浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》单元测试卷（附答案）

浙教版八年级数学下册《第二章一元二次方程》单元测试卷(附答案)

一、单选题

1.下列方程中，有两个相等实数根的是()

A.r2-2%-1=0B.x2-2x=0C.x2-1=0D.%2-2x+1=0

2.用配方法解方程2/-4%+1=0,下列变形正确的是()

A.(x-I)2B.(x-2)2=1

C.(2x-I)2=0D.(x-2)2=-

2

3.若关于％的一元二次方程a/+一2=0(aW0)有一解为％=2026,则一元二次方程以3+2)24-Z?x=2-2b必

有一解为()

A.x=2022B.x=2024C.%=2026D.x=2028

4.随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2024年底，绵阳全

市约有4万个充电桩，根据规划到2026年底，全市的充电桩数量将会达到5.76万个，则从2024年底到2026年底，

全市充电桩数量的年平均增长率为()

A.10%B.15%C.20%D.25%

5.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有81个人患了流感，设平均每轮每人传染力个人，则卜.列等式成立的是

().

A.1+x+x(x+1)=81B.1+x+x2=81

C.l+x+(l+x)2=81D.1+(1+x)2=81

6.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为20米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出

一块96平方米的长方形菜地作为实践基地.如图所示，设长方形的一边长为工米，根据题意可列方程()

A.x(20-x)=192B,x(20-x)=96

C.r(10-x)=96D.x(20-2%)=96

7.我们称形如k(x-/i)2+p=0(/cw0)的方程为关于A-的“标准二次方程〃.若两个一元二次方程可以写成

ki(x一h)2+p=0和k2a-h)2+p=0的形式(力和口相同kiH七)，则称它们是“伙伴方程如2(%-3)2-4=0

与3a-3)2-4=0就是"伙伴方程已知2(%-I)2-1=0与(a+l)x2+(b-2)x-2=0是伙伴方程，那么代数

式ax?+bx+2026能取的最大值是()

A.2025B.2026C.2027D.2028

二、填空题

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8.己知a是一元二次方程/+3%-1=0的一个实数根，求2a2+6a+2026的值为.

9.已知关于”的一元二次方程(k-l)/-2kx+k+2=0有两个实数根，贝味的取值范围是.

10.已知关于%的方程/一(2根一1%+血2=0的两个不相等的实数根为勺,无2，若。1+1)(%2+1)=8,则加的值

为•

11.已知等腰△ABC中BC=4,AB,AC是关于％的一元二次方程M-6x+m=0(m是常数)的两实数根，则m的

值为.

12.关于％的方程Q(x+m)2+b=0的根是与=2024,x2=-2026(a,b,TH均为常数QW0),则关于％的方程

a(x+m-3)24-Z?=0的根是.

13.已知直角△ABC两条边长分别是方程%2-14%+48=0的两根，则△48。的周长为.

14.某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了

132场比赛，参加比赛的足球队有支.

三、解答题

15.已知。是一元二次方程/+%-1=0的一个根：

⑴求2a2+2a的值

(2)求2a+2026的值.

16.解方程

(I)%2-2x-^=0；(配方法)

4

(2)3x-x2=x-3；

(3)4/-8x+1=0；

(4)3x2+5(2x+1)=0.(公式法)

17.已如关于％的方程M-(k+4)X+2k+l=0.

⑴求证：该方程总有两个不相等的实数根；

⑵记该方程的两个实数根为巧,不，求代数式(与-2)(%2-2)的值；

⑶若M=*+x%N=2—X1X2,比较M与N的大小.

18.已知关于x的一元二次方程/一(2k+l)x+k2+k=0.

⑴求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若△ABC的两边48,4C的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5

①若k=3时，请判断△/8C的形状尹说明理由；

②若△4BC是等腰三角形，求等腰一：角形的周长.

19.已如在△A3C中乙。=90。，43=3C=5cm,点尸从点A开始沿A3边向点3以lcm/s的速度移动，点Q从3开始

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沿边3c向点C以2cm/s的速度移动，若一•动点运动到终点，则另一个也随之停止.

⑴如果P、Q分别从4、B两点同时出发，那么几秒后，aPBQ的面积等于4cm2?

