数列的概念【九大题型】-人教A版高中数学选择性必修第二册（解析版）

专题4.1数列的概念【九大题型】

【人教A版(2019)]

＞题型梳理

【题型I观察法求数列通项】....................................................................3

【题型2判断或写出数列中的项】...............................................................4

【题型3根据数列的递推关系式求通项或项】.....................................................6

【题型4利用为与&的关系求通项或项】........................................................8

【题型5求数列的前〃项和】...................................................................9

【题型6递推数列的实际应用】.................................................................10

【题型7数列的单调性的判断】.................................................................13

【题型8数列的最大(小)项】.................................................................15

【题型9数列周期性的应用】...................................................................18

A举一反三

【知识点1数列的概念】

i.数列的概念

数列的定义

一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一

个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号⑶表示，第二个位置.上的数叫做这个数列的第2项，用心表

示第〃个位置上的数叫做这个数列的第〃项，用外表示.其中第1项也叫做首项.

2.数列的分类

分类标准名称含义举例

按项的有穷数列项数有限的数列1,2,3,…,〃

个数无穷数列项数无限的数列1,0,1,0,1,0….

从第2项起，每一项都大于它的前一

递增数列3,4,5,6,…,〃+2

项的数列

从第2项起，每一项都小于它的前一

按项的递减数列

项的数列

变化趋势

常数列各项相等的数列0,0,0,0,…

从第2项起，有些项大于它的前一

摆动数列1,-2,3,-4,...

项，有些项小于它的前一项的数列

3.数列的通项公式

如果数列｛«,｝的第〃项a“与它的序号〃之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这

个数列的通项公式.

4.数列的递推公式

(1)递推公式的概念

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的

递推公式.

(2)对数列递推公式的理解

①与“不•定所有数列都有通项公式”•样,并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号〃的恒等式.

如果用符合要求的正整数依次去替换小就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：

基础—数列｛4｝的第1项(或前几项)；

递推关系——数列｛，“)的任意一项％与它的前一项(〃=2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可

以用等式来表示.

5.数列表示方法及其比较

优点缺点

通项一些数列用通项公式表示比较

便于求出数列中任意指定的一项，

公式法困难

利于对数列性质进行研究

内容具体、方法简单，给定项的序确叨表示一个无穷数列或项数

列表法

号，易得相应项比较多的有穷数列时比较困难

能直观形象地表示出随着序号的变数列项数较多时用图象表示比

图象法

化，相应项的变化趋势较困难

递推可以揭示数列的一些性质，如前后不容易了解数列的全貌，计算也

公式法几项之间的关系不方便

6.数列的前〃项和

数列｛〃”｝从第1项起到第〃项止的各项之和，称为数列｛«,｝的前〃项和，记作S”，即5“=0+生+—+0,.

如果数列｛&｝的前〃项和S“与它的序号〃之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做

这个数列的前〃项和公式.

fSi,n=1

%='S”一S”T,〃22.

7.数列的通项公式的求解方法

(1)由小与S〃的关系求通项：

已知S“求知的常用方法是利用a,=l转化为关于小的关系式，再求通项公式.

IS“一S“_i,〃22

(2)由数列的递推关系求通项公式:

①累加法：形如4〃+尸斯切〃）的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.

②累乘法：形如小+产小・«〃）的递推关系式可化为誓i=/（〃）的形式，可用累乘法，也可用

^=—--7^•华•0代入求出通项.

—1—2

③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项.

【题型1观察法求数列通项】

[例1]（23-24高二下.安徽•期末）数列一-H…的通项公式可以为（）

JO/

n2rl

A.(-l)nB.(-l)n

2n+l2n-l

c.c-ir-1—D（-i）n+i—

'72n+l.'72n-l

【解题思路】根据题意逐一检验选项即可.

【解答过程】对于选项A：令九二1,可得-/不合题意；

对于选项B：代入检验均可，符合题意；

对干选项C：令几=1,可得|,不合题意；

对于选项D：令九=1,可得2,不合题意：

故选：B.

