与平行四边形有关的折叠问题（专项训练）-浙教版八年级数学下册（解析版）

专题01与平行四边形有关的折叠问题（举一反三专项训练）

【新教材浙教版】

■题型归纳

【题型1折叠平行四边形求角度】.................................................................1

【题型2折叠平行四边形求线段长度】.............................................................5

【题型3折叠平行四边形求面积】................................................................11

【题型4折叠平行四边形求周长】................................................................16

【题型5折叠平行四边形求最值】................................................................19

【题型6折叠平行四边形进行证明］.............................................................24

【题型7折叠构造平行四边形求值】.............................................................30

举一反三

【题型1折叠平行四边形求角度】

【例1】（24-25八年级下•江西赣州•期末）如图，在团力风力中，E为BC边上一点，沿DE将四边形翻折

得到四边形。GF£若DC平分乙EDG,且4BEF=60。，则的度数为.

【答案】45°

【分析】本题考杳了平行四边形的性质以及折置的性质，延长OE至点M,通过平行关系求出N40E,再利用

互补得到NOE&4EOC,最后根据同旁内角互补即可求.

【详解】延长。E至点M

•••沿DE将四边形翻折得至IJ四边形DGFE

Z.ADE=乙EDG,乙BEM=乙MEF=^BEF=30°,

•.TBCD是平行四边形，

•••4D和BC平行,A8和DC平行，

•••力。和8C平行

乙DEC=Z.ADE=30°

•••DC平分/EDG

1

:.乙EDC=Z-CDG=-/.ADE=15"

乙

zC=180°-乙DEC-乙EDC=135°

•.•力B和DC平行

:.LB=18UU-ZC=45u

故答案为:45°.

【变式1-1】如图，在团力BCD中，乙4=40。，AD=BD,将△BCD沿对角线BD翻折，点C的对应点为点凡DF

交48于点E,则的度数是.

【答案】80780®

【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握相关的知识.由

平行四边形的性质得=4力=40。，匕ABC=140。，由等边对等角得11kA8。=4A=40。，由折叠的性

质可得：LDBF=^LDBC=100°,zF=zC=40°,最后由三角形的内角和，即可得解.

【详解】解：•.•在包48CD中，44=40°,

LC=Z-A=40°,ADWBC,

:.乙ABC=180°-Z/4=140°,

,:AD=BD,

:.LABD=z/l=40°,

••・LCBD=乙ABC-Z,ABD=140°-40°=100°,

由折叠可得：/-DBF=Z.DBC=100°,zF=ZC=40°,

•••乙EBF=乙DBF-乙ABD=100°-40°=60°,

••・LBEF=180°-Z.F-乙EBF=180°-40°-60°=80°,

故答案为:80°.

【变式1-2］（24-25八年级下•宁夏中卫•期末）如图，将团A8C0沿对角线AC翻折，点8落在点E处，CE交40于

点F,若NB=80°,iACE=24ECD,则乙BAC的度数为.

【答案】60°/60®

【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质是关键.

根据平行四边形的性质得到=180°-Z.D=100°,由折叠得到/BCA=Z.ECA,结合题意得到乙BCA=

20%根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】解—：团四边形A8CD是平行四边形，

团48=CD,AD=BC,AB||CD,BC||AD,Z.B=40=80°,

0ZFCD=1800-ZD=100°,

回折叠,

^ABCA=AECA,

0ZFC71=2/.ECD,

回设乙EC。=x,Z.ECA=2x=Z.BCA,

^LBCA+Z.ECA+乙ECD=5x=100°,

解得，％=20。，

^Z.BCA=40°,

在AABC1^,Z.BAC=180°-Z.B-Z-BCA=180°-80°-40°=60°,

故答案为：60。.

【变式1-3］如图，在见48CD中，E是4。边上一点，将△48E沿8E翻折得到△48E,延长£4'交8。的延长线

于点立连接若6E=CF,/尸=20。，则iBCE=度.

【答案】30

【分析】根据平行四边形的性质得出乙DEF=20°,由折叠可知，乙4E8=LA'EB=80。,进而推出/BE尸=80°,

4E3b=8。"，则=EF="M=EM,以“为边构造等边三角形"M,连接CM,通过证明^CFM

ESF(SAS),得出乙8/E==20°,4MC尸=NE8尸=80°,CM==EM,进而得出々MCE=70。，最

后根据N8CE=180°-乙MCE-乙MCF,即可解答.

【详解】解：团四边形力BCO是平行四边形，

^AD\\BC,

团乙CFE=20°,

回/DEF=20°,

由折叠可知，LAEB=4AEB=3180。-Z.DEF)=80°,

(3ZBEF=180°-/,AEB-乙DEF=80°,

0ZEFF=180°-乙CFE-乙BEF=80°,

0FF=EF=FM=EM,

以EF为边构造等边三角形EFM,连接CM.

