相交线【八大题型】（人教版）原卷版

专题7.1相交线【八大题型】

【人教版2024］

＞题型梳理

【题型1对顶角、邻补角的定义】................................................................1

【题型2对顶角相等】..........................................................................2

【题型3垂线的定义及画法】....................................................................3

【题型4垂线段最短】..........................................................................4

【题型5点到直线的距离】......................................................................5

【题型6垂直的实际应用】......................................................................6

【题型7垂直的计算】..........................................................................7

【题型8同位角、内错角、同旁内角】............................................................8

院举一反三1

知识点1:对顶角及其性质

两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角.

两直线相交，对顶角相等

【题型1对顶角、邻补角的定义】

［例1］（23-24七年级•广西钦州•期末）下面四个图形中，41与42互为对顶角的足（）

【变式1-1］（23-24七年级•河北保定•阶段练习）【真实问题情境】如图，为了测量古塔外墙底角心力。8的

度数，王明设计了如下方案：作4。，B。的延长线。0,0C,量出4C。。的度数，就得到了N40B的度数，王

明这样做的依据是

【变式1-2］（23-24七年级•广东中山•期中）如图所示，八8与C。相交所成的四个角中，/1的邻补角是

Z2的对顶角是.

【变式1-3]（23-24七年级•四川成都•阶段练习）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成对对顶

角.

【题型2对顶角相等】

【例2】（23・24七年级•全国•单元测试）如图,直线48与CD相交于点0,Z-A0C-2/.A0E=20°,射线OF平

分40E,若乙BOD=60°,则乙40F=.

【变式2-1]（23-24七年级•山东烟台・期末）若一个角的对顶角是它的补角的%则这个角的度数为.

【变式2-2]（23-24七年级•全国•期中）如图，直线48、CD、EF相交于点O,的对顶角是,40F

的邻补角是.若N/10C:4/0E=2:3,Z.EOD=130°,则乙40C=,乙BOC=

【变式2-3]（24-25七年级•全国•课后作业）如图,直线48、C0交于点。,0E、。户分别在480C、乙AOD内

部，且0D平分NBOF.

⑴乙4。。的对顶角是；

（2）若480F=40。，Z.COE=100°,则乙80E的度数为；

（3）若。8平分々EOF*,LAOC,LAOF=1:3,求4COE的度数；

（4）若乙40£—乙召。尸，^LBOE=60°,判断是否平分乙EOF,并说明理由.

知识点2：垂线

如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线

叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直.

【题型3垂线的定义及画法】

【例3】（24-25七年级•全国•课后作业）如图，直线48与直线CD相交于点O,则下列条件不能判断48_LCD

的是（）

D

A.Z.AOC=乙BODB.Zi40C=90°

C.Z.AOC=Z.BOCD.Z.AOC+Z.BOD=180°

【变式3-1]（23-24七年级•全国•单元测试）如图，己知ON1LOM1I,所以OM与。N重合，这个推理的

根据是（）

M、

N.

oL

A.过一点只能作一条垂线

B.过两点只能作一条垂线

C.垂线段最短

D.经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

【变式3-2]（23-24七年级•陕西宝鸡•期中）如图，正方形网格的格点P在“03的边08上，点40,B也

是格点，请利用网格完成卜面画图：

⑴过点P画OB的垂线，交OA于点C,经过的一个格点记为F；

⑵过点P画。力的垂线，垂足记为H；

⑶试判断线段OC,OP,PH的大小关系并说明判断的依据.

【变式3-3]（23-24七年级•河北邯郸•阶段练习）利用三角尺或量角器判断，图中的两点所成的直线能与直

线/垂直的是（）

M・N.

A.点M和点NB.点P和点QC.点M和点QD.点N和点尸

知识点3：垂线段最短

过直线1外一点P作1的重线，垂足为O,线段PO叫作点P到直线的垂线段.

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

【题型4垂线段最短】

【例4】（23-24七年级•山东济宁•阶段练习）如图，△ABC中，LACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,

P为直线48上一动点，连接PC,则线段PC的最小值是（）

A.4.4B.5C.4.8D.4

【变式4-1]（24-25七年级•黑龙江哈尔滨•期中）如图，欲在河岸48上某处0点修建一水泵站，将水引到

村庄。处，可在图中画出CP垂直山工垂足为P,然后沿CP铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依

据是：.