【变式1-1]（23-24高二下•江西景德镇•期末）数列1,一^,一2谓,…的通项公式可能是（）

严】

B.a(-1

n2n

n

C.a(-D

n2n-lD・…备

【解题思路】将数列前5项改写为统一格式即可发现规律得到数列的通项公式.

【解答过程】由题数列的前5项可改写为

其中负号交替出现在偶数项，分母为从1开始的奇数，

故数列的通项公式为册=坐二

2n-1

故选：D.

【变式1-2]（23-24高二下•福建福州•期中）已知数列｛时｝的前5项依次为一1[,一；,与一」则｛即｝的一个

421616

通项公式是（）

，、

.n+1Bc«nn+1

A.an=-Q?i=（-1）

D.册=(-1尸或

【解题思路】观察数列｛aj的前5项分析其变化规律即可求解.

【解答过程】数列｛%｝的前5项依次为-1,j-4

421616

所以的一个通项公式为即=(—1尸嘿.故B正确;

对A,代入九=2,a=_7*故A错误；

244

对c,Q2=d，故C错误；

44

对故错误；

DO,1OD

故选：B.

【变式1・3】(23・24高二上.陕西宝鸡.阶段练习)数列一2,4,一w，20,……的一个通项公式可以是()

n

A.an=(-1)^,2nB.an=(-l)-

nn

C.an=(-l)-中D.an=(-l)•T

【解题思路】利用特殊值排除选项即可.

【解答过程】对于A选项，当九=3时，。3=-6,故A错误；

对于B选项，当〃=1时，的=-2,当九=2时，a?=4,

当？;=3时，。3=—竺，当"二4时，a4=20,故B正确；

对于C选项，当n=2时，a2=3,故C错误；

对于D选项，当n=2时，a2=故D错误.

故选:B.

【题型2判断或写出数列中的项】

【例2】(23-24高二下•河北张家口•开学考试)已知数列2,V6,瓜…，亚丁TL…，则园是这

个数列的()

A.第20项B.第21项C.第22项D.第19项

【解题思路】令行=解出即可得.

【解答过程】令，2n+2=同,解得n=20,

即照是这个数列的第20项.

故选:A.

【变式2-1］（23-24高二下•黑龙江绥化•开学考试）已知数列｛%｝的一个通项公式为册=（-l）n-2"+a,

且%=1,则g等于（）

A.-6B.-5C.5D.6

【解题思路】根据通项公式及的=1,求出Q的值，再将九二3代入求解即可.

【解答过程】解：因为%=1,即-2+Q=1,解得Q=3,

所以的=—23+3=-5.

故选:B.

【变式2-2］（23-24高二下•黑龙江齐齐哈尔・期末）已知数列｛7｝的通项公式为册=『"+1，71为奇巴

（2n-l,n为偶数

则a2a3=（）

A.13B.14C.30D.49

【解题思路】由通项公式分别求出的，。3即可得.

3n+1,n为奇数

【解答过程】由a=

n2n-1,九为偶数

得。2=2?-1=3,Q3=3x3+1=10»

所以Q2a3=30.

故选：C.

【变式2-3］（23-24高三上•山西朔州•期中）已知数列｛册｝的通项公式为即=3几+1,数列｛瓦｝的通项公式

为％=必，若将数列｛册｝,｛b｝中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列｛0｝,则484是数列｛0｝中的

第（）

A.12项B.13项C.14项D.15项

【解题思路】先利用两数列的通项公式分析两数列相同项的特点，得到｛0｝的奇偶项的性质，从而得解.

【解答过程】设am=bk，则3m-1=1，可得m=空约2,

则k+1为3的倍数或k-1为3的倍数，

设k+1=3t或k-1=3r,则/c=3t-1或k=3r+1,

故｛cn｝的奇数项项数为/,偶数项项数为r，

又484=222,由3£-1=22,解得《二:（舍去），

由3r+l=22,解得r=7,484是数列｛7｝中的第14项.

故选：C.