0ZEFM=Z.EMF=Z.MEF=60°,EF=FM,

0ZCFM=LCFE+乙EFM=80°,

在么CFM和AEB尸中，

BE=CF

Z.CFM=乙BEF,

EF=FM

0ACFM三^E^F(SAS),

⑦乙BFE=Z.FMC=20°,ZMCF=乙EBF=80°,CM=BF=EM,

0ZEMC=Z.EMF-Z.FMC=40°,

团4MCE=1(180°-zEMC)=70°,

团/BCE=180°-Z.MCE-4MCF=30°,

故答案为：30.

M

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定

和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，等腰三角形，利用相关性质解答.

【题型2折叠平行四边形求线段长度】

【例2】如图，在菱形488中，点E,少分别在48,8C上，沿“翻折后，点8落在边上的G处，若EG1CD,

BE=4,DG=3,则4E的长为

【答案吗

【分析】此题重点考杳菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形MJ判定与性质、勾股定理等知识，正确地作

出所需要的辅助线是解题的关键.

作8H1CO交0C的延长线于点H,因为EG1CD,所以||EG,由四边形48。。是菱形，得48||CD,AB=

BC=CD,则四边形8KGH是平行四边形，所以GH=BE=4,由折叠得GE=8E=4,则8H=GE=4,所

以DH=DG+GH=3+4=7,曰勾股定理得42+(7—超/=4“求得AB=§所以AE=4B-BE=

*_4=5，于是得到问题的答案.

1414

【详解】解：作8H_LC0交0C的延长线于点〃，则2"=90。,

0FW||EG,

田四边形48CD是菱形，

回力B||CD,AB=BC=CD,

国BE||GH,

团四边形BEG”是平行四边形，

BGH=BE=4,

由折叠得GE=BE=4,

=GE=4,

WG=3,

=DG+GH=3+4=7,

22

回B，2+CW=BC,CH=7-CD=7-AB,

042+(7-AB)2=AB2,

解得48=1

14

^\AE=AB-BE=--4=-,

1414

故答案为：2

14

【变式2-1］如图，在菱形ABCD中，点E,尸分别在A8,BC上，沿EF翻折后，点8落在边CD上的G处，若

EGLCD,BE=8,DG=6,则4E的长为.

【答案】，埒

【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知以，正确地作

出所需要的辅助线是解题的关键.

作BH1CO交。C的延长线于点H,因为EG1CD,所以8H||EG,由四边形为BCD是菱形，得AB||CD,AB=

BC=CD,则四边形BEG”是平行四边形，所以GH=BE=8,由折叠得GE=BE=8,则8H=GE=8,

所以DH=OG+GH=14,由勾股定理得82+(14-48)2=45，求得.=半，所以=

「是得到问题的答案.

【详解】解：作8HJ.C。交0c的延长线于点“，则NH=90。，

||EG,

(3四边形力叱。是菱形，

134B||CD,AB=BC=CD,

团BE||GH,

团四边形BEG”是平行四边形，

团GH=BE=8,

由折叠得GE=BE=8,

ISBH=GE=8,

团OG=6,

MH=DG+GH=14,

由BH2+CH2=BC2,CH=14-CD=14-AB,

1382+(14-48)2=482,

解和48=y,

团力£=力8—3£=处-8二2,

77

故答案为：:

【变式2-2］如图，在平行四边形48CD中，点E为AD边的中点，将AABE沿BE翻折，得到△/BE,连接DF并

延长交BC于点G,若BE=4。=3,平行四边形力8C。的面积为6,则FG=.

【答案】3-V5

【分析】本题主要考杳了翻折变换，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关

键.根据题意得到力E=EF/AEB=4/EB,证明四边形8EDG为平行四边形，连接力广交BE于从则力H1BE,

AH=HF,根据勾股定理求出而，即可得到答案.

【详解】解：•••将AABE沿BE翻折，得到AFBE,

•••AE=EF,Z.AEB=乙FEB,

:.Z/1EF=1(18O0-ZDEF),

•••E为4。边的中点，

:.AE=DE,

:.DE=EF,

:.Z.EDF=乙EFD,

zEDF=1(180°-zDFF),

•••Z.AEB=Z.EDF,

:.BEWDG,

•••四边形/BCO是平行四边形，

DEWBG,

四边形3E0G为平行四边开会

:.DE=BG,DG=BE=3,

•••四边形力BCD是平行四边形，AE=DE,回4BCD的面积等于6,

••』的=设平.行四边形制。=也连接"＜交BE于"，则为H18E，AH=HF,

•:BE=3,

­■AH=1,

•.AF=2,

•••明IDG,

AF'1DG,

；.DF=y/AD2-AF2=V32-22=倔

:.FG=DG-FD=3-病

【变式2-3】已知氏4BG）中，ZF=30°,AB=2A/3,BC>AB,将△48C沿直线4c翻折，点B落在点E处，AD

与CE相交于点0,若△力DE是直角三角形，那么边BC=.

