第4章 三角形 全章提升练习 2026-2027学年湘教版八年级数学下册

第4章三角形

4.1认识三角形

课时1三角形的边

刷基础

知识点1三角形的有关概念

1下图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（）

A

2如图所示，以点A为顶点的三角形有个；以NECD为内角的三角形是____^ADBE中.NDBE的对

边是—；以线段DE为边的三角形是

A

等腰三角形不等边

三角形

（第2题图）（第3题图）

知识点2三角形按边分类

3三角形按边分类可以用上图来表示，图中4椭圆圈里的A表示（）

A.直角三角形B.锐角三隹形

C.钝角三角形D.等边三角形

知识点3三角形的三边关系

4满足下列条件的三条线段a,b,c能构成三角形的是)

A.a:b:c=l:2:3B.a+b=4,a+b+c=9

C.a=3,b=4,c=5D.a=3t,b=2t,c=t

5王老师有a,b两根小棒（如图），如果要把其中的一根剪成两段，那么下面剪法中，3根小棒一定能围成三角

形的是

A.a/」、棒正中间剪一刀B.b小棒正中间剪一刀

C.a小棒任意剪一刀D.b小棒任意剪一刀

3

8

a

b--------------------------------------

6

(第5题图)(第6题图)

6如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个(第6题图)

6如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3,

4,6,8,且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大

«>()

A.7B.10C.llD.14

7已知a,b,c®AABC三边长.且M=(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c),那么M()(填或』”).

8若三角形的三边长是三个连续自然数,其周长m满足1986Vm<2()22,则这样的三角形有____个.

刷易错

易错点忽略三边关系导致构不成三角形而致错

已知等腰三角形的两边长分别为4和1(),第三边长为偶数，求这个等腰三角形的周长.小海求出的周长为18,

小笠求出的周长为24.请问谁的计算结果正确，并说明理由.

课时2三角形的高、角平分线与中线

刷基础

知识点I三角形的高

1如图，用三角板作钝角圆^ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是()

2如图，在4ABC中,AD_LBC于D,那么图中以AD为高的三角形共有____个.

3如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是.

知识点2三角形的角平分线

如图所示,N1=N2,N3=/4,则下列结论正确的有)

©AD平分ZBAF;②AF平分ZBAC;@AE平分NDAF;④AF平分ZDAC;@AE平分ZBAC.

A.4个B.3个C.2个D.1个

5如图在AABC中,AD_LBC,AE平分NBAC.若/1=30。,/2=20,则NEAD=

知识点3三角形的中线（

如图CD是4ABC的中线，若AB=8,则AD的长为（）

D.3

7如图,AD是AABC的中线,aABD的周长比^ADC的周长小2,且AB=5,则AC=

8如图,4ABC中,AD为中线.DE1AB于E,DF_LAC于F,AB=8,AC=6,DF=5,则DE=

BDC

（第9题图）

知识点4三角形的重心

9如图，在△ABC中,AB>AC,AD交边BC于点D.设△ABC的重心为M,若点M在线段AD上，则下列结论正

确的是)

A.ZBAD=ZCAD

B.AM=DM

C.AABD的周长等于4ACD的周长

D.AABD的面积等于4ACD的面积

刷易错

易错点忽视对等腰三角形的分类讨论而漏解

10等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5和11.5两部分，求这个等腰三角形各边的长.

刷提升

1如图，在△ABC中，把△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点B的位置，则线段入口是（）

A.边BC上的中线B.边BC上的高4

C./BAC的平分线D.以上都是/J--'%

2如图，在RtAABC中,NABC=90。,点D沿CB自点C向点B运动（点D与点C,B不重合），作BEXAD于点E,C

FJ_AD的延长线于点F.在点D的运动过程中，BE+CF的值（）

A.逐渐变小B.逐渐变大

C.保持不变D.无法确定

3如图，点E是长方形ABCD内任意一点，连接AE,BE,CE,DE把长方形分成4个三角形,/XABEABCEACDE,

△ADE的面积分别记为SI,S2,S3,S4.已知长方形的面积，则一定可求出的是（）

A.SiB.Si+S2

C.S]+S2+S3D♦5]+53

4如图,AD是△ABC的中线、G是AD上的一点,E,F分别是CG,BG的中点.若△ABC的面积是24,则阴影部分

的面积为

5不等边AABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数，那么它的长度的最大值是--

6如图，某市有三个车站A,B,C,以A,B,C为顶点的图形是三角形，一辆公共汽车从B站前往C站.

