人教版高中数学必修2考点训练：平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例（原卷版）

6.4.1&6.4.2平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例

【考点梳理】

/题型一：用向量解决夹角问题

/题型二：用向量解决线段的长度问题

/题型三：向量在物理中的应用

,题型四：向量与几何最值问题

/题型五：用向量证明线段垂直问题

/题型六：向量与几何的综合问题

【知识梳理】

知识点一向量方法解决平面几何问题的步骤

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.

(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.

(3)把运算结果“酗”成几何关系.

知识点二向量方法解决物理问题的步骤

用向量方法讨论物理学中的相关问题，••般来说分为四个步骤：

(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.

(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.

(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.

(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.

技巧：(1)用向量法求长度的策略

①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式Ia2=a2求解.

②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a=(x,y),贝Ja|=Nx2+y2.

(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想

①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法

则、运算律或性质求解.

②坐标法：建"•・平面宜角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂宜、平行等问题转化为代数运算.

【题型归纳】

题型一：用向量解决夹角问题

AM；CN与BM交于

1.(2022•四川南充•三模)在RtZXABC中,ZA=90°,AB=2,AC=3,=2MC»AN=A8,

点P，则cosNHPN的值为（）

叵2石

A.RL>・--------

55

D.空

C.且

55

21

2.（20-21高一下•福建三明•期末）V48C中，若AA=4C=5,BC=6,点E满足CE=RC4+WCB,直线C£与

1JJ

直线AB相交于点。，则cosNADE=（)

3w

V.-------D.

10101010

3.（2021.陕西•模拟预测）已知菱形ABC。中，AC=2后，BD=2,点E为CD上一点,且CE=2E£),则ZAE8的

余弦值为（）

A,正75D.4

B.C?

55

题型二：用向量解决线段的长度问题

4.（22-23高i下•福建•期中）在VABC中，点。是边8C的中点，N84C=120,A8=3,AD=—,则AC的值

2

为()

A.5B.6C.而D.底

5.（2023•全国•模拟预测）已知向量48-AC=6,线段BC的中点为历，且=6,则|叫=()

A,2730B.3>/3OC.2726D.3后

__.—.——.2

6.（20-21高一下•江西九江•期中）在V25c中,AB=AC=2t点M满足4M+2CM=0,若则8C的

值为（）

A.1B-1C.2D.3

2

题型三：向量在物理中的应用

7.（2324高一下.河北保定•期中）平面上三个力耳，鸟，K作用于一点且处于平衡状态，忻卜IN,同卜&N,6

与月的夹角为45。,则圆的大小为（）

A.V3NB.5NC.石ND.卡N

8.（23-24高一下.安徽•期中）平面上三个力片，牛居作用于一点且处于平衡状态.同=1N,国=小4,"与鸟的

夹角为150。，则同=（）

A.INB.尿C.尽D.V7N

9.（23-24高一下•广东广州•阶段练习）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的

大小为15km/h,方向为北偏西30。，河水的速度为向东7.5km/h,求小船实际航行速度的大小与方向（）.

A.MGkm/h正北B.二Gkm/h与水流方向夹角为63.4。

22

C.导疗km/h与水流方向夹角为41。D.qGkm/h垂直于河岸

题型四：向量与几何最值问题

10.（23-24高一下•江苏南京•阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边

长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中,

已知加=2,P为弧AC（含端点）上的一点，则依，。的范围为（）

A.10,2JB.[0,25/3]C.U，2JD.[0,4J

11.（23-24高一下•重庆・期末）如图，已知正方形相CO的边长为2,若动点P在以A8为直径的半圆上（正方形八比7）

内部，含边界），则PCPO的取值范围为（）

A.[0,2]B.[0,4]C.[0,3]D.[0,1]

3

12.（23-24高一下•上海闵行•期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图I是八

卦模型图，其平面图形记为图2中的壬八边形A3CDE尸G”,其中。4=1,若点?是其内部任意一点，则

O/VAP+OFAP的取值范围是（）

A.(-72,72+1)B.(-x/2,2)C.(-1,72-1)D.(-1,72+1)

题型五：用向量证明线段垂直问题

13.（22-23高一下•湖南常德•阶段练习）如图，正方形A8C。的边长为6,七是A8的中点，尸是8C边上靠近点8的

三等分点，町与OE交于点

⑴求/EM尸的余弦值.