(2)在(1)中，APBQ的面积能否等于8cm2?说明理由.

20.某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，每天能售出200双.经

过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数最y(双)与降低价格元)间存在如图所示的函数关系.

俨双

300

200p!

q~io

⑴求出y与％的函数关系式；

(2)公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？

⑶为「保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%,公司每天能否获得9000元的利润.若能，求出定价：若不能，

请说明理由.

参考答案与解析

1.D

【分析】对于一元二次方程a/+必+c=0(a/0),当△=/一4«c=0时，方程有两个相等的实数根，分别计算

各选项的判别式即可判断.

【详解】选项A：0x2—2x—1=0a=1b=-2c=-1

0A=(-2)2-4x1x(-1)=8>0

方程有两个不相等的实数根不符合题意

选项B：0x2-2x=Oa=1b=-2c=0

0A=(-2)2-4xlx0=4>0

方程有两个不相等的实数根不符合题意

选项C：0x2—1=0a=1b=0c=-1

0A=02-4x1x(-1)=4>0

方程有两个不相等的实数根不符合题意

选项D：团/-2%+1=0a=1b=-2c=1

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BA=（-2）2-4x1x1=0

方程有两个相等的实数根符合题意.

2.A

【分析】先将常数项移到方程右边再把二次项系数化为1最后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行

平方即可.

【详解】解：2x2-4%+1=0

2x2-4x=-1

21

-92x=--

x2—2x+l=—^+1

（X-I）2=

3.B

【分析】将所求方程整理变形使其与原方程结构一致通过换元利用已知方程的解求解即可.

【详解】解：团关于％的一元二次方程a/+双一2=0（aH0）有一解为x=2026

团a•202624-b-2026-2=0

整理所求方程Q（x+2）2+hx=2-2b

移项得a（x+2）2+bx+2/J-2=0

提取公司式得a（x+2尸+b式+2）—2=0

令y=x+2则方程变为Qy2+by-2=0与原方程结构完全相同故该方程的一个解为y=2026

即％+2=2026

解得％=2024

因此所求方程必有一解为％=2024

4.C

【分析】设从2024年底到2026年底全市充电桩数量的年平均增长率为义根据2024年和2026年全市充电桩的

数量建立方程求解即可.

【详解】解：设从2024年底到2026年底全市充电桩数量的年平均增长率为工

由题意得

整理得［1+%）2=1.44.

解得与=0.2=20%x2=-2.2（增长率不能为负舍去）.

团年平均增长率为20%.

5.A

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【分析】先理清每轮传染后的患病人数变化根据传染过程逐步推导总人数即可列出对应方程.

【详解】解：设平均每轮每人传染了％个人

团初始有1人患流感

第一轮传染后新增X个患病人数总患病人数为(1+X)个

第二轮传染中现有(1+X)个病人每人传染工人因此新增患病人数为x(l+x)个

回两轮传染后总患病人数为1+x+x(x+1)=81即a+I)2=81.

6.B

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用先用x表示出矩形的另一条边长利用矩形的面积公式列出方程即

可.

【详解】解：设矩形的一边长为x米则另一边长为(20-幻米

由题意得：x(20-x)=96.

7.D

【分析】根据“伙伴方程”的定义可得(a+l)x2+(b-2)x-2=0可以变形(a+l)(x-I)2-1=0展开成一般式

22

后根据系数相等列方程解得a=-2b=4最后根据a/+bx+2026=-2x4-4x+2026=-2(x-I)+

2028求解即可.

【详解】解：02(x-I)2-1=0与(a+l)x2+(b-2)x-2=0是伙伴方程

团(Q+I)%2+(b—2)x—2=0可以变形(Q+l)(x—I)2—1=0

即(a+l)x2+(b-2)x—2=(a+l)(x—I)2—1=(a4-l)x2-2(a+l)x+a

—2=-2(a+1)—2=a

解得a=-2b=4

0ax2+bx+2026=-2x2+4x+2026=-2(x—l)2+2028

团代数式a/+bx+2026能取的最大值是2028.

8.2028

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到必+3a=1再把2a2+6a4-2026变形为2(a2+3a)+2026然后

利用整体代入的方法计算.

