2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义：第7题 函数解析式中的参变量-运动变化思想的应用（学生版+解析）

专题07函数解析式中的参变量•…运动变化思想的应用

（一题多变）

・优质典例*展示/〃

【典例展示】（23-24高一上・甘肃庆阳・期末）己知函数/々a（心。，且〃制）.

（1）若〃=；，求函数/㈤在［L4］上的最值；

（2）若函数/（x）在区间亿4）上单调递增，求实数。的取值范围.

【思路分析】本例第（1）问求复合指数函数的最值，应该首先判断复合函数的单调性,

利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”，得到函数在（1,2）上递增，在（2,4）上递减,

再根据单调性求xw［1.4］时的最值；

第（2）问，由于函数解析式中存在“参变量”，而内层函数的单调性相对明确，函数

y=ax2-2x+l-00」］上递减，在1、

一,+8上递增，因此，重点讨论外层函数的单调性和

ka)

定义域，分和0＜。＜1时求解参数的取值范围.

【精细解析】（1）当4时，/（x）=1|2，设』=5丁-2再1,

函数y=/（x）在（Y,2）上递减，在（2,+00）上递增，函数），=0在R上递减，

则函数/（力在（1,2）上递胤在（2,4）上递减，/⑴=夜："2）=2,/（4）=1,

所以当、小4］时，/（肛皿=/（2）=2,/（x）min=/（4）=l.

（2）函数y=a--2x+l在（YO，T）上递减，在（，位）上递增

当时，函数,，=优在R上递增，所以函数/（x）在卜孙上递减，在（\+8）上递增，

又L1,则函数“力在区间（2,4）上递增,故满足题意；

a

当0＜〃vl时，函数y=“'在R上递减，所以函数/（x）在,8,：）上递增，在（：,+8）上递

减,

又,>1,若需满足题意，则424,得

aa4

综上，〃的取值范围是（。，；］」（1，+8）.

【题后反思】

本题主要围绕复合指数函数求最值、根据函数的单调性求参数范围，由于解析式中含有参变

量，因此，关键点、也是易错点，就是要分类讨论a的不同取值，分别求解.事实上，岛中

数学中重点研究的三类函数，即疑函数、指数函数、对数函数的解析式中均含有参变量，在

探索暴函数、指数函数、对数函数的图像与性质时，参变量发挥着极为重要的作用，由于参

变量在特定取值范围内的变化，解题时，可运用运动变化的思想方法讨论处理其中的参变

量.在下面的变式及训练题中，将围绕寻函数、指数函数、对数函数中的参变量加以讨论.

【追根溯源】

1.嘉函数片其中a是有理数参变量，。工0

当〃=0（工工0）时，函数y=x"为常数函数丁=1（%工0）,其图像是平行于x轴的一条直线（除

去点（0」）），因而参变量〃=0是基函数的一个分界量.

当〃>0时暴函数），=x"的图像都过点（0,0）,（1,1）；在第一象限内是单调递增函数，此时〃=1

又是一个分界量.当%>1时，函数图像向下凸，。越大，其图像越靠近y轴；当Ovavl

时，函数图像向上凸，〃越小，其图像越靠近x轴.

当a<0时，晶函数），=/的图像都过点（1,1）；在第-象限内是单调递减函数，函数图像向上

与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近，此时。=-1也是一个分界量.当av-1,x<1

时，函数图像在曲线y的右边，。越小，其图像越远离曲线），=­：当x>l时，

函数图像在曲线丁=17的下方，a越小，其图像越靠近x轴，当工<1时，函数图

像在曲线.\，=力的左边.”越大，其图像越靠近y轴：当时.函数图像在

曲线），=一的上方，〃越天，其图像越远离曲线），=,「.在其他象限内图像的变化情况可根

据暴函数的奇偶性来讨论.

2.指数函数y=#中的参变量a（且awl）

a>0,保证y=优>0,其图像在x轴上方.

4=1,函数），=«，为常数函数y=l,其图像是平行于X轴的一条直线，可见4=1是指数函

数的一个重要分界量.