【答案】6或4

【分析】由平行四边形的性质可得AC||8C,AB||CD,AB=CD,AD=CB,

由折叠的性质可得:BC=CE,AE=AB,分两种情况:当乙区4。=90。时，延长£4交BC于G；当乙4E。=90°

时；分别求解即可得出答案.

【详解】解：回四边形A8C。是平行四边形，

SADIIBC,AB||CD,AB=CD,AD=CB,

由折叠的性质可得：BC=CE,AE=AB<AD,

如图，当/区40=90。时，延长瓦4交BC于G,

团4D=BC,BC=EC,

^AD=EC,

^AD||BC,LEAD=90°,

团4£GC=90°,

=30°,AB=2®

^£AEC=30%

^GC=^EC=^BC,

22

0点G是8C的中点，

在Rt/k/lBG中，AG=^AB=>/3,

回BG=y/AB2-AG2=3,

团BC=2BG=6；

如图，当4力EO=90。时，

则RE=CD,

在A/1CE和△C4C中，

(AE=CD

\CE=AD,

[AC=CA

^ACE三△CAO(SSS),

0zFCi4=Z.DAC,Z-AEC=Z.CDA<

WA=OC,

团OE=OD,

^Z-OED=Z-ODE,

回N4EO=Z.CDE,

0Z4ED=90°,

团乙CDE=90°,

。4£||CD,

团48||CD,

团点3、A、E在同一直线上，

团乙84c=Z.EAC=90°,

在Rt△4BC中，48=30°,AB=2>[3,

助c=2

^AC2+AB2=BC2,

BAC=2,BC=2AC=4,

综上所述，当△A七."是直角三角形时，8（；的长为6或4,

故答案为：6或4.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、含30。的直角三角形的性

质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键.

【题型3折叠平行四边形求面积】

【例3】如图，在平行四边形ABC。中，48=6,沿对角线AC翻折，点8的对应点为夕，B'C与AD交于点E,

此时△CDE恰为等边三角形，则重叠部分（即图中阴影部分）的面积为.

【答案】竽

【分析】题目主要考查平行四边形的性质及等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理蟀三角形，理

解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键.

根据平行四边形的性质得出48=60=6,再由折叠的性质及等边三角形的性质确定△AB上是等边三角形,

然后利用勾股定理得出CH=苧，，即可求解.

【详解】解：0在平行四边形ABCD中,18=6,

回=CD=6>

由翻折可知48==6,

（HACDE恰为等边三角形，

回4D=乙DEC=60°,

自在平行四边形力BCD中，ABWCD,

^B'AE=△。=60°,

=乙CED=60°,

团△力夕E三△OCE(AAS),△AB'E是等边三角形,

团AE=AB1=DE=6,

团阴影部分的面积和△CDE的面积相等，

在公玩北中，过点C作C，_LEO交DE于点H,

团乙D=60°,ED=6»

WH=3,

团CH=yJDE2-DH2=察

2

05sx6x¥=络

222

故答案为：竽.

【变式3-1］如图所示，在平行四边形4BCD纸片中，ACLAB,4c与8D相交于点。，将aABC沿对角线AC翻

折得到△/!夕C,若四边形48CD的面积为12cm2,则翻折后纸片重叠部分的面积是—.

【答案】3cm2/3平方厘米

【分析】根据平行四边形的性质以及已知条件求证出四边形4C0B，是平行四边形，进而求出四边形4C0e是

矩形；根据矩形的性质以及平行四边形的性质求出△4C0的面积，因为△4EC和△EOC可以看作是等底等高

的二角形,得出S^AEC=3s△ACD=3cm2.

【详解】解：回四边形ABC。是平行四边形，

^ABWCD,AB=CD,

团△AB'C是由△4BC翻折得到的,AB1ACf

团4B=4B',点A、B、夕在同一条直线上，

团4夕|畋

回四边形ACD9是平行四边形.

团4B1AC,

^/.BAC=Z-BrAC=90°,

团四边形4CDB'是矩形，

I34E=DE,

回S“EC=S&DEC=2S"CD»

团SAACD=2S平行四边形488,

团5少壮=1S平行四边形.CD=[x12=3(cm2).

故答案为：3cm2.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、三角形面积公式，明确AAEC和AEDC可以看

作是等底等高的三角形是解题的关键.

【变式3-2］如图，将a/IBCD沿对角线4C翻折，点8落在点E处，CE交力D于点F,若力。1CE,CF=2,DF=1,

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根据平行四边形的性质和折叠证明△力三△CDF(AAS)即可得到"二EH=1,进而得到CE=

BC=AD=3,再根据平行四边形的面积公式计算即可求解.