APB

【变式4-2］（23-24七年级•山东烟台•期末）请列举一个应用“垂线段最短”的实际例

子：•

【变式4-3］（24-25七年级•广西南宁•开学考试）点A是直线/外一点，点8是直线/上一点，点A到/的

距离为3cm,则力B3cm.（填"小于""大于""不小于"或"不大于"）

知识点4:点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离.

【题型5点到直线的距离】

【例5】（23-24七年级•山东济宁,阶段练习）如图，点P是直线年卜的一点，点在直线I上，且PB11,

垂足是点_LPC,则下列判断不正确的是（）

A.线段PB的长是点尸到直线i的距离B.PA,PB,PC三条线段中，PB最短

C.线段"的长是点八到直线PC的距离D.线段PC的长是点C到直线P力的距离

【变式5-1］（23-24七年级•福建艮门・期末）如图所示，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（）

B.3条C.4条D.5条

【变式5-2］（23-24七年级•浙江台州•期末）对于平面上的点P和一条线八点尸与线I上各点的连线中，最短

的线段的长度叫做点P到线，的距离，记为d（P,以边长为6的正方形48co各边组成的折线为，，若

d（P,0=2,则满足这样条件的所有P点组成的图形（实线图）是（）.

【变式5-3］（23-24七年级•福建厦门・期末）如图,AB,CO交于点0,OE_LCD于连接CE.

(1)若乙40c=25。，则iB0E=；

(2)若0C=2cm.UE=1.5cm,C"=2.5cm,那么点打到直线G"的距离是cm.

【题型6垂直的实际应用】

【例6】（23-24七年级•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图是光的反射定律示意图，P0,0Q,0M分别是入射

光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于

入射角）.若NP0M=24P0B,则〃0Q的度数为（）

【变式6-1］（24-25七年级•全国•课后作业）当光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多.某一

时刻太阳光的照射角度如图所示，要使此时接收的太阳光能最多，那么太阳光板绕支点4顺时针旋转的最

小角度为.

太阳光

【变式6-2］（23-24七年级•福建龙岩・期末）一束光线沿4。射向平静透明的水面BC,这束光线有一部分经

过水面反射（平静的水面可以看成平面镜）形成光线。。，还有一部分光线折射到水中形成光线。E.当入射

角a和折射角。满足2a=3夕时，0D10E,此时入射光线与水质的夹角乙4。8的度数为.

【变式6-3］（2024•湖南长沙•模拟预测）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关科技的重要文献，书

中记载了我国占代学者在科技领域做过的一些探索及成就.如图1中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，

则见四邻矣〃，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上：反

射光线和入射光线位于法线的两侧：反射角等于入射角〃.为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，在

如图2所示的井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角=50。时，要使太

阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角（）

图I图2

A.70°B.75°C.80°D.85°

【题型7垂直的计算】

[例7]（24-25七年级•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，直线48、CD相交于点O,OE1CD于点O,^AOE=

60%则480C的度数为（）

A

A.135°B.145°C.150°D.125°

【变式7-1]（23-24七年级•四川成都•阶段练习）如图,直线力B、CD相交于点。，OE平分乙BOC,8107于

O,若2400=80°,则zCOF=.

【变式7-2]（24-25七年级•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图1,点。为直线AB上一点，过点。作射线。C,

使乙4。。=60。，点M在射线。8上，射线ON在直线48的下方，且0M1ON.

ccMCM

D

ABABAB

O=1M~OO

-NN

N

图1图2图3

（1）将图1中的NMON绕点。逆时针族转至图2,使射线0M在28。。的内部井怡好平分N80C,求4C0/V的度

数.

⑵在（1）的条件下，反向延长射线ON得到射线。0,如图3所示，判断射线。。是否平分4/OC,请说明理

由.

⑶将图1中的4MON绕点。按每秒20。的速度沿顺时针方向旋转•周，在旋转的过程中，第，秒时，ON边所

在的直线恰好平分锐角乙40C,则/的值为秒.（直接写出答案）

【变式7-3］（24-25七年级•全国,课后作业）如图，已知锐角画射线。C1.。4,射线。。1。8,并

直接写出N40F与NC。。的关系.

备用图备用图备用图

知识点5：同位角、内错角、同旁内角

两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角口L做同位角.

两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角口L做内错角.

两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.

【题型8同位角、内错角、同旁内角】

【方法技巧】（1）两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角,2对内错角,2对