当时，指数函数），="的图像通过点（。/），向下凸，单调递增，。越大，在点（0,1）上

方，图像在y轴右边且越靠近y轴；在点（04）下方，图像在），轴左边，且越靠近x轴.

当Ovavl时，指数函数y=a'的图像通过点（0,1）,向下凸，单调递减.，越小，在点（01）

上方，图像在y轴左边，且越靠近），轴；在点（0,1）下方，图像在y轴右边，且越靠近》轴.

3.对数函数y=1呜%（、＞0）中的参变量a（。＞0且"1）

当。＞i时，对数函数），=%g〃Mx〉（））的图像通过点（1,0）,向上凸，单调递增，〃越大，在

点（1,0）上方，图像越靠近X轴；在点（1,0）下方，图像越靠近y轴.

当Ovavl时，对数函数y=log“x"＞0）的图像通过点（1,0）,向下凸，单调递减，。越小,

在点（1,0）下方，图像越靠近x轴，在点（1,0）上方，图像越靠近），轴.

■一题多变*变一

【变化角度】变复合指数函数为复合对•数函数，变根据单调性求参数为探究参数的存在性.

（2024高三•全国・专题练习）已知函数〃x）=log“（f-仃+4）（心0且〃工1）.

（1）当x«0,2）时，函数/（"恒有意义，求实数。的取值范围；

（2）是否存在这样的实数，，使得函数/（x）在区间［1,2］上为减函数，且最大值为1?如果

存在，试求出。的值；如果不存在，请说明理由.

【思路分析】本题第（1）问，xe（0.2）时，函数”X）恒有意义，即f-冰+4＞0在（0,2）上

恒成立，参变分离可得〃＜工+3在（。,2）上恒成立，令g|*）=x+3,x40,2）,利用导数说

XX

明函数的单调性，或利用“对勾函数”的性质，即可求出〃的取值范围：

第（2）问，函数”X）在区间［1,2］上有意义，则1-如+4＞0在［L2］上恒成立.由（1）同

法可得4«0」）D（1,4）,再分。«1，4）两种情况讨论，结合二次函数的性质、复合

函数单调性判断，建立混合组计算可得.

【详解】(1)当x«0,2)时，函数/(力恒有意义,

所以/一依+4>0在(0,2)上恒成立，

4、

即〃<x+—在(z0,2)上恒成立.

X

令g(x)=x+±,xe(O,2),

X

\4x24(x+2)(x—2)

・'XX

所以g(x)=x+3在(0,2)上单调递减，

所以g(x)>g⑵=4,所以a«4.

又〃>0且〃工1,所以。«0,l)U(l,4］.

(2)函数在区间［1,2］上有意义,

则V-at+4>0在［1,2］上恒成立.

由(1)同理可知，々£(0.1)51,4)，

乂函数/(力在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为1.

当aw(O,l)时，y=log「t为减函数,

则y=A2-ar+4>0且在［i,2］上单调递增,

41a<2

所以2,即,5,故不存在这样的实数

a=­

log“（5-"）=12

当ae(l,4)时，y=k)g“x为增函数,

则y=A-2-ax+4>0且在［i,2］上单调递减,

42a>4

所以2,即，5,故不存在这样的实数

a——

】og“（5-〃）=l2

综上，不存在这样的实数。，使得函数/(x)在区间［1,2］上为减函数，且最大值为1.

■一题多变*变二/〃

【变换角度】变根据函数的性质求参数范围，为根据不等式成立求参数范围.

已知(4-3)1<(1+2〃产,求实数a的取值范围.

【思路分析】本题是依据帚值大小求字母a的取值范围.所给不等式的背景是幕函数，可以

考查暴函数=也可以考查鼎函数),=/,但两者的求解方法是不同的，对于函数

),=］］来说，它在区间(-00,0)和(0,y)上都是单调递减的，由于图像不连续，必须分开讨

论.而对于函数),=/来说，由于图像连续且单调递增，可用解不等式的方法(数轴标根法).

【详解】解法一考查函数y=x］，由题意有如下情况:

a>3,

d-3>0,

1"

(i)1+2。>0,=>a>-—,=>cie0；

a-3>\+2a

a<-4

G<3,

a-3<0,

11

(ii)14-2ez<0,=a<,=a<4；

2

a-3>\+2a

a<-4

(iii)——<a<3.