【题型3根据数列的递推关系式求通项或项】

[例3]（23-24高二下•河南南阳•阶段练习）已知数列｛即｝的项满足%+】=下Qn,而%=1,则即=（）

A2R2[]

A，（n+l）2D'n（n+l）pJ2^1n2n-l

【解题思路】

由册+1=9与，可得皿=白，然后利用累乘法可求得结果

【解答过程】由毒的，得膏=含，

所以"=工，生=3幺=：............^=—,-^-=—,（n>2）,

na

%3a24a3san-2n-i〃十1

所以—"幺•・…♦・上

ara2a3an_2an-!345nn+1

所噌=3

因为%=1,所以册二^^’

因为%=1满足上式，所以g二就亍，

故选:B.

【变式3・1]（23-24高二下•北京期中）已知数列｛即｝满足%=1,。»1一即=而扁，则以=（）

A.-B.-C.-D.-

4455

【解题思路】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项公式即可.

【解答过程】数列｛Q"中，册+】一即="整=工一白，因此的+】+白=M+工，

、"""十'"n（n+l）nn+111n+111n

则数列｛即+§是常数列，于是册+：=。1+；=2,an=2-i,

所以。4=彳

故选:B.

【变式3・2】（24-25高二上•全国•课堂例题）在数列｛Q,J中，%=1，即+i=册+；-^，则%等于（）

A.-B.—C.—D.—

nnn2n

【解题思路】由an+i-Qn=工一白，可以采用累加法进行求解.

“TAnnr+1

（解答过程】由每+】一Q”=工一上，则

M1

%=1,

an~an-l=三一；（九22）,

以上各式累加得的=1+1—[+：—[+,,,+^77—

所以即=~^（n22）.

因为%=1也适合上式，

所以即=白F■（九6N+）.

故选:B.

【变式3-3]（23-24高二下.河南南阳•开学考试）已知数列5｝满足%+?+/+...+父=1一、piija=

N371/n

（）

A.1一/B./C•卷D•玄

【解题思路】当n\2,即+¥+：+•..+勺=1一七，两式做差整理求解即可.

2371-12"1

【解答过程】因为4+与+詈+…+詈=1一N

当花工2,%+券+号+…+窖=1一占，两式做差得：

^=1---1+，一=—,

n2n2n-12n

0

故n=段（九之2）,当?1=I,at=1-1=p符合an=0故斯=*

故选：D.

【题型4利用。〃与S〃的关系求通项或项】

【例4】（23-24高二下・北京大兴•期中）己知数列｛Q"的前几项和%=小+1,则数列｛即｝的通项公式为（）

A.an=n+1B.an=2n-1

2,n

C.an=2n+lD.an=L"&9

“"L2n-l,n>2

【解题思路】当71=1时，求得为；当nN2时，根据Qn=Sn-5n_i化简得即，再检验得出通项公式即可.

【解答过程】当n=1时，%=51=1+1=2；

当箕>2时，an=Sn-Sn-1=2n-1,

经验证，的=2不符合上式，所以的=12,n=l,

（2n-l,n>2.

故选:D.

【变式4-1]（23-24高二下.吉林•期中）已知数列｛每｝的前n项和为％,若配=脸磬，S2=3,则%=（）

A.-3B.3C.-2D.2

【解题思路】根据递推关系，赋值几=2,n=3即可求解.

【解答过程】若乡二笔组，S2=3,变形得到，2S„=n（l+an）,

当n二1,时，2al=2sl=1+Q[,解得%=1；

当n=2时，2s2=2x（14-a2）=6,解得a2=2；

当冗=3时，2s3=3x（14-a3）=2（3+a3）,解得的=3;

故选:B.

【变式4-2]（23-24高二上•天津宁河・期末）若数列｛a,J的前几项和Sn=27i2+n+i,则下列结论正确的是

（）

A.an=4n-1B.an=3n4-1

C.a=7n—3D.a=I4,n=1

nn4n—l,n>1

【解题思路】利用Q”,5〃关系求通项公式.

【解答过程】当九22,则册=S”一Sn-1=2n2+几+1-2（九一1）2—（九一1）-1=4几一1,

2

而%=s1=2xl+l+l=4,显然不满足上式，所以即=[]

—i,nI

故选:D.