（2）若点/，自A点逆时针沿正方形的边运动到。点，在这个过程中，是否存在这样的点〃，使得EFLMP?若存在,

求出的长度，若不存在，请说明理由.

14.（22-23高一下•山东•期中）如图，为半圆。的直径，|A却=2,C为相上一点（不含端点）.

⑴用向量的方法证明AC_L；

（2）若。是AZ?上更靠近点8的三等分点，。为AC上的任意一点（不含端点），求Q4C4的最大值.

4

15.（22-23高一下•陕西西安•期末）已知在VA6c中，点M是SC边上靠近点8的四等分点，点、N为AB中点,设AM

与CN相交于点P.

（1）请用48、4c表示向量AM；

⑵设人8和AC的夹角为/若cosO=：,且卜4=2,目,求证：CN工AB.

题型六：向量与几何的综合问题

16.（23-24高一下•四川泸州•期中）如图所示，VABC的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源

2

补给站在图中的。，E,尸上，岛屿A到补给站。的距离为岛屿A到8的1•，岛屿A和岛屿。到补给站E的距离相

等，补给站尸在靠近岛屿。的8c的三等分点上，设C4=a,C8=〃.

⑵从岛屿C望岛屿A和岛屿笈成60。的视角，AC=20海里，且CDLEF,求岛屿A到岛屿"的距离||.

17.（23-24高一下.四川德阳.期末）如图，四边形/\/?8的三边48=42=。。=2,48_1.4。,/4。。=120,对角线

AC交BD于O.

⑴若AC=/iAB+〃A。，求％+〃的值;

⑵求“8的余弦值.

5

18.(23-24高一下•山东德州•阶段练习)如图，在VA8C中,已知45=2,47=4,/84。=60。,瓦尸分别为4。,8。上

⑴求网；

(2)求证：AF±BE；

(3)若线段BE上一动点尸满足2PB+PA+PC=0，试确定点P的位置.

【高分演练】

一、单选题

19.(23-24高一下.陕西渭南•期中)已知一个物体在三个力月=(0,1),^=(-1,-3),工的作用下，处于静止状态,

则鸟=()

A.(-1,-2)B.(1,2)C.(2,1)D.(-2,1)

20.(23-24高一下•河南南阳•期中)小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为G，两人手臂

上的拉力分别为不且闵=网，片与用的夹角为凡下列结论中正确的是()

B.始终有国=国=1|1

A.〃越小越费力，〃越大越省力

C.当0=暂时，忻卜忖D.当。、时，闵=忖

21.(24-25高一下•全国)已知在四边形A4C。中，AB=a+2b，BC=-4a—b，CD=-5a-3b，则四边形A8C。为

()

A.梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形

6

22.（23-24高一下.黑龙江大庆•期中）已知平面上A,B,C三点不共线，。是不同于A,B,C的任意一点，且

（AB-AC）（AA+AC）=O,则VA4c是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

/、/、BABC6BD

23.（23-24高一下•甘肃临夏・期末）在四边形4BCZ）中，A（0,0）,8（1,2）,AB=DC，网+同=~^或，则四

边形人BC。的面积为（）

A.2B.3C.4D.5

24.（23-24高一下•湖南常德•期中）在VAAC中已知（温+篇.BC=O,且券.翡=；则▲为（）

A.等腰▲B.直角二C.等边二D.三边均不相等的〜

25.（2024.四川成都•三模）在矩形ABC。中，48=5,AO=4,点E满足2AE=3E8,在平面A8CO中，动点〃满

足PEPB=。，则OP-AC的最大值为（）

A.丙+4B,向—6C.2x/13+4D.2715-6

26.（23-24高一下•北京•阶段练习）在直角梯形A8C。中，AD//BC,ZABC=90°,AD=2AB=2BC=2,点/>为

梯形人8C。四条边上的一个动点，则PA/4的取值范围是（）

「1J总2C.[-L4]

A.--,4B.D.

L2.4

二、多选题

27.（22-23高一下•河南•期中）三名学生拉同一个可移动物体,当处「平衡状态时，所用的力分别用电与骂表示.