⑴当汽车开到点D时，刚好BD=CD,连接线段AD,AD这条线段是△ABC的什么线段?这样的线段在△ABC

中有几条呢’?此时有面积相等的三角形吗？

（2）汽车继续向前开，当开到点E时，发现NBAE=NCAE,那么AE这条线段是aABC的什么线段呢?在4ABC

中，这样的线段又有几条呢？

（3）汽车继续向前开，当开到点F时，发现NAFB=NAFC=90。,则AF是AABC的什么线段?这样的线段在△AB

C中有几条?

A

刷素养

7思想方法数形结合［难］如图,ZXABC中、/C=90。,AC=8cm,BC=6cm,AB=10cm若动点P从点C开始.按C-A

B-C的路径运动,且速度为每秒3cm,设运动的时间为t秒.

⑴当t=一时CP把aABC的周长分成相等的两部分？

⑵当t=一时CP把4ABC的面积分成相等的两部分？

⑶当t为何值时,ZXBCP的面积为18平方厘米？

课时3三角形的角

刷基础

知识点1三角形的内角和

1在AABC中,NA=200,NB=4NC,则NC等于（）

A.32°B.36°C,40°D.128°

2如图点E,D分别在边AB,AC上若NB=35o,NC=45。.则N1+/2的度数为（）

A.85°B.80°C.750D.7O0

3在AABC中，已知NB+NC=2NA,NB:NA=5:3,则NC=.

知识点2三角形按角分类

4如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.以上都有可能

5已知在4ABC中,/A-NB=20o,NB-NC=35。,试判断4ABC的形状.

知识点3三角形外角的性质

6如图，y与X之间的数量关系为()

A.y=x+55B.y=x-35

C.y=125-xD.y=x+35

0

（第7题图）

7将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使两直角边重合，则Na的度数为（）

A.75。B.105。C.135°D.1650

8如图,NA=350,/B=450,ND=250JM/BCD的度数为

9如图，点P是AABC的外角平分线BP与CP的交点试说明NBPC=90N4

刷易错

易错点对三角形的类型考虑不周导致漏解

10在AABC中,NABC=NC,BD是AC边上的高、NABD=30。,则NC的度数是多少？

刷提升

1如图.在4ABC中,E,F分别是AB,AC上的点，且EF〃BC,AD是NBAC的平分线.分别交EF,BC于点H,D,则N

1,/2和N3之间的数量关系为（）

A.Z1=Z2+Z3B.ZI=2Z2+Z3

C.Z1-Z2=Z2-Z3D,Z1+Z2=2Z3

2某工人加工一个机器零件（数据如图），经过测量这个零件不符合标准.按标准要求进行如下修改：ZEFD=12

0。，MZEFD=120°,且NA,ZB,NE保持不变.为了达到标准，人在保持/E不变的情况下，应将图中/D—

_（填噌大或•减小”）一°,横线处应分别填（）

A.减小,15B.增大,15

C.减小,5D.增大5

3三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”.例如，三个内角分别为1

20\40120c的三角形是“灵动三角形”.如图，ZMON-6（r,在射线OM上找一点A,过点A作AB_LOM交射线ON

于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C,且0°<ZOAC<90°.

①/ABO的度数为30°;@AAOB是“灵动三角形”;③若NBAC=70。,则AAOC是“灵动三角形”;④当△ABC为

“灵动三角形,时,/OAC的度数为30。或52.5。.结论正确的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

（第3题图）（第4题图）

4如图，在aABC中.NB+NC=a,按图进行翻折，使BD〃CG〃BCBE〃FGjiP」NCFE的度数是____（用含a的

式子表示）.