【详解】解：•••四边形A8。。为平行四边形，

•••AB=CD,AD=BC,乙E=Z.D

vAD1CE,

•••/DFC=乙AFE=90°,

根据折叠的性质可得，AB=AE=CD,BC=CE,

0△/IFF^ACDFCAAS),

0DF=EF=1,

0CF=2,

团CE=CF+EF=3,

0CF=BC=AD=3,

•••Sj)A8CD=BC♦C尸=3x2=6.

故选：D.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是

解题关键.

【变式3-3](24-25八年级下•江苏常州•期中)在团/WCD中，43=6,BC=13,乙A3C是锐角.将CO沿直

线；翻折落在直线A8上，C、。的对应点分别是C'、DI若AC'=L则团48CD的面积是.

【答案】72或12同

【分析】本考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质等新识，判断=90。是解题的关键，分

L在线段4。上；C，在线段AC延长线上，两种情况讨论即可.

【详解】解酿四边形"CD是平行四边形，

物1BIICD,

当e在线段AC上时，如图，连接CN

^BC1=AB-ACf=5,

13折叠,

团CE=C'£,且力B与EF,CD与之间的距离相等,

过E作EG_L48,并反向延长交CD于“，

则EG=EH,EH1CD,

又乙BEG=乙CEH,乙BGE=乙CHE=90°,

(SABEG=△CEH,

05E=CE,

0CF=C'E=BE,

WBE=/.BCE,乙ECU=乙EC'C,

又乙C'BE+乙BUE+乙ECU+Z-EC'C=180°,

^CE+Z.CCE=90°,即ZBC'C=90%

MU=y/BC2-BC,2=12,

团即1BCO的面积是6x12=72：

当C，在线段AC延长线上时，

如图，连接C'E

^AB=6,AC1=1,

团BC'=43+AC'=7,

团折叠，

团CE=C'E,且力8与£兄G)与£7之间的距离相等,

过E作EG148,并反向延长交CD于”，

则EG=£77,EH1CD,

又乙BEG=乙CEH,Z.BGE=/-CHE=90°,

RABEG=△CEH,

^BE=CE,

^CE=C'E=BE,

团4C'BE=乙BC'E,乙ECC'=乙EC'C,

又乙CBE+乙BCE+乙ECC+乙EC'C=180°,

©乙BUE+乙CUE=90°,即4BC'C=90。，

MC，=y/BC2-BC,2=2A/30,

配LWCD的面积是6x2同=12V30；

综上，团力BCD的面积是72或12回，

故答案为：72或12回.

【题型4折叠平行四边形求周长】

【例4】（24-25九年级上•黑龙江大庆•月考）如图，点E、尸分别是0的边4。、8。上的点，EF=3,

ZDEF=60°,将四边形E/CD沿EF翻折，得四边形EF。'。'，ED咬BC于点、G,则△GEF的周长为（）

A.12B.11C.10D.9

【答案】D

【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定，根据平行四边形的性质得到

AD||BC,由平行线的性质得到〃EG=乙EGF,根据折叠的性质得到NG"=乙DEF=60°,推出△GEF是

等边三角形，于是得到结论.

【详解】解：回四边形718。。是平行四边形，

团4。||BC,

团乙AEG=乙EGF,

团将四边形EFCD沿E”翻折，得到EFC'D',乙DE"=60°,

（3NGEF=乙DEF=60°,

^AEG=60°,

I3ZEGF=60°,

0AGEF是等边三角形，

0EF=3,

（HAGEF的周长=9,

故选：D.

【变式4-1】如图，在包4BCD中，点E在边4。上，以BE为折痕，将△4BE向上翻折，点A正好落在CD边上的

尸点处，若△/DE的周长为14,△尸C8的周长为22,则FC的长度为（）

A.4B.6C.5D.3

【答案】A

【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质；根据折叠的性质将平行四边形的周长与△FC8

的周长进行转化是解决问题的关键.根据折叠的性质可得“=4E、BF=AB,从而山IBS的周长可转化

为：△尸。七的周长+2\/<8的周长，求出+再由△FCB的周长为22,求出尸C的长，即可求解.

［详解］解：由折叠的性质可得E5=AE.BF=AB,

团机的周长=DF+FC+CB^-BA+AE+DE=△FDE的周长+△FCB的周长=14+22=36,

团四边形ABC。为平行四边形，

西8+BC=18,

0A尸CB的周长=CF+BC+BF=CF+BC+AB=22,

即FC+18=22,

0FC=4.

故选:A.

【变式4-2］如图，在三角形ABC中，点。在力8上，点£在上，将△4DE沿直线DE翻折，连接CF,Z）F向

右平移若干单位长度后恰好能与边8。重合，若四边形8CFD的展长为22,贝必8的长为.