【变式4-3]（23-24高二下•河南焦作•阶段练习）已知数列｛小｝的前几项和为%=an2+bn（a,bER）,且S?5=

100,则由2+。13+。14的值为（）

A.16B.4C.12D.不确定

【解题思路】根据S2s=100求出25a+b=4,进而利用+。13+«i4=^14-S”=75a+3b求出答案.

【解答过程】由题意得S25=625。+25b=100,化简得25a+6=4,

故由2+。13+。14=$14—Sii=196a4-14b—121a—11b=75a4-3b

=3（25a+b）=3x4=12.

故选：C.

【题型5求数列的前〃项和】

【例5】（2024•安徽合肥・三模）已知数列｛即｝的前几项和为斗，首项Qi=-1，且满足%-｝+2=a（n>2）,

snn

则&=（）

A.-B.-C.-D.-

371741

【解题思路】借助的与5n的关系并化简可得&=£—,结合工=处=-1,逐项代入计算即可得解.

【解答过程】由%-三+2=an（n>2）可得为一*+2=Sn-Sn_j=>Sn=—，

所以4=-1可得S?=-^―=1>

2+Si

C_1c_3c_]_7_]_17

3-3'»4--7'?5.2+S-，乂~41'

-2+S22+S34172+S5~

故选:D.

【变式5・1】（23-24高二下•浙江•期中）已知数列｛即｝的前几项和为%,首项%=-；，且满足£+*+2=

斯（九之2）,则Si。=（）

A.--B.--C.--D.--

1091110

【解题思路】根据递推关系可得及,即可逐一代入求解.

2+与-1

—-

【解答过程】由Sn+-^-+2=an（H>2）可得Sn+=+2=Sn—Sn-l=T—，

所以内=一：可得52==一|，

4/十D]S

11

$3--]]-沁==一沁=一

2+S2~，4=2+S3"乐;

2+S4

]]8_]1

$7=-9s8---9，Sc9-

2+S6~2+S7-2+Sg-

2+S9

故选：C.

【变式5-2]（23-24高二下•广东•期中）已如数列3J的前n项和为%，%=1，且（而二G十l）Sn=/遥二十"

(71>2且71GN*),若Sk=则k=()

35

A.49B.50C.51D.52

【解题思路】根据给定的递推关系，结合%-%_]=即,几之2变形，再构造常数列求出外，然后代入计算

即可.

【解答过程】当n>2时，(后』+l)Sn=nS“_i+an,则五口Tsn=(n-1)SNT，

于是55ESn=SF=l5n-1，即有JS+l)nSn=而伍二FSm，

因此数歹U｛J(九+1)和％｝是常数列,y/(n4-l)nSn=V2x1S1=y2,即Sn=-^===»

由S”=亲得jE)=表,而k€N\所以k=49.

DOVl\\K)OO

故选：A.

【变式5・3](23-24高三上.山西吕梁.期末)已知Sn为数列包“｝的前n项和，且满足&=(一1尸(1n-2一%则

S5十56一()

A.--B.--C.--D.-

64321664

【解题思路】由题，当n=l时，。1=一%当7122时即=(一1尸品+(-1)'a-1+玄，进而分奇偶性讨论

得金=去，n为正偶数，a"=一/，"为正奇数，再求和即可.

【解答过程】解：因为，=(—l)%n—2f,

所以，当n=1时，Si=a[=一%—2—1,解得力=—[,

nn+1n

当C2时,0n=Sn_SnT=(-l)an-2-n_(_y】+2-=(-1)。+(-l)an-i+联,

所以，当九为偶数时，an,!=-^,n>2,故。〃=一篇>八为正奇数：

当一为奇数时，2a〃=一册_]+以=一表，即即-1=占，故的=/，n为正偶数；

所以《+—2鼻+06_2(一专+专_3+崇一劫+奈一一^一一3,

故选:A.