刷素养

5已知在4ABC中,AD是边BC上的高,AE是AABC的角平分线.

（I）如图⑴，若/B=45。,/C=55。,则NEAD的度数为.

（2）如图（2）,EP平分/AEC交AC于点F,交△ABC的外角/ACM的平分线于点P,请猜想/P与NBAC的数量

关系，并说明理由.

（3）如图⑶，在（2）的条件下过点P作PG1BM于点G,若NEAD=/CAD,且NB+NCPE=TNC尸G,,请直接写出

/ACB的度数.

P

AA

大招专题2三角形中的倒角模型

刷难关

母邈学大招6A字型

1如图,AABC中.NA=65。,直线DE交AB于点D,交AC于点E,则NBDE+NCED=()

A.I800B.2150

0235°D.245。

B

子题练变式

2如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠.当点A落在四边形BCED的外部点A，处时，测得N1=7()。,/2=140。,则

ZA的度数为)

A.25°B,30°C.35°D.40°

母题学大招7飞镖型(或燕尾型)

3如图,/ABD/ACD的平分线交于点P.若NA=55o,ND=15。,则NP的度数为()

C.25。D.300

子邈练变式

4问题情境:

如图(1)所示的图形像我们常见的学习用品——圆规我们不妨把这样的图形叫作•规形图”.

探究发现:

⑴观察'规形图;试探究ND与NBAC,NB/C之间的数量关系，并说明埋由.

解决问题:

（2请你利用以上结论，解决下列问题:

①如图（2）,把一块含45。角的三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE,DF恰好经过点B,C,

若/A=40。,则NABD+/ACD='

②如图(3),BD平分ZABP,CD平分/ACP,若ZA-4()c/p-1301则/D的度数为

图（1）图（2）图（3）

母题学大招88字型

5如图,NA=NC=90o,AD,BC交于点E,N2=27。,则N1的大小为（）

A.53°B.43°C,37°D.27°

子题练变式

6如图,NBAD与NBCE的平分线交于点P,BC交AD于O,CE的反向延长线交AD于D,则/P与NB/D的数

量关系是()

A.2ZP-ZB+ZD=180°

B.2ZP-ZB-ZD=180°

C.2ZP+ZB-ZD=180°

D.2ZP+ZB+ZD=360°

母题学大招9双内角平分线模型

7如图在4ABC中,NA=52o,NABC与NACB的平分线交于点5/ABD与NAC）的平分线交于点D》..,依

次类推.NABD3与NACd的平分线交于点D%则ZD,的度数是________.

BC

子题练变式

8如图,ZXABC的角平分线BD,CE相交于点F.

(l^NA=54o*NCFD的度数；

(2试说明:2NBFC=NA+180。.

母题学大招10内外角平分线模型

9如图在△ABC中.NA=a,NABC的平分线与aACB的外角(NACD)的平分线交于点A.;ZABC的平分线与

△A.CB的外角(NA6D)的平分线交于点Az,…以此类推，则NA2022=.(用含Q的式子表示)

母题学大招U双外角平分线模型

10在aABC中,NABC与NACB的平分线相交于点P.

⑴如图⑴，若NBPC=a，则ZA=；(用含Q的代数式表示)

(2)如图⑵作aABC的外角NMBCNNCB的平分线交于点Q,试探究/Q与/BPC之间的数量关系，并说明

理由

图(1)图(2)

母题学大招12双垂直模型

11如图，在4ABC中,AB=8,BC=10,CF_LAB于点F,AD±BC于点D,AD与CF交于点E,ZB=46°.

(1球NAEC的度数.

(2诺AD=6,求CF的长

12⑴探究:如图⑴在△ABC中、NACB=90o,CDJ_AB于点D,若/B=30。,则ZACD的度数是____°;

(2日石展如图⑵,NMCN=90。.射线CPffiZMCN的内部点A,B分别在CM,CN上，分别过点A,B作AD1CP,BE

_LCP,垂足分别为D,E,若/CBE=70。.求NCAD的度数；

(3)应用如图⑶点A,B分别在NMCN的边CM,CN上射线CP在NMCN的内部，点D,E在射线CP上.连接AD,

BE,若/ADP=NBEP=60°,则ZCAD+ZCBE+ZACB=°,

13如图,△ABC中,AD是BC边上的高,AE是ZBAC的平分线,/EAD=15。,/B=50。,求NC的度数

14综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动.