【分析】根据平移得出DF=BC,DF||BC,证明四边形5CFD为平行四边形，得出。户=80,根据折叠的性

质可得，AD=DF,求出80+OF=11,+AD=AB=11.

【详解】解：团。户向右平移若干单，'立长度后恰好能与边BC重合，

0DF=BC,DF||BC,

团四边形8CFD为平行四边形,

^CF=BD,

根据折叠的性质可得，AD=DF,

团四边形8c/。的周长为22,

05D+BC+CF+DF=2BD+2DF=22,

0FD+DF=11,

回AD=DF,

^1BD+AD=AB=11.

故答案为：11.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠

和平移的性质，得出CF=3D,AD=DF.

【变式4-3】如图，在mABCO中，4C与8。相交于点0,^AOB=60°,AC=6,BD=8,将△ABC沿直线翻

折后，点3落在点K处，联结ED,那么四边形AEOC的周氏=.

BC

【答案】2/13+10

【分析】过点B作5尸J.71C于点巴连接。&CE,先根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可得CD=

AB=g,再根据折叠的性质可得AE==g,08=0E=4,LAOE=^AOB=60°,然后根据等边

三角形的判定可得△是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OE=00=4,最后根据四边形的周长

公式即可得.

【详解】解：如图，过点B作B/l4c于点F,连接ORCE,

国在团ABC。1」，AC=6,BD=8,

OA=-AC=3,OB=OD=-BD=4,AB=CD,

22

回在RtZk80F中，乙AOB=60°,(OBF=30°,

...OF=^OB=2.BF=>JOB2-OF2=2百，

:.AF=OA—OF=1,

...CD=AB=>/AF2+BF2=V13,

由折叠的性质得：AE=AB=底,OB=OE=4t^AOE=乙4OB=60°,

:.OD=OE=4,4OOE=60°,

••.△DOE是等边三角形，

ADE=OD=4,

则四边形AECC的周长为AE+DE+CD+4C=g+4+g+6=2m+10,

故答案为：2VH+10.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理.、平行四边形的性质、折叠的性质等知识点,

熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题关键.

【题型5折叠平行四边形求最值】

【例5】如图，在见4BCD中，NB=60。，AB=2,BC=4,P是力8边的中点，Q是BC边上一动点，将△BPQ沿

PQ所在直线翻折得到△夕PQ,连接"。，则夕。长度的最小值是.

【答案】VH-1/-1+VH

【分析】如图连接PD,过点P作GP1D4交04的延长线于点G,首先求出线段47、GP的长度；运用勾股定

理求出PO的长度，根据三角形三力关系即可解决问题.

【详解】解：如图连接PD，过点P作GPJL04,交ZX4的延长线于点G,

回四边形为平行四边形,

WA||BC,BA=CD=4,

回点P为BA的中点，48=60。，

团AP=P8=1,/.GAP=Z.B=60°,

必PG=90°-60°=30。，

团AG=-,GP=yjDE2-DG2=—,

22

1218。=AD=4,

9

WG=-

2

回OP=y/GP2+DG2=VH,

团B'D<DP-B'P

回点夕在。P上时，三点共线，此时夕。的长度最小，

团8'。长度的最小值=。「-8?二加1一1.

故答案为：V21-1.

【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，最短路径等知识，解题关键是恰当作辅助线,

将分散的条件集中；灵活运用平行四边形的性质、勾股定理等几何知识点来分

【变式5-1】如图，包48CD中，AB=AC=6,Z-BAC=90°,对角线AC与BD交于点。，点P在48边上，且P8=

2PA,点Q为8c边上一动点，将APBQ沿直线尸Q翻折，使得点8落在点"，连接。夕，则0e长的最小值为（）

A.1.5C.2V10-4D.4-V13

【答案】D

【分析】连接OP，先求出P歹和OP,当点尸、。、夕三点共线，且点O在线段。夕上时，从而得出0夕的最小

值，即P8'-0P.

【详解】解：连接。尸，

(3PB=-3AB=4,3PA=-AB=2,

向由折叠的性质得：PBf=PB=4.

又昭团ABC。中,AC与8。互相平分,AC=6,

(340=-AC=3,

2

又由匕84C=90°,

团OP=>JPA2+AO2=y/22+32=V13,

所以当点P、O、夕三点共线，且点O在线段P夕上时，。&min=P8'—0P=4—jn,

故选：D.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，三角形三边关系，折叠的性质等知识，知道点O在线段P9

时。夕取最小值是解题的关键.

【变式5-2］在EMBCO中，点E为BC边上一点、,将力8沿着/1E翻折得到4凡点G为4F中点，连接CF、BG,若

AB=2,BC=3,AABC=60°,贝UCF+BG的最小值为.

【答案】V7

【分析】取A8的中点“，连接尸H,CH,利用翻折的性质证明全等，得到8G=”〃，判断出Cf+8G的最小

值就是C"的长，再过点“作HM_L8C于点M,求出8M,HM,最后在中，利用勾股定理求出C"的

长即可.