2

综上,

11

解法二不等式(”_3>v(1+2〃)Wo<

a-31+2〃,

考查函数),=/,由此幕函数为R上的增函数.

11。+4

则有13<1+2“n(2a+l)(”3)<0=(a+4)(2a+l)("3)<。,

解不等式得。<-4或一;<〃<3,即aw(—8,-4)u

,一题多变*变三/h

【变换角度】变具体复合函数为抽象函数关系，通过判断函数的单调性、奇偶性，由不等式

成立求参数范围奠定基础.

(23-24高一上•广东深圳•期末)已知函数y=/(x)的定义域为R,对任意都有

f(x+y)=f(x)+f(y)f/(-1)=2,且当x>0时，/(x)<0.

(1)求/

(2)已知〃>0,且初Hl,若+l>0,求加的取值范围.

/I、

【思路分析】(1)赋值得到/(o)=o,进而得到了--J⑴；

\乙)

(2)利用定义法得到函数单调性及奇偶性，结合/卜］=1,得到不等式分

和〃>1两种情况，求出答案.

【详解】(1)令T=y=。得〃0)=〃0)+〃0),

.-./(0)=0,

令x=-l,y=l,得/(0)=/⑴+/(-1)=。，

-V(l)=-/(-I)=-2,

令x=>=-g,得/㈠)=/1；+/卜;)=2,

(2)任意为,占eR，设则々-X>。，

•.•x>0时，/(-r)<0,

・••/(/)=〃七一百+司)=/(七一%)十〃内)</(内)，

\/(x)是R上的减函数，

〃%+丁)=。(力+。(力中,令"T得〃力+/(-x)=f(o)=o,

故/(“为奇函数，

(2、

且/logw-+1>0,

91

则log,”.<3,

2io--44

当时，苏，则一>"尸，即机<入，故。

/〃2〃，399

2|7-4

当，〃>1时，闭*3<加3，则§〈阳2,即，〃>§,则"】>1：

(A\

综上，，"的取值范围为0,-D(l,+8)

V))

■一题多变*变四

【变换角度】给出分段函数，与函数的奇偶性、周期性以及对称性相结合，根据函数的零点

情况，利用数形结合思想求参数范围.

(23-24高一下.广西南宁•阶段练习)设函数“X)是定义在R上的奇函数，对任意xeR,

都有/(l—x)=/(l+x)，且当时，/(x)=2v-l,若函数g(x)=/(x)—log“(x+2)

(。>0且。工1)在(T7)上恰有4个不同的零点，则实数。的取值范围是

【思路分析】先由题意分圻出“X)性质，将零点问题转化为交点问题，再对•〃分Ovacl和

讨论，再找到临界位置，从而得到不等式组，范围即可.

【详解】・・・/(1+力=〃1一工)，则函数1(“关于直线”=1对称,

又•・•函数”力是定义在R上的奇函数，则〃l+x)=/(l-x)=-f(x-l),

即/(x+2)=-/(x),则/(X+4)=—/(X+2)=—[——(X)]=/(X),

故函数是以4为周期的周期函数，

XV/(x+2)=-/(-x-2)=-/(-x+2),EP/(x+2)+/(-x+2)=0,

故函数关于点(2,0)对称，

令g(力=/(%)Tog“(x+2)=0,则/(x)=log,(x+2),

原题等价于y=/(x)与广log,(K2)在(―1,7)上有4个交点，且)，=log〃(x+2)的定义域为

(-2,-KO),

当〃时，则若在(上个交点，则・

0<<1T7)4宣二解得。7,

i________________归....

：y=-\月0&(x+2)

x=-2

当〃>1时，则若在（一1,7）上有4个交点，则解得。>7,

综上”（吟卜亿位）.

故答案为：（o4）57，y）.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是将函数零点问题转化为两函数交点问题，再对。进行分

类讨论，作出符合题意的图象，找到临界位置，得到不等式组，解出即可.