【噪作判断】⑴在AABC中、NB=40o,NC=70。作/BAC的平分线AD交BC于点D.

①澡作一：在图(1)中，用三角尺作BC边上的高AE,垂足为点E,求NDAE的度数；

②澡作二:如图(2),在AD上任取点F,作FE_LBC,垂足为点E.直接写出NDFE的度数.

【迁移探究】（2）如图（3）,将操作二中“在AD上任取点F”改为“在DA的延长线上任取点F"，其他条件不变，

判断NDFE的度数是否会发生变化，并说明埋由.

【拓展应用】（3）如图（4）、图（5）,在4ABC中,NABC=a,NACB=B，AD是NBAC的平分线,在直线AD上任取点

F,过点F作EF1AD与直线BC交于点E,请求出ZDEF与a串之间的数量关系.

4.2命题与证明

4.2.1定义，命题

知识点1定义的判断

1不列语句中属于定义的是（）

A.直角都相等

B.作已知角的平分线

C.连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离

D.两点之间，线段最短

知识点2命题

2K列语句中，是命题的是（）

①若/1=60。,/2=60。厕Nl=N2②同位角相等吗？③画线段AB=CD.④如果a>b,b>c,那么a>c.⑤直角都相等.

A.①④⑤B.①②④

C.①②⑤D.②③④⑤

3不列命题是真命题的是（）

A.三角形中至少有一个角大于或等于60度

B.经过线段中点的直线是线段的对称轴

C.三角形按边分可以分为不等边三角形和等边三角形

D.三角形按角分可以分为钝角三角形、锐角三角形和等腰直角三角形

4命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是_____(填••真命题”或"假命题,)

知识点3命题的构成(

5命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件是______结论是这两条直线平行.

6把下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并指出其条件和结论.

(I蹲角的余角相等.

(2)三角形内角和等于180°.

知识点4互逆命题与逆命题

7给出下列命题：①若存0,则x2〉0;②锐角都相等;③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线

所截，同位角相等.以上命题的逆命题是假命题的个数是()

A.lB.2C.3D.4

8K列说法正确的是()

A.原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题

B.每个命题都有逆命题

C.真命题的逆命题是真命题

D.瑕命题的逆命题是真命题

9命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么。2+序=5.命题2：如果一个三角形

的三条边长分别为a,be且。2+〃=°2那么这个三角形是直角三角形则命题1与命题2是______命题.

1()写出下列命题的逆命题.

(1)同旁内角互补，两直线平行.

(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等.

⑶能被4整除的数一定能被8整除.

4.2.2证明,举反例

刷基础

知识点1证明

1[2025安徽芜湖质检]证明:如果a>b>0,c<0,那么a2+bc>ab+ac.

知识点2举反例

2能说明命题'如果两个角互补，那么其中一个是锐角，另一个是钝角,为假命题的反例是()

A.120°,60°B.95°,105°

C.30°,60°D,90°,90,

3指出下列命题的条件和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.

⑴两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；

（2）内错角相等；

⑶两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

知识点3反证法

4.用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角呻寸，下列假设正确的是（）

A.三角形中最少有一个角是直角或钝角

B.三角形中没有一个角是直角或钝角

C.三个角全是直角或钝角

D.三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角

5用反证法证明、，三角形中至少有一个角不小于60。，,时，假设''_________"，则与“”矛盾，所以原命题

正确.

6（填空）用反证法证明：两直线平行，同位角相等.

已知:如图，直线被h所截,A,B为交点,h〃L.

求证:N1=N2.