【详解】解：取48的中点〃，连接尸H,CH,过点H作HMJ.BC于点M,

AD

G

BMEC

^iAHAB,

•••4”由48翻折得到，

:.AF=AB,

又•.点G为独中点，

.'.AG=-AF,

2

,'.AH=AG,

在么AF”和△ABG中，

(AF=AB

4兄4H=4BAG

(AH=AG

•••△AFH三△ABG(SAS),

:.FH=BG,

:.CF+BG=CF+FH,

要求CT+BG的最小值，只要求CF+产月的最小俏即可，

当C,F,H三点在一条直线上时，CF+FH取最小值，

此时CF+FH=CH,

即CF+8G的最小值为CH.

在RtAHBM中，

BH=^AB=1,HBM=LABC=60°,

2乙

则/BHM=30°

团BM=-BH=-,HM=WBM=-FH=—X1=—,

22’222

在Rt△CHM中，CH=7HM2+CM2=/(方+(3勺3

故答案为：V7.

【点睛】本题是以翻折为背景两线段和最小值问题，考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角

函数定义，勾股定理.利用翻折将不共端点的两线段的和转化为共端点的两线段的和是解题的关键.

【变式5-3］如图，平行四边形A3CO中，过点8作于点E,过点E作£/血48于点F，与CO的延长

线交于点G,连接8G,且8E=BC,BG=S五,0BGF=45°,EG=3,若点M是线段8户上的一个动点，

将沿ME所在直线翻折得到IWE尸，连接。尸，则C9长度的最小值是.

【答案】闻-2

【分析】连接CE,易知当点F落在线段CE上时，线段CF的长度最小，在回BGF中，EF团AB,团BGF=45。，BG

=5>/2,可得BF=FG=5,FE=2,由勾股定理可得，BE=回，由平行四边形ABCD可得，AD0BC,乂因为

BE0AD,推出BE团BC,继而推出回BCE是等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出CE,根据翻折的性质可得

EF=EF,最后由CF=CE-EF唧可求解.

【详解】解：如图所示，连接CE,易知当点F落在线段CE上时，线段CF的长度最小，

G

A\

炉------------

0ER3AB,BGF=45°,BG=5x/2,

酿BGF是等腰直角三角形，BF=FG=5,

0EG=3,

回FE=FG-EG=5~3=2,

由勾股定理得，BE=VFF2+SF2=V22+52=V29,

团四边形ABCD是平行四边形，

0AD0BC

又由BE国AD,BE=BC

0BE0BC

豳6CE是等腰直角三角形,

由勾股定理得，CE=VBE2+8C2=同,

根据翻折的性质可得：EF=EF=2,

团CF'=CE-EF'=V^-2

故答案为：V58-2

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、翻折的性质、勾股定理，综合运

用这些知识点是解题的关键.

【题型6折叠平行四边形进行证明】

【例6】已知I3/18CD,将沿对角线4C翻配得至IJAAEC.

图1图2备用图

⑴如图1,当点E落在线段BA延长线上时，求证：△瓦4Dw4A8C；

(2)如图2,当ZB4C为锐角时，连接BE与线段4c相交于点尸，试判断力凡DE,4c之间的数量关系，并说明

理由；

(3)若718=4,BC=6,连接当△力。E为等腰三角形时，求”的长.

【答案】(1)见解析

(2)2AF+DE=AC,理由见解析

(3)5或弓

【分析】(1)首先根据平行四边形的性质得4。=BC^AD||BC,进而得乙以。=4氏再由翻折的性质得AE=

AB,据此可依据"SAS”判定△区4。和^ABC全等；

(2)过点。作D/714C于点”，先证a/lB尸和△CDH全等得力尸=CH,BF=DH,再证四边形E/7”。为矩形，

进而可得出力凡DE,4C之间的数量关系；

(3)由翻折的性质得：AB=AE=4,BC=CE=6,因此当△/DE为等腰三角形，有以下两利情况：①当

力E=0E=4时，过点。作0HJ.4C于点〃，由(2)可知Ar=CH,四边形EQHD为矩形，设45=CH=%,

则FC=4+x,AC=4+2x,在Rt△AEr和Rt△EFC中由勾股定理构造关于x的方程，解方程求得x,进而

可求出AC的长；②。E=4D=6时，延长。4交BE于点R过点。作CMIDE于由(2)可知力F=DM,

四边形EFCM为矩形，设4尸=OM=x,RiJCF=EM=6-x,4?=6—2%,在Rt△4EF和RtAEFC中由勾

股定理构造关于x的方程，解方程求得x,进而可求出AC的长.