若用二30N,国=1（）GN,斗鸟的夹角是%则下列说法正确的是（）

A.园=55N

B.闾=1。及TN

C.6,用夹角的余弦值为一与空

D.耳片夹角的余弦值为得-斗

7

28.（23-24高一下.江苏泰州•期中）长江某处的南北两岸平行，江面宽度为2km,一艘船从江南岸边的A处出发到

江北岸.已知如图，船在静水中的速度匕的大小为同=IOknVh,水流方向自西向东，且速度眩的大小为W|=6km/h.

设匕和匕的夹角为。（0<。<兀），北岸的点4在A的正北方向，则（）

A.当船的航行距离最短时，cos0=-|

B.当船的航行时间最短时，吟

C.当。=与时，船航行到达北岸的位置在A的左侧

D.当。=”时，船的航行距离为生巨km.

315

29.（23-24高一下•福建厦门•期中）在正方形中，3c=1,点E满足OE=/QC（0</<1）,则下列说法不正确

的是（）

A.当/=，时，AE=-AB+AD

B.当/=：时，CGS〈AE,BG=*

33

C.存在，，使得石D.卜£+4@的最小值为2

30.（23-24高一下•湖南永州•期末）己知点户在VABC所在的平面内，则下列命题正确的是（）

A.若。为VA8C的垂心，且人氏人。=3，则"AC=3

B.若以+2PB+3PC=0，则VABC的面积与二48户的面积之比为3:1

/\\

C.若AP:|一，一+|AB+-p——+：AC,则动点P的轨迹经过VABC的外心

（jA.cosB2jAC|cosC2,

D.若E,F,G分别为AB,BC,4。的中点，且AC=4G=2,2Vpe=（）,则/>£.p/的最大值为二

31.（23-24高一下•江苏连云港•期末）在V48C中，AC=4,A8=5,8C=6,。为AC的中点，E为8。的中点，延长AE

交线段3。千点厂,则（）

A门3V14

A.AE=-------B.AE=3EF

4

C.律的面积为必63

D.AEBC=--

88

32.（23-24高一下.重庆.期中）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形

8

窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形AESEFC”的边长为2,P是正八边形

ABCDEFGH边上任意一点,则下列说法正确的是（）

图1图2

A.OA+OC=>/3OB

B.PA/8的最大值为12+8夜

C.4G在方向上的投影向量为-丝

2

D.若函数/（x）=|A。-"如则函数/⑺的最小值为2+五

三、填空题

33.（24-25高一下•全国•期中）两个力£=（覃），尼=（4,-5）作用于同一个质点,使该质点从点A（2（）,15）移到点以7,0）,

则这两个力的合力对质点所做的功为.

34.（23-24高一下.山东荷泽•阶段练习）河中水流自西向东流速为ICkm/h,小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向

正北岸的8点，并使它的实际速度达到每小时lOgkm,该小船行驶的方向为，小船在静水中的速度为.

35.（23-24而一下•山东•期中）在VABC中，AB=3,AC=4,点O是V/18C的外心，则4O.AC=.

36.（23-24高一下•四川自贡・期末）如图在平面四边形ABC。中，NC8A=NCAO=90,NACO=30,A8=3。，点

E在线段4c上满足=若AC=4AZ）+〃A石（44eR）,则羽=.

37.（23-24高一下.河南周口.期末）己知等边三角形ABC的边长为2,点M,N分别为边BC,AC上不与端点重合的

9

动点'且热=总,则AMWN的最大值为

38.（23-24高一下.内蒙古呼和浩特•期中）如图，已知正方形ABCO的边长为2,若动点P在以为直径的半圆E

（正方形ABC。内部，含边界），则尸CPD的取值范围为

1—1一

39.（23-24高一下•河北保定•阶段练习）VABC中，AB=3,AC=2,ABAC=60°,AD=-AB,BE=-BC.

33

⑵求AEC。的值.

40.（23・24高一下.江苏徐州.阶段练习）如图,已知点G是AA8C的重心，过点G作直线分别与边人RAC交于M,N两

点（点M，N与点不重合），设4B=xAM,AC=

⑴求工+＞的值；

（2）求2+'的最小值，并求此时的值.

41.（23-24高一下•浙江宁波•期末）在直角梯形ABC。中，AB//CD,NZM4