证明：假设所求证的结论不成立，即—丰_.如图过点A作直线1磊使U与h所成的N3与N2相等则N3—

_/1,所以直线「与直线h不重合.但“L（一），又已知h〃k,这与基本事实“______”产生矛盾，所以—不成

立，所求证的结论成立.

7用反证法证明.已知：a<|a|,则a必为奂数.

4.2.3定理.推论

刷基础

知识点1定理

1下列可以作为定理的有（）

©■个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为1

80°.

A.I个B.2个C.3个D.4个

2下列说法错误的是（）

A.命题不一定是定理，定理一定是命题

B.定理不可能是假命题

C真命题是定理

D.如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理

3定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

已知如图"ACD是4ABC的外角.

求证:NACD=NA+/B.

证法1：如图，

因为NA+NB+NACB=18（）。（三角形内角和定理）.又因为NACD+/ACB=180。（平角定义）、所以NACD+N

ACB=ZA+ZB+ZACB（等量代换）所以ZACD=ZA+ZB（等式性质）.

济法2：如图，

因为NA=76o,/B=59。，

且NACD=135。（量角器测量所得），

又因为135。=76。+59。（计算所得），

所以NACD=NA+NB（等量代换）.

下列说法正确的是FT

A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

B.证法1用严谨的推理证明了该定理

C证法2由特殊到一般证明了该定埋

D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

定理“两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等”有逆定理吗?如果有，请将其逆定

理写出

知识点2推理证明

5如图,ABJ_BC,DC_LBC,Nl=/2,求证:BE〃CF.现有下列步骤：①因为N2=N1;②所以NABC=NBCD=90。;

③所以BE〃CF;④因为NFCB.那么正确的证明顺序是（）

A

A.①②③④⑤B③④⑤②①/E

C.④②①®@D.⑤②③①④―

6仔细阅读下面的推理过程：小]

因为a=b,O,所以a2=ah,®

所以。2—力2=。力一力2,即（a+b）（a-b）=b（a-b）,②

所以a+b=b，③

所以a-0.④

根据推理过程，由条件“a=bWO”，推理得到结论“=0”，开始出现错误的步骤是第一步.（填序号）

7如图，在AABC中,的平分线.

（l）若NC=70。,NBAC=60。,则NBED的度数是一；

（2豚究NBED与/C的数量关系，并证明你的结论.

4.3全等三角形

4.3.1认识全等三角形

刷基础

知识点1全等图形的概念

1在下列四组图形中，是全等图形的是（）

屈7A△㊀①

ABCD

知识点2全等三角形的概念与性质

2下列命题：①形状相同的三角形是全等三角形；②面积相等的三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相

等；④经过平移、旋转、轴对称得到的三角形与原三角形是全等三角形.其中真命题有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

3若下图中的两个三角形全等，则N1的度数是（）

4如图将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，点C的对应点E恰好落在边BC的延长线上，AD与BE相交于

点F,则图中全等的三角形记为NBAC的对应角为DE的对应边为.

若则7^=_

5如图,△ABC0ADEF,且点B,E在CF上.若CF=&BE=4,则JCE的长为.

AD

FBEC

6如图,Z\ABFg△CDE,ZB=30°,ZBAE=ZDCF=20°.

⑴求/EFC的度数；

(2)AF与CE有怎样的关系?为什么？

7如图，在方格纸中，4PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中

的三个点为顶点画三角形.

（1底图⑴中画出一个三角形与全等；

（2底图⑵中画出一个三角形与aPOR面积相等但不全等.

图（2）

刷易错

易错点全等二角形的对应关系个定：未分类讨论致错

8一个三角形的三条边的长分别是5,8,10,另一个三角形的三条边的长分别是5,4x+2,2y-2,若这两个三

角形全等，则x+y的值是____.

4.3.2全等三角形的判定定理（边角边）

刷基础

知识点1用''边角边"判定两个三角形全等

1下列三角形全等的是（）

A.①②B.@@C.③④D.®®

2在新年联欢会上，老师设计了,你说我画”的游戏.游戏规则如下：甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画

出形状和大小都确定的三角形.已知乙同学说出的前两个条件是“AB=4,BC=2，,.现仅存下列三个条件:①NA=45。;②

NB=45。;③NC=45。为了让甲同学画出形状和大小都确定的AABC,乙同学可以选择的条件的个数有个.