・综合训练*提高/〃

（2024.宁夏银川•三模）

1.命题命题4：函数/（X）=1。&,（2-3）（4>0且〃*1）在（一00,3）上单调，则〃是4的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（2024.全国.模拟预测）

2.函数/（x）=log“（4x-a|T）在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.（0,1）52,+g）C.[4,+oo|D.（O,l）u[4,也）

（2024・广东广州•三模）

Y

3.函数……其中。>0且awl,若函数是单调函数，则〃的一个可

ar2-13x+31,x>2

能取值为.

（2004・湖南•高考真题）

4.若直线y=加与函数产M-的图象有两个公共点，则。的取值范围是,

（2024・上海松江•二模）

5.已知0＜。＜2,函数了二八"一+若该函数存在最小值，则实数。的取

2a",,x＞2

值范围是.

（23-24高一下•上海•期中）

6.已知事函数〃力=/-2吁3（""为为奇函数，且在区间（。,y）上是严格减函数.

⑴求函数y=/（x）的表达式；

⑵对任意实数XC,不等式/（工）V+4、恒成立，求实数/的取值范围.

专题07函数解析式中的参变量…•运动变化思想的应用

（一题多变）

・优质典例★展示//；

【典例展示】（23-24高一上・甘肃庆阳・期末）已知函数=（八。，且"］）.

（1）若〃求函数/㈤在Rd］上的最值；

（2）若函数在区间（2,4）上单调递增，求实数。的取值范围.

【思路分析】本例第（1）问求复合指数函数的最值，应该首先判断复合函数的单调性,

利用复合函数单调性的判断方法“同增异减''，得到函数/“）在（L2）上递增，在（2,4）上递减,

再根据单调性求xe口，4］时的最值；

第（2）问，由于函数解析式中存在“参变量”，而内层函数的单调性相对明确，函数

），=ad-2x+l在（TO,」）上递减，在（士+8］上递增，因此，重点讨论外层函数的单谑性和

Ia）J

定义域，分。>1和0<〃<1时求解参数的取值范围.

【精细解析】（1）当a=g时，设，=12_2力1,

函数y=，（x）在（F，2）上递减，在（2,位）上递增，函数），=『［在R上递减，

12,

则函数/（力在（1,2）上递增，在（2,4）上递减，."1）=应，/（2）=2,/（4）=1,

所以当〃=；，时，/⑴a=/（2）=2,/（x）min=/（4）=l

（2）函数y二姓?一21+1在-8,：）上递减，在（—,+<»）上递增

当时，函数），=相在R上递增，所以函数/（“在卜巴£|上递减，在（一,+8）上递增，

又上<1,则函数/（x）在区间（2,4）上递增，故满足题意；

a

当0<avl时，函数y在R上递减，所以函数/（x）在卜8,一）上递增，在+8）上递

减,

又,>1,若需满足题意，则424,得

aa4

综上，〃的取值范围是（。，；］」（1，+8）.

【题后反思】

本题主要围绕复合指数函数求最值、根据函数的单调性求参数范围，由于解析式中含有参变

量，因此，关键点、也是易错点，就是要分类讨论a的不同取值，分别求解.事实上，岛中

数学中重点研究的三类函数，即疑函数、指数函数、对数函数的解析式中均含有参变量，在

探索暴函数、指数函数、对数函数的图像与性质时，参变量发挥着极为重要的作用，由于参

变量在特定取值范围内的变化，解题时，可运用运动变化的思想方法讨论处理其中的参变

量.在下面的变式及训练题中，将围绕寻函数、指数函数、对数函数中的参变量加以讨论.

【追根溯源】

1.嘉函数片其中a是有理数参变量，。工0

当〃=0（工工0）时，函数y=x"为常数函数丁=1（%工0）,其图像是平行于x轴的一条直线（除

去点（0」）），因而参变量〃=0是基函数的一个分界量.

当〃>0时暴函数），=x"的图像都过点（0,0）,（1,1）；在第一象限内是单调递增函数，此时〃=1

又是一个分界量.当%>1时，函数图像向下凸，。越大，其图像越靠近y轴；当Ovavl

时，函数图像向上凸，〃越小，其图像越靠近x轴.