【详解】(1)证明：回四边形48CD为平行四边形，

团AD=BC,AD||BC,

回点E在线段84延长线上，

团zE4D=乙B,

由翻折的性质得:AE=AB,

在AE/I。和A/IBC中，

(AE=AB

l^EAD=乙B

(AD=BC

0A£4。三△4BC(SAS)；

(2)AF,DE,AC之间的数量关系是：2AF+DE=AC.

理由如下：

过点。作DH1AC于点儿如图所示：

团四边形/BCD为平行四边形，

(MB||CD,AB=CD,

团4BAF=乙DCH,

由翻折的性质得：EF1AC,BF=EF,BC=CE,

0Z/1F5=Z-CHD=90°,

在公力鸟产和^CDH中,

(^AFB=Z.CHD=90°

乙BAF=Z.DCH,

(AB=CD

团△/I8F三△COH(AAS),

^AF=CH,BF=DH,

圆AC=AF+FH+CH=2AF+FH,

^EFLAC,DHLAC,

^EF||DH,

又BF=EF=DH,

团四边形EFH。为矩形，

WE=FH,

回AC=2AF+DE,

即：24/+DE=4C.

(3)由翻折的性质得：AB=AE=4,BC=CE=6,

团△AOE为等腰三角形，

团有以卜两种情况：

①当AK=DE=4时，过点。作DH14C于点”，如图所示:

由(2)可知：AF=CH,四边形EF/7。为矩形，

HF/7=。£=4,

设4F=CH=x,则FC=EH+CH=4+x,AC=4+2x,

在RtA/lEF中，由勾股定理得：EF2=AE2-AF2=42-X2,

在EFC中，由勾股定理得：EF2=CE2-FC2=62-(4+x)2,

(342-%2=62-(4+x)2,解得:x=0.5,

斯C=4+2%=5；

@DE=AD=6lbJ,延长CA交于点尸，过点C作CM1.1于M,如图所示:

由(2)可知：AF=DM,四边形£TCM为矩形，BC=CE=6,

设4F=DM=x,则CF=EM=DE-DM=6-x,AC=6-2%,

在中，由勾股定理得：EF2=AE2-AF2=42-X2,

在EFC中，由勾股定理得：EF2=CE2-CF2=62-(6-x)2,

042-%2=62-(6-X)2,解得：x=l，

团AC=6-2%=热

综上所述：AC的长为：5或日.

【点睛】本题主要考杳平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质以及

勾股定理，解题的关键是熟悉折叠的性质和矩形的相关知识.

【变式6-1］在平行四边形A8CD中，将△8C0沿5。翻折，使点C落在点E处，BE和40相交于点。：求证：。力=

0E.

【答案】见解析

【分析】根据翻转变换的性质得到BE=BC=AD,乙EBD=乙CBD,根据平行线的性质得到41DB=乙CBD,

根据等腰三角形的判定定理得到08=。。，计算即可.

【详解】证明：由折叠的性质可知，BE=BC=AD,乙EBD=4BD,

vAD//BC,

•••Z.ADB=乙CBD,

•••Z.ADB=乙EBD,

•••OB=0D,

0A=0E.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等角对等边性质等知识，是重要考点，

掌握相关知识是解题关键.

【变式6-2］如图，在平行四边形A3CD中，点。为边A8上一点，将团。3P沿CP翻折，点3的对应点步恰

好落在0A的延长线上，且PB'ELW,若8=3,BC=4.

（1）求证：团。czr=9o°；

（2）求BP的长度.

【分析】（1）由折盖的性质可得：PB，=PB,"Q。=鲂，又由在平行四边形ABC。中，。用财。，团。=财,

即可求得配>ar=9。。；

⑵根据勾股定理求得。长的长，然后设破=工，在Rtaw中，利用勾股定理即可求得答案.

【详解】解：（1）由折叠的性质可得：PB』PB,回夕夕。=团从

回四边形A8CO是平行四边形，PB,^AD,

回回5=囹。，^PB'A=90°,

如£M3C£O=90°,

团团0。8'=90°；

（2）0CD=3,BC=4,

[34O=B'C=BC=4,

ia/J^=VcD2+CB,2=5,

财8'=。8'-AO=1,

设BP=x,则03'=x,R\=3-x,

在RtHAB'P中，%2=A8,2+PB，2,

ar<-l2=（3-X）2,

解得：x=g,

昉P=*

故答案为（1）见解析；（2）BP=/

【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质以及勾股定理.注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题

的关键.

【变式6-3】如图，将平行四边形纸片FBC。按如图方式折橙，使点C与点A重合，点。的落点记为点D',

折痕为EF,连接CF.

B--------E-----C

⑴求证：四边形力/TE是平行四边形；

(2)若4B=45°.Z.FCE=60°,AB=6也求线段D'F的长.

【答案】(1)见解析

(2)6+2V3

【分析】(1)先证明四边形4FC£是平行四边形，再运用有一纥邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明;

(2)作AG0BE于点G,因为。伊=。凡再证明QF=BE,用勾股定理分别计算8G、EB即可.