知识点2,,边角边''判定定理的应用

3如图，点E在AB上，点F在AC上且AE=AF,AB=AC,BF=5,DE=1.则DC的长为)

D.4

4如图，在3x3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,则N1和N2的关系为)

B.Z2=2Z1

C.Z1+9O°=Z2D.Z1-Z2=18O°

如图,在AABC中,AB=AC,AE是△ABC的角平分线，交BC于点E,点D是AE上的一点，连接BD,CD,则

下列结论不一定正确的是（)

A.AE1BCB.ZABD=ZDBE

C.BD=CDD.BE=CE

6如图，在△ABC中、D是BC延长线上一点，满足CD=BA,过点C作CE〃AB,且CE=BC连接DE并延长，分别交

AC,AB于点F,G.

⑴求证:△ABg/XDCE;

(2)若BD=12,AB=2CE,求BC的长度.

易错点忽略两边一角中的角是两边的夹角这一特征而致错

7如图,AB=AC,AE=AD,要使△ACD0Z\ABE,需要补充的一个条件是)

C

B

D

A.ZB=ZCB.ZD=ZE

C.ZBAC=ZEADD.ZB=ZE

刷提升

1如图.AR=AC,AD=AE,/RAC=/DAE,/1=26o,/2=33。,连接RE,点D恰好在RF.上厕/3=()

A.60°B.59°

C.61°D.无法计算

2如图，在3x3的小正方形网格中，A,B,C,D均为格点，设NABC=a,NBCD邛,NBAD=Y，则a-0-y的值为

()

A.45°B.60°C.75。D.135。

3如图.在AABC中,NB=2NA,NACB的平分线CD交AB于点D,已知AC=16,BC=9,则BD的长为()

A.6B.7C.8D.9

(第3题图)(第4题图)

4如图.在四边形ABCD中.AB=20cm,BC=16cm,CD=24cm,NB=NC,点E为AB的中点.如果点P在线段BC上

以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，那么当点Q的运动速度为一

时，能够使ABPE与4CQP在某一时刻全等.

5如图(l),NABC=90o,FA_LAB于点A,D是线段AB上的点,AD=BC,AF=BD.

(1)DF与DC的数量关系为—，位置关系为一.

(2)如图Q),NABC=90。,点D在线段AB的延长线上,AD=BC,过点A在AB的另一«作AF_LAB.截取AF=BD,连

接DC,DF,CF,则⑴中结论是否成立?请说明理由.

A

图（1）图⑵

刷素养

6八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了数学探究，请你帮他们完成下列问题.

【探究与发现】

⑴如图（1）,AD是aABC的中线，廷长AD至点E,使ED=AD,连接BE,写出图中全等的三隹形:一.

【理解与应用】

（2）如图⑵,EP是4DEF的中线.若EF=5,DE=3,求EP长度的最大整数值.

（3）如图（3）,AD是4ABC的中线,AC是aABQ的中线,NBAC=/ACB,AB=BC,求证:AQ=2AD.

A

E小,

EDEQ

图（1）图⑵图⑶

4.3.3全等三角形的判定定理（角边角、角角边）

刷基础

知识点1用''角边角"角角边"判定两个三角形全等

I如图，已知^ABC的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC一定全等的三角形

是（）

ABZX

—8°72外4~a---X

CbA甲

658。50°\欣。\

aa

乙丙

A.只有乙B.只有丙

C.甲和乙D.乙和丙

2如图，已知NACB=NBDA,再添加一个条件：—_.就能使4ACB/ABDA4填一个即可）

cD

3[2025四川内江期末]如图点E,A,C,F在同一直线上,AB〃CD,AD〃BC,BEJ_AE,DFJ_CF、垂足分别为E,F,AE=C

F.

(1万出图中两对全等的三角形：

(2请从(1)中选择一对全等三角形进行证明.