当a<0时，晶函数），=/的图像都过点（1,1）；在第-象限内是单调递减函数，函数图像向上

与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近，此时。=-1也是一个分界量.当av-1,x<1

时，函数图像在曲线y的右边，。越小，其图像越远离曲线），=­：当x>l时，

函数图像在曲线丁=17的下方，a越小，其图像越靠近x轴，当工<1时，函数图

像在曲线.\，=力的左边.”越大，其图像越靠近y轴：当时.函数图像在

曲线），=一的上方，〃越天，其图像越远离曲线），=,「.在其他象限内图像的变化情况可根

据暴函数的奇偶性来讨论.

2.指数函数y=#中的参变量a（且awl）

a>0,保证y=优>0,其图像在x轴上方.

4=1,函数），=«，为常数函数y=l,其图像是平行于X轴的一条直线，可见4=1是指数函

数的一个重要分界量.

当时，指数函数），="的图像通过点（。/），向下凸，单调递增，。越大，在点（0,1）上

方，图像在y轴右边且越靠近y轴；在点（04）下方，图像在），轴左边，且越靠近x轴.

当Ovavl时，指数函数y=a'的图像通过点（0,1）,向下凸，单调递减.，越小，在点（01）

上方，图像在y轴左边，且越靠近），轴；在点（0,1）下方，图像在y轴右边，且越靠近》轴.

3.对数函数y=1呜%（、＞0）中的参变量a（。＞0且"1）

当。＞i时，对数函数），=%g〃Mx〉（））的图像通过点（1,0）,向上凸，单调递增，〃越大，在

点（1,0）上方，图像越靠近X轴；在点（1,0）下方，图像越靠近y轴.

当Ovavl时，对数函数y=log“x"＞0）的图像通过点（1,0）,向下凸，单调递减，。越小,

在点（1,0）下方，图像越靠近x轴，在点（1,0）上方，图像越靠近），轴.

■一题多变*变一

【变化角度】变复合指数函数为复合对•数函数，变根据单调性求参数为探究参数的存在性.

（2024高三•全国・专题练习）已知函数〃x）=log“（f-仃+4）（心0且〃工1）.

（1）当x«0,2）时，函数/（"恒有意义，求实数。的取值范围；

（2）是否存在这样的实数，，使得函数/（x）在区间［1,2］上为减函数，且最大值为1?如果

存在，试求出。的值；如果不存在，请说明理由.

【思路分析】本题第（1）问，xe（0.2）时，函数”X）恒有意义，即f-冰+4＞0在（0,2）上

恒成立，参变分离可得〃＜工+3在（。,2）上恒成立，令g|*）=x+3,x40,2）,利用导数说

XX

明函数的单调性，或利用“对勾函数”的性质，即可求出〃的取值范围：

第（2）问，函数”X）在区间［1,2］上有意义，则1-如+4＞0在［L2］上恒成立.由（1）同

法可得4«0」）D（1,4）,再分。«1，4）两种情况讨论，结合二次函数的性质、复合

函数单调性判断，建立混合组计算可得.

【详解】(1)当x«0,2)时，函数/(力恒有意义,

所以/一依+4>0在(0,2)上恒成立，

4、

即〃<x+—在(z0,2)上恒成立.

X

令g(x)=x+±,xe(O,2),

X

\4x24(x+2)(x—2)

・'XX

所以g(x)=x+3在(0,2)上单调递减，

所以g(x)>g⑵=4,所以a«4.

又〃>0且〃工1,所以。«0,l)U(l,4］.

(2)函数在区间［1,2］上有意义,

则V-at+4>0在［1,2］上恒成立.

由(1)同理可知，々£(0.1)51,4)，

乂函数/(力在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为1.

当aw(O,l)时，y=log「t为减函数,

则y=A2-ar+4>0且在［i,2］上单调递增,

41a<2

所以2,即,5,故不存在这样的实数

a=—

log“（5-"）=12

当ae(l,4)时，y=k)g“x为增函数,

则y=A-2-ax+4>0且在［i,2］上单调递减,

42a>4

所以2,即，5,故不存在这样的实数

a——

】og“（5-〃）=l2

综上，不存在这样的实数。，使得函数/(x)在区间［1,2］上为减函数，且最大值为1.

rmi________________

E•一题多变*变二1h

【变换角度】变根据函数的性质求参数范围，为根据不等式成立求参数范围.

