r+,ra1AnBC=rsin9,OB=rcos6,OA==—-rsin^

解；由图1知；兀3，

tan—J

3

h

则AB=OB-OA=rcos0------rsin6，

3

(

所以矩形ABC。面积为：S=BCAB=rsin0rcos。-——厂sin”

3)

(万、

=rsinOcos。----sin20,

\3/

2J.恒6(1-COS2。)]

26I

\/

■>(1.〜)Geos2。G]

=r~1—2sin23+------6-----------6--,J

16

sin2^+—cos2^-—

22

sin20+-]--1,0<^<冗-L

等1I6J2J[3J

当2。+£=工，即6=乡，矩形面积取得最大值为且户

6266

【小问2详解】

由图2知：设NQ0E=/7,则OR=2rsin/7,,

PQ=rcos/3->/3rs\np，

所以矩形PQRS的面积为：S=QRPQ=2rsin尸卜cos4一sin0),

=2r2(sin//cossin24),

=r(sin2/?~>/3(l-cos2/?)j,

=/卜in2〃+6cos2夕-6),

=/2sin(2Q+q)—G)1()〈,q、,，

当2尸+2=1,即尸=f1，矩形面积取得最大值为Q—G）产;

因为白电一用心!：^…,

所以方案1可以裁剪出面积最大的矩形；

19.如图，设3、Qy是平面内相交成。（0〈二〈兀）的两条射线，e,,e2分别为3、Or同向的单位向

量，定义平面坐标系入。量为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若。尸=xq+ye2,则记

OP=(x,y).

c//y

OBx

17

（1）在5—仿射坐标系中，若％=（、巧』），求同；

兀——•7

（2）如图所示，在一一仿射坐标系中，B、C分别在X轴、y轴正半轴上，BC=1,OD=—OC,

319

E、产分别为B。、4C中点，求0丘0户的最大值.

【答案】（1）V5

121

（2）—

228

【解析】

【分析】（1）由坐标系新定义和向量的数量积以及模长的计算求解即可;

（2）由坐标系新定义和中点坐标公式以及向量的数量积求出04。“，再由余弦定理和正弦定理边化角以

及降累公式，辅助角公式化简可得.

【小问1详解】

=f兀\[1

由题意知，e）,e2~/.e[q=卜]|♦卜?•cos—=--，

42

•・,〃=（及/），.•.匕=&6]+已2,

:4==+e,=2C1~+2y/^e、.e,+e,=2+