知识点2"角边角“角角边”判定定理的应用

4如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学的知识画出了一个与书上完全一样的三角

形.他画图的依据是)

A.边角边B角边角

C角角边D.以上都不对

(第4题图)(第5题图)

5如图，王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可

以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,NACB=90。),点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合.则两堵木墙之

间的距离DE是)

A.IOcmB.15cm

C.20cmD.25cm

6如图，在RtZ\ABC和RtZXDEF中,NACB=NDFE=90o.D,C,F,B在同一条直线上，AB=DE且AB_LDE,若A

C=6,EF=4,CF=3,贝UBD的长为.

7如图，已知AD〃BC,点E是CD上一点,BF平分NABC交直线AD于点F,AE_LBF.

⑴求证:ZXABE丝△AFE;

(2)若AD=3,BC=8,求AB的长.

刷提升

1如图,AE_LAB且AE=AB,BC±CD且BC=CD,按照图中所标注的数据，可得图中实线所围成的图形的面积S

是（）

4

-tl-.JL

GCH

（第1题图）（第2题图）

2如图在4ACB中,NACB=9（）OAABC的角平分线AD与角平分线BE相交于点P.过P作PF_LAD交BC的延

长线于点F,交AC于点H.下歹I」结论:①NAPB=135。;②△ABPg^FBP;③NAHP=AABC+\/84C;④AH+FC=AB.

其中正确的是—.（填序号）

3如图,AD是AABC的角平分线,DE,DF分别是4ABD和4ACD的高.若AB+AC=8,Sz^c=24,则DE的长为_

BDC

（第3题图）（第4题图）

4如图，在4ABC中,NACB=90°,AC=7cm,BC=3cm,CD为AB边上的高，点E从点B出发,在直线BC上以2

cm/s的速度运动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F,当点E运动-s时,CF=AB.

5如图在AABC中、D是BC上一点,AD=CD,点E在线段AD上，连接CE,设NABC=a,NAEC呻.

（1）如图⑴，若AC=BC,CE平分/ACB.求a和0之间的数量关系;

（2）如图（2）,若点E在线段AD的延长线上，且a+p=180。,求证:AB=EC.

刷素养

6提出概念：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形.

问邈探究:

（1）如图（）△ABD与△ACD是偏等积三角形,AB=2,AC=6,且线段AD的长度为正整数，过点C作CE〃AB交A

D的延长线于点E,则AD的长度为

问题解决:

(2)如图(2),四边形ABED是一片绿色花园,CA=CB,CD=CE,NACB=ZDCE=90o(00<ZBCE<90°).AACD与AB

CE是偏等积三角形吗?请说明理由.

4.3.4全等三角形的判定定理（边边边）

刷基础

知识点1用''边边边"判定两个三角形全等

1如图所示,AABC中、AB=AC,EB=EC则由“边边边”可以直接判定（）

A.AABD^AACDB.AABE^AACE

C.ABDE^ACDED.以上都不对

（第2题图）

知识点2“边边边”判定定理的应用

2如图，小敏做了一个角平分仪ABCD其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与NPRQ的顶点R重合，调整A

B和AD.使它们分别落在角的两边上，过点A,C画一条射线AE,AE就是NPRQ的平分线.此角平分仪的画图原

理是（）

A.边边边B.边角边

C.角边角D.角角边

3如图，点E,F在BD上，且AB=CD,BF=DE,AE=CF,AC与BD交于点O,则下列说法不正确的是（)

A.BE=DFB.AAEB^ACFD

C.ZEAB=ZOAED.AE/7CF

（第4题图）

4如图，D为等腰三角形ABC内一点,AC=BC=BP,AD=BD,/DBP=NDBC,NC=62。,贝！J/BPD的度数为.

5如图，在四边形ABCD中,NB=/D=90。,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF,求证:CB=CD.