【详解】(1)解：证明：团点C与点A重合，折痕为E凡

00AEF=SCEF,AE=EC,

团四边形ABCD为平行四边形，

EL4D0BC,

^AFE^CEF,

^AEF^AFE,

^AE=AF,

^AF=ECt

又(LA距EC,

回四边形A/CE是平行四边形，

又(L4E=AN

团四边形八尸CE为菱形.

(2)如图，作AG08E于点G,

D'

则IMGH=RL4GK=9(F,

团点。的落点为点。，折痕为ER

⑦D、F=DF.

回四边形人8c。为平行四边形，

^AD=BC.

又射F=EC,

\MD-AF=BC-EC,HPDF=BE.

回在R/®4G8中，a4GB=90°,05=45°,AB=6a,

MG=GB=6.

0四边形AFCE为平行四边形,

0A£HFC.

00AEB=0FCE=6O°.

回在心财GE中，(MGE=90°,团4=60°,

回GE隼2百，

V3

f2BE=BG+GE=6+2痘,

回。，=6+2V3.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四

边形的性质发现疗f=8E是解题的关犍.

【题型7折叠构造平行四边形求值】

【例7】一个RtZi48C中，44cB=90。，AC=6,BC=3,D为斜边AB的中点，E为直角边AC上的一点，

连接DE,将△4OE沿OE折直至△ADE,A'E交BD于点、F,若△CEF是△4DE面枳的一半，则CE=.

Af

【详解】本题主要考查了折叠问题、勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

通过勾股定理可得AB的长度，根据折叠的性质及等高的两个三角形的面积比等于边长比可得

AD=A/D=2DF,A'F二EF,可求OF=三通，AD=-V5,=BD-DF=-V5=DF,可证BEZL4'是平

424

行四边形，可求得BE=4。，根据勾股定理可得CE的长度.

【解答】解:如图,连接BE、A'B,

^Z-ACB=90%AC=6,BC=3,

BAB=yjAC2+BC2=3>/5,

团。是AB中点，

团BD=AD=2，

团将^ADE沿DE折叠至△ARE,

=

回AD=A'D鼻花，SMDE='^A4/DE»

回S&DEF=2SAADE，

国力°=2DF,S&DEF=5s

(3DF=-V5,A'F=EF,

4

团B/=BD-DF=-V5=DF,

4

回四边形8EDA是平行四边形，

团4。=BE=-V5,

2

在世△"£中，根据勾股定理得：CE=yjBE2-BC2=p

故答案为；|.

【变式7-1］（24-25八年级下•山东泰安•期末）如图，在四边形4BC。中,AB1BC,AD||BC.AB=AD=6,

E为线段4。上一点，将△力8E沿3E折置，使点A落在A处.若D4的延长线与8c交于点尸，且BF=DE,

那么BE=.

【答案】3V5

【分析】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质与判定、等角对等边、勾股定理，熟练掌握相关知识点

是解题的关键.由垂直的定义和平行线的性质可得上｛=41=90。，由折叠的性质得=

zlB/l'E=乙4=90。，A/E=AE,利用平行四边形的判定推出四力形BED尸是平行四边形，得到乙EDF二

乙EBF,乙ABE=Z-BArF,设4A'BE=a,表示出匕EOF=90°-a,/.EA'D=180°-Z.BA'E-^BA'F=90°-

a,则有=推出AE=DE,求出AE的长，再利用勾股定理即可求解.

【详解】解：①4B1BC,AD||BC,

班BLAD,Z.ABF=90°,

0Z4=90°,

由折叠的性质得，WBE=乙ABE,乙BA'E==90°,A'E=AE,

05F=DE,DE||BF,

回四边形8E0F是平行四边形，

0ZFDF=Z.EBF,BEWF.

团4A'BE=Z.BA'F,

设/ABE=a,则匕==

^EDF=乙EBF=90°-a,LEAD=180°-LBA'E-LBA'F=90°-a,

0ZEDF=LEA'D,

斯'E=DE,

BAE=DE=-2AD=2-x6=3,

12BE=y/AE2+AB2=V32+62=375.

故答案为：3遍.

【变式7-2］如图，在RtA48C中，^BAC=90°,。是BC的中点，石是4C上的点，延长OE交84的延长线于

点G,将^COE沿OE折叠，得到△FDE,连接B凡CF,若BGIIFE,AB=6,AE=2,则8c的长为.

【答案】2V34

【分析】本题主要考查了折善的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定

等等，先由平行线的性质得到乙CEF=乙BAE=90°,再由折直的性质得到NCED=MED=\LCEF=45°,

CE=FE,进而可证明△AEG是等腰直角三角形，得到4G=4E=2,4G=45。，再证明四边形8GEF是平

行四边形，得到£T