【详解】解：••・a是方程/+3%-1=0的一个实数根

a2+3a-1=0

即M+3a=1

02a2+6a+2026=2(a2+3a)+2026=2x1+2026=2028.

9.k42且kH1

【详解】解：12关于x的方程(々l)x22依IAI2=0是一元二次方程

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欧H1

团关于汇的一元二次方程(k-l)x2-2kx+k+2=0有两个实数根

团A=/—^ac—(—2k)2—4(k—l)(k4-2)=8—4k>0

即8-4k>0

解得：kW2

回/c的取值范围是k<2且k*1.

10.-4

【分析】根据根与系数的关系以及方程有两个不相等的实数根时2>0即可求解.

【详解】解：团关于a的方程,一(2m—1)%+巾2=0的两个不相等的实数根为%],%2

222

0A=[-(2m—I)]—4x1xm=-4m4-1>0+x2=2m-1xtx2=m

0m<-4

0(%i+l)(x2+1)=8

包工1%2十与十必+1=8

0m2+2m-1+1=8

解得=-4机？=2

MV；

0771=-4.

11.8或9

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义根的判别式以及三角形三边关系.分两种情况讨论8c为等腰

△48C的腰BC为等腰△48C的底结合一元二次方程根的定义根的判别式以及三角形三边关系即可求出m

的值.

【详解】解：分两种情况讨论：

①当BC为等腰△力BC的腰时

则A8=4或AC=4

-ABAC是一元二次方程％2—6x+7几=0的两实数根

将x=4代入方程得：

42-6x4+?n=0

解得m=8

此时原方程为/-6x+8=0

解得必=2“2=4

三角形三边长为244满足三角形三边关系符合题意

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②当8C为等腰△力8c的底时

则AB=AC即一元二次方程/一6%+77i=0有两个相等的实数根

二根的判别式A=(一6/-4x1xm=0

即36—4m=0

解得m=9

此时方程的两根相等均为3三角形三边长为334满足三角形三边关系符合题意

综上加的值为8或9.

12.匕=2027

【分析】令y=x-3再利用换元法解一元二次方程即可.

(详解]解：令y=x-3则关于式的方程Q(X+m-37+b=0可化为a(y+m)2+b=0

2

同关于x的方程a(x+m)+b=0的根是匕=2024x2=-2026

2

团关于y的方程a(y+m)+b=0的根是y】=2024y2=-2026

z

团关于x的方程a(x4-m-3)+b=0的根是％i—3=2024x2—3=-2026即/=2027x2=-2023.

13.2行+14或24

【分析】本题考查解一元二次方程和直角三角形的性质综合先利用配方法解一元二次方程得到两根再进行分

类讨论利用勾股定理计算出另一边即可求解.

【详解】解：解方程/-14x+48=0

整理可得/-14%+49=1

即(％—7)2=1解得心=8不=6

当两个根是两条直角边时斜边长为配用=10

因此时△A8C的周长为8+6+10=24

当两个根是直角边和斜边时另一条直角边为府二不=2夕

因此时△力BC的周长为8+6+2V7=2V7+14.

14.12

【分析】先设出参赛球队的数量根据主客场双循环赛制得到总比赛场数的等量关系列出一元一次方程求解后

舍去不符合实际意义的负解即可得到参赛球队的数量正确建立方程是解题关键.

【详解】解：设参加比赛的足球队有%支.

根据题意得：x[x-1)=132

整理得：x2—x—132=0

因式分解得:(%-12)(%+11)=0

解得：切=12X?=11(不符合实际意义舍去)

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・••参加匕赛的足球队有12支.

15.(1)2

(2)2025

【分析】(1)根据〃是一元二次方程/+X—1=0的一个根得到M+Q=1整体代入法求值即可

(2)利用降累和整体代入法进行计算即可.

【详解】(1)解:明是一元二次方程/+%-1=0的一个根

0a24-a-1=0

0a2+a=1

02a2+2a=2(a2+a)=2

(2)解：0a2+a=1

0a2=1—a

0a3—2a+2026=a-a2—2a+2026

=a•(1—a)—2a+2026

—CL-Q2—2Q+2026

=—a2-Q+2026

=-(a2+a)+2026

=-1+2026=2025.