知识点3三角形的稳定性

6如图，已知长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是其四条边的中点，为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木

条不应钉在()

A.A,C两点处B.B.E两点处

C.G,F两点处D.E,G两点处

（第6题图）（第7题图）

7随着人们生活水平的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机携带方便，但缺点是没有固定的支

点.为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架，把手机放在上面就可以方便地使用手机，这

是利用了三角形的

4.3.5全等三角形的应用

刷基础

知识点1利用全等测距离

1如图，某校学生为测量点B到河对面的目标A之间的距离，在点B同侧选择了一点C,测得/ABC=70（\NA

CB=40。,然后在M处立了标杆，使NCBM=70。，为了得到A,B之间的距离，他们应该（）

A.测量BM的长

B.测量BC的长

C.测量NA的度数

D.先作NBCN=40。,交BM于点N,再测量BN的长

A

M

（第1题图）（第2题图）

2如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD-25n.乐乐在

荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=1.5m,点A到地面的距离AE=1.5m,当

他从A处摆动到A处时若AB_LAB,则A到BD的距离是

3综合与实践

【基础巩固】⑴如图⑴.已知AB与EF相交于点G,ZA=ZB,G是AB的中点，求证:△AEGgABFG.

【深入探究】（2）如图（2）,在⑴的条件下，过点E,F分别件ED±AG于点D,FC±BG于点C,若AD=DE.

①试判断4EDG与4FCG是否全等，并证明你的结论.

②当ED=5cm,CG=2cm时，求AB的长.

【拓展探究】（3）如图（3）,要测量河宽AH,因为无法到达河对岸的点A,所以在AH外任取一点G,在AH的

延长线上任取一点E,连接EG,HG,并且延长HG到点C,使GC=HG诞长EG到点F,使GF=EG、连接FC并延长到点

B.使点B,G,A在同一条直线上，若测量出BC=50m,则河宽AH=50m.请说明理由.

图⑴图⑵图（3）

知识点2利用全等测高

4在一次数学活动中，为了测一堵墙上点A的高度AM,嘉淇设计了如下方案:

第一步:找一根长度大于AM的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角/ABM

=55°;

第二步:使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得/MDC=）标记此时直杆的底端点D;

第三步:测量地面上线段_____的长度，即为墙上点A的高度.

若测得BM=5m,DM=7m,直杆卜滑的高度AC=m.

MBD

大招专题3全等三角形判定的常考模型

刷难关

母题学大招14平移模型

1如图点A,D,B,E在一条直线上,AC〃DF,BC〃EF,AC=DF,求证:AD=BE.

2如图（1）是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图⑵所示,AB=AE,AC=AD,NBAD=NEAC,NC=50。,求

ND的大小.

A

图（1）图⑵

母题学大招16“手拉手,、模型

3如图，已知AD=AB,AC=AE,NDAB=NCAE,连接DC,BE.

（1斌说明:△BAEgaDAC.

⑵若NCAD=125。,ND=20。,求/E的度数.

1在平面内,正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连接DE,BH,两线交于点M.求证:

(1)BH=DE.

(2)BH1DE.

母题学大招17一线三等角模型(K型)

5如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B,AD,BC表示两个工厂到河岸的距

离，其中E是进水口，D,C为两个排污口.已知AE=BE,/人£8=90。4口_1口(?出(23_»心点口上,(:在同一直线上人

D=150米,BC=350米，求两个排污口之间的水平距离DC.

子题练变式

6已知AB=AC,D,A,E三点者B在直线m上，且DE=9cm,ZBDA=ZAEC=ZBAC.

⑴如图(1),若AB_LAC,则BD与AE之间的数量关系为；

(2)如图(2),写出线段BD,CE与DE之间的数量关系并说明理由；

(3)如图⑶，将条件中“/BDA=ZAEC=NBAC”改为“NBDA=NAEC”,已知BD=EF=7cm,点A在线段DE上以

2cm/s的速度由点D向点E运动,同时点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，当x=时，能够

使aABD与4EAC在某一时刻全等.

母题学大招18半角模型

7【问题背景】如图(1),在四边形ABCD中,AB=AD,NBAD=12(r,NB=NADC=90o,E,F分别是BC,CD上的点，且

NEAF=60。,试探究图中线段BE,