【题型6递推数列的实际应用】

【例6】(23-24高二上・河南•阶段练习)己知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会

伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为由，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少j

•J

此时昆虫的长度记为。2；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的；，此时昆虫的长度

记为。3,然后进入下一次蜕皮，以此类推.若4=12,则%=（）

A.18B.-C.-D.—

2416

【解题思路】根据题意确定&，。3，。4之间的关系以及与由的关系即可得所求.

【解答过程】由题意可知，

做=（1一加=沁

（..1\44V28

a3=[l+-）a2=-a2=-x-ai=-a^

04=（1-33号Q3=lxlai若Q]=12，

所以QI=12X3=%

164

故选:C.

【变式6-1]（2024•陕西安康•模拟预测）生物学家在研究植物的生长过程中，发现某种树苗的生长规律为:

树苗在第1年长出一条新枝，新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每条树枝都按照这

个规律生长，则第1（）年的树枝条数为（）

A.56B.55C.54D.34

【解题思路】设第n年共有斯条树枝，结合题意可得%=1,a2=l,an=an-1+an-2＞计算出力。即可得.

【解答过程】设第，年共有册条树枝，则有4=1,a2=l,

第三年开始，新枝变老枝，继续生长，

则当加之3时，0n=a“_i+an_2,

故有Qio=。9+。8=2a8+。7=3a7+2a6=5a6+3a5=8a5+5a4=13a4+8a3

=21a3+13a2=34a2+21al=55.

故选：B.

【变式6-2]（2024.河南.三模）分形几何学是数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新

的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图I所示的分形规律可得

如图2所示的一个树形图.若记图2中第〃行黑圈的个数为即，则%=（）

第1行

第2行

小

°二0第3行

图1图2

A.55B.58D.62

【解题思路】册表示第〃行中的黑圈个数，设也表示第〃行中的白圈个数，由题意可得Q，+i=2Qn+

bn.bn+1=an+bn,根据初始值，由此递推，不难得出所求.

【解答过程】已知自表示第〃行中的黑圈个数，设bn表示第〃行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一

行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑|卷I，

又=0,仇=1；

02=l,b2=1；

a3=2xl+l=3fb3=1+1=2;

=2x3+2=8,①=3+2=5;

a5=2x8+5=21,=8+5=13;

。6=2x21+13=55,

故选:A.

【变式6-3］（23-24高三下•全国,开学考试）雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生也与雪花类似,

由等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三

角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每-个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程，即以每条边三

等分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：（2）,（3）,（4）是等边三角形（1）经过第一次,

第二次，第三次，变化所得雪花曲线）若按照上述规律，一个连长为3的等边三角形，经过四次变化得到的

雪花曲线的周长是（）

(I)

【解题思路】找出相邻图形的边长之间的关系以及相邻图形边数之间的关系即可求解.

【解答过程】设雪花曲线的边长分别为的,。2，。3，。4，。5,边数为认也也也也,

周长为Sn(n=1,234,5).

1.11111

a2=a1x-=l,a3=-a2=-,a4=-a3=-,as=—,

=

瓦=3,匕2=3x4,为=3x4x4,/74=3x4x4x4,b53x4x4x4x4,

Si=9,S2=12,S3=16,S4=y,S5=等，

故选:C.

【知识点2数列的性质】

1.数列的性质

(1)单调性

如果对所有的〃EN*,都有为+1>4，那么称数列｛4｝为递增数列；如果对所有的〃£N*,都有4+i<

册,那么称数列｛为｝为递减数列.

(2)周期性

如果对所有的〃£N*,都有4+.=«,仪为正整数)，那么称｛2｝是以攵为周期的周期数列.

(3)有界性

如果对所有的〃WN*,都有EJWM，那么称｛k｝为有界数列，否则称｛4｝为无界数列.

2.数列周期性问题的解题策略：

解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出

有关项的值或前〃项和.

3.求数列最大项与最小项的常用方法

(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，

利用作差法.

(2)利用I,(心2)确定最大项,利用］竺*,一22)确定最小项.