已知(4-3)1<(1+2〃产,求实数a的取值范围.

【思路分析】本题是依据帚值大小求字母a的取值范围.所给不等式的背景是幕函数，可以

考查暴函数=也可以考查鼎函数),=/,但两者的求解方法是不同的，对于函数

来说，它在区间(-00,0)和(0,也)上都是单调递减的，由于图像不连续，必须分开讨

论.而对于函数y=/来说，由于图像连续且单调递增，可用解不等式的方法(数轴标根法).

【详解】解法一考查函数y=x］，由题意有如下情况:

a>3,

d-3>0,

1"

(i)1+2。>0,=>a>-—,=>cie0；

a-3>\+2a

a<-4

G<3,

a-3<0,

11

(ii)14-2ez<0,=a<,=a<4；

2

a-3>\+2a

a<-4

(iii)——<a<3.

2

综上,

11

解法二不等式(”_3>v(1+2〃)Wo<

a-31+2〃,

考查函数),=/,由此幕函数为R上的增函数.

则有一'-<--=7-------------7<0=>(d7+4)(2i7+l)(a-3)<0

AJ1Ja-3\+2a(2a+l)(a-3)'八八，，

解不等式得4<-4或一;v3,即"(-oo,-4)u(一利.

,一题多变*变三m

【变换角度】变具体复合函数为抽象函数关系，通过判断函数的单调性、奇偶性，由不等式

成立求参数范围奠定基础.

(23-24高一上•广东深圳•期末)已知函数y=/。)的定义域为R,对任意x,ycR都有

f(x+y)=f(x)+f(y)f/(-1)=2,且当x>0时，/(x)<0.

(D求⑴；

(2)已知〃>0,且初Hl,若+l>0,求加的取值范围.

/I、

【思路分析】(1)赋值得到/(o)=o,进而得到了--J⑴；

\乙)

(2)利用定义法得到函数单调性及奇偶性，结合/卜］=1,得到不等式分

和〃>1两种情况，求出答案.

【详解】(1)令T=y=。得〃0)=〃0)+〃0),

.-./(0)=0,

令x=-l,y=l,得/(0)=/⑴+/(-1)=。，

-V(l)=-/(-I)=-2,

令x=>=-g,得/㈠)=/1；+/卜;)=2,

(2)任意为,占eR，设则々-X>。，

•.•x>0时，/(-r)<0,

・••/(/)=〃七一百+司)=/(七一%)十〃内)</(内)，

\/(x)是R上的减函数，

〃%+丁)=。(力+。(力中,令"T得〃力+/(-x)=f(o)=o,

故/(“为奇函数，

(2、

且/logw-+1>0,

91

则log,”.<3,

2io--44

当时，苏，则一>"尸，即机<入，故。

/〃2〃，399

2|7-4

当，〃>1时，闭*3<加3，则§〈阳2,即，〃>§,则"】>1：

(A\

综上，，"的取值范围为0,-D(l,+8)

V))

■一题多变*变四

【变换角度】给出分段函数，与函数的奇偶性、周期性以及对称性相结合，根据函数的零点

情况，利用数形结合思想求参数范围.

(23-24高一下.广西南宁•阶段练习)设函数“X)是定义在R上的奇函数，对任意xeR,

都有/(l—x)=/(l+x)，且当时，/(x)=2v-l,若函数g(x)=/(x)—log“(x+2)

(。>0且。工1)在(T7)上恰有4个不同的零点，则实数。的取值范围是

【思路分析】先由题意分圻出“X)性质，将零点问题转化为交点问题，再对•〃分Ovacl和

讨论，再找到临界位置，从而得到不等式组，范围即可.