16.(1%=1

(2)4=3

(3)xt=1+y

,、-S+x/IO

(4)4=——

【分析】(1)移项配方求解即可

(2)运用因式分解法求解即可

(3)配方求解即可

(4)先整理为一般式再运用公式法计算即可.

【详解】(1)解：x2-2x-；=0

4

移项得X2-2%=

配方得x2-2x+1=；

4

9

(工-1)2，

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开方得力-1=±,

所以为1=3X2=-1

(2)解：3x-%一3

等式左边提取一%得一%(%—3)=x-3

移项得(%-3)+x(x-3)=0

0(%-3)(1+x)=0

0x—3=。或14-%=0

解得Xi=3x2=-1

(3)解：4x2-8x+1=0

二次项系数化为1得x2-2x+；=0

4

移项配方x2—2%+1=7BP(x—I)2=-

44

0x-1=±y

0X=1±y

1

0%!=1+yX2=-y

(4)解：3/+5(2%+1)=0

整理得3%2+IO%+5=O

ma=3b=10c=5A=102-4X3X5=40>0

ra-10±V40-5土杀

2X33

c-5+y/To-S-yJTo

团无1=——%2=•

17.⑴见解析

(2)-3

⑶M>N

2

【分析】(1)一元二次方程a/+bx+c=0(a*0)有两个不相等的实数根则白=b-4ac>0有两个相等的实

数根则A=4-4ac=0没有实数根则△=匕2-4叫<0.据此即可求解.

(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得%+上=2+4,=2k+1代入代数式即可求解.

(3)判断M-N的正负即可求解.

【详解】(1)证明：△=[-(/c+4)]2-4(2/c+1)=/c2+8/c+16-8/c-4=/c2+12

Vk2>0

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AA>0

x2-(/c+4)x+2k+1=0总有两个不相等的实数根

(2)•.•该方程的两个实数根为%i小

与+工2=1+4,%=2k+1

•••Cq-2)(X2-2)=-x2-2%i-2x2+4=x1-x2-2(必4-x2)+4

=2/c+1-2(/c+4)+4=2/c+1-2/c-8+4=-3

(3)由(2)知%1+小=女+4,%i•外=2k+1

vM=+xl，N=2-xxx2

M-N=*+后-2+•必=(七+为2乃一2%10-2+XiX2=(/+x2V-xrx2-2

=(k+4产一(2k+1)—2=1+16+8k—2k—1-2=炉+6k+13=(4+3)2+4>o

:.M>N.

18.⑴见解析

⑵①△ABC是直角三角形见解析②14或16.

【分析】本题考查了于•元二次方程的判别式勾股定理的逆定理以及等腰三角形的定义等知识点熟记相关结论

是解题关键.

(1)对于一元二次方程a/+加+c=0(aH0)若A=/)2-4QC>0则方程有两个不相等的实数根若4=

b2-4ac=0则方程有两个相等的实数根若A=/-4ac<0则方程没有实数根.据此即可求解.

(2)①k=3时方程为/一7%+12=0解得与=3必=4即可判断②根据A=l>0得出ABHAC

ABAC中有一个数为5可求得e=4%=5分类讨论即可求解

【详解】(1)证明:鼬=(2k+I)?-4(/+幻

=1>0

回方程有两个不相等的实数根

(2)解：①k=3时方程为/-7z+12=0

解得%1=3

0/1/?=3AC=4

团8C=5

I3AB2+AC2=BC2

回△力8c是直角三角形

②她=1>0

048*AC

EL4BAC中有一个数为5

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当欠=5时原方程为25-5（2/c+1）+好+k=0

即k2一%+20=0

解得h=4k2=S

当k=4时原方程为/-9x+20=0解得必=4&=5

等腰三角形的周长为14

当k=5时原方程为/一11%+30=0解得/=5次=6

等腰三角形的周长为16.

19.（1）1秒后△PBQ的面积等于4cm2

⑵不能等于8cm2

【分析】（1）设经过x秒钟△P8Q的面积等于4cm2根据题意表示出BP和8Q的长然后列方程求解

（2）根据（1）的方法列出方程