【详解】・・・/(1+力=〃1一工)，则函数1(“关于直线”=1对称,

又•・•函数”力是定义在R上的奇函数，则〃l+x)=/(l-x)=-f(x-l),

即/(x+2)=-/(x),则/(X+4)=—/(X+2)=—[——(X)]=/(X),

故函数是以4为周期的周期函数，

XV/(x+2)=-/(-x-2)=-/(-x+2),EP/(x+2)+/(-x+2)=0,

故函数关于点(2,0)对称，

令g(力=/(%)Tog“(x+2)=0,则/(x)=log,(x+2),

原题等价于y=/(x)与广log,(K2)在(―1,7)上有4个交点，且)，=log〃(x+2)的定义域为

(-2,-KO),

当〃时，则若在(上个交点，则・

0<<1T7)4宣二解得。7,

当〃>1时，则若在(一1,7)上有4个交点，则解得。>7,

J隼

x=-2

：尸lo&(x+2)

综上”(吟卜亿位).

故答案为：(o4)57，y).

【点睛】关键点点睛：本题的关键是将函数零点问题转化为两函数交点问题，再对。进行分

类讨论，作出符合题意的图象，找到临界位置，得到不等式组，解出即可.

・综合训练*提高/〃

(2024.宁夏银川•三模)

1.命题命题4：函数/(X)=1。&,(2-3)(4>0且〃*1)在(一00,3)上单调，则〃是4的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据对数复合型函数的单调性，由命题4求出。的取值范围，再判断充分性和必要

性即可.

【详解】设1=2-⑪，则〃x)=log“(2-⑪可化为y=logj.

充分性：当0〈”1时，函数'=陛/在(7),3)上单调递减，1=2-火在(9,3)上单调递减,

且当0<〃<：时，r>0,〃x)=log"(2-a0(a>O,aNlj在(F,3)上单调递增，

当时，r<0,此时/")没有意义，故充分性不成立.

必要性：若y=log/在（F,3）上单调递减，则0＜"1,所以f=在（F,3）上单调递减,

2

且f=2-av＞0在（YO,3）上恒成立，所以2-3。＞0,得

所以当0＜〃＜（时，/（X）在（-8,3）上单调递增；

若y=bg/在（T0，3）上单调递增，则4＞1,所以1=2-or在（Y0,3）上单调递减，

且/=2-公＞0在（3,3）上恒成立，所以2-3。＞0,得不符合题意，舍去.

综上可知，当函数/（幻在（-00,3）上单调时，（）＜。＜：,因此必要性成立.

所以〃是4的必要不充分条件.

故选：B.

（2024•全国•模拟预测）

2.函数/（x）=bg“（x|x41）在口,2］上单调递增，则实数〃的取值范围是（）

A.（2,+a＞）B.（0,1）52,+8）C.［4,-HX）|D.（0,l）u［4,+a?）

【答案】C

【分析】根据对数函数与复合函数的单调性，可得内函数的单调性，利用其最值以及二次函

数单调性，建立不等式，可得答案.

【详解】令〃=耳］一4一1,则y=log“〃.

当a＞1时，y=log“〃在（0,+8）上单调递增，

则由复合函数的单调性可知〃=x|x-。|-1在［1,2］上单调递增，

且“二1卜一4—1＞0在口，2］上恒成立，

所以"min=|1-。|一।＞。，解得。＞2或4＜。（舍去）.

所以"=斗［一4一1=X（4T）-I=一/+奴-1在［1,2］上单调递增，

则会2,解得a".

当0＜a＜1时，y=logdU在（0,4-oc）上单调递减，

则由复合函数的单调性可知〃=工卜-4-1在［L2］上单调递减，

且〃=",一4_1＞。在［1,2］上恒成立，

35

所以kn=2|2—4—l>。，解得或（舍去）.

乙乙

所以〃=工,一4一1=工（工一〃）一1二42-3；一1在口,2］上单调递减，

则尹2,解得心4,与0<〃<1矛盾.

综上所述，«G［4,-KO）.

故选：C.

（2024•广东广州•三模）

3.函数小）="T个。，其中〃>0且"1,若函数是单调函数，则a的一个可

ar-13x+31,x>2

能取值为.

【答案】4（答案不唯一）

【分析】根据题意，/（同在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.

【详解】因为。>0且若函数是单调函数，结合二次函数可知：/（力在R上单调递

增，

a>1

1313

^-<2,解得

2a4

a2s4a+5

故答案为：4（答案不唯一）.

（2004.湖南・高考真题）

4.若直线y=