【题型7数列的单调性的判断】

【例7】(23-24高二下•山东♦阶段练习)下列数列不是单调数列的是()

A.｛2n-3｝B.｛1+2-n)C.1+3D.｛n2-6n｝

【解题思路】利用函数的单调性判断A、B,利用作差法判断C,列出数列的前几项，即可判断D.

【解答过程】对于A：因为函数y=2X-3在定义域R匕单调递增，

所以数列｛2九-3｝单调递增，故A错误；

对于B：因为函数y=2-+1在定义域R上单调递减，

所以数列｛1+2一日单调递减，故B错误；

对干C：令九+1+二一一(九+二)=1+二一一二=咚巴?

n+l\nJn+1nn(n+l)

因为"WN*,函数'=%2+》-1在(一：,+8)上单调递增，当％=1时y=l,

所以M+n-1>0(neN*),所以n+l+^>九+｝

故数列卜+；｝单调递增，故C错误；

对于D：数列｛M-6几｝的前几项分别为-5,-8,-9,-8,一5,0,7,…，

显然数列｛/-6九｝不单调，故D正确.

故选：D.

【变式7-1](23-24高二下•北京期中)数列｛即｝的通项公式为匍=九+*则使得“数列｛册｝是单调递增数

列”成立的充分不必要条件可以是()

A.Q6(—8,o]B.ciE(—co,2]C.QE(—8,2)D.aE(2,+8)

【解题思路】根据数列单调递增得到a<n(n+1),再求出在"6N•上n(n+1)的最小值，即可求出a的范围，

再进行条件判断选出答案即可.

【解答过程】因为数列屹力是单调递增数列，

所以(1〃+1>an>即〃+1+化简得a<+1)»

所以a<n(n+l)min,

令£=n(n+1)=n2+n=(n+1)2—则t在九GN*上递增，

所以n(n+l)min=2,所以Q<2,

所以使“数列｛an｝是单调递增数列”的充要条件是ae(—8,2),

所以充分不必要条件是可以是QE(—8,0].

故选：A.

【变式7-2](2024•北京西城•三模)对于无穷数列｛a„｝,定义4=a»i-%5=1,2,3,…)，则“｛%｝为

递增数列''是"｛4｝为递增数列''的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】由递增数列的性质，分别判断充分性和必要性即可.

【解答过程】为递增数列时，有g+1-册＞0,不能得到｛dn｝为递增数列,充分性不成立；

｛4｝为递增数列时，不一定有心＞0,即不能得到｛斯｝为递增数列，必要性不成立.

所以“｛«”｝为递增数列''是"｛麻｝为递增数列”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

n1

【变式7-3］(23-24高二上•广东•期末)在数列｛即｝中，%=l,an+1=3an-2-(neN*),记.=3“一2x

(一1)。册，若数列｛4｝为递增数列，则实数人的取值范围为()

A.(-1,1)B.(-2,1)C.(-1,1)D.(0,1)

【解题思路】由递推关系可得留一;其爱一》，求得册=2〃T,不等式恒成立等价于3—＞(-2厂9恒

成立，讨论"的奇偶即可求出.

【解答过程】由an+1=3an-2i,得懿=即瑞式,一»

nnnlnn

［畤一：0,则黄一：0,即即=2几-1,cn=3-2x(-l)2-2-=3-(-2)A,

由数列｛%｝为递增数列，得任意的九eN\cn+1＞金恒成立，

则VneN*,3"i-(-2)n+1l＞3n-(一2)M,即3n一］＞(一2)〃一9恒成立，

当力为奇数时，入＜(|)5］恒成立，数列｛(|)〃一】｝单调递增，(|)八】的最小值为1,则ZV1，

当力为偶数时，2＞-(|广】恒成立，数列｛一G)n-1｝单调递减,一(|)…的最大值为一支则一支

所以实数2的取值范围为一?＜A＜1.

故选：A.

【题型8数列的最大(小)项】

【例8】(23-24高二下.吉林长春•期中)已知即=n・C)"2,则数列｛册｝的偶数项中最大项为()

A.a10B.aQC.a6D.a4

【解题思路】作商探讨数列｛斯｝的单调性，进而求出最大项即可.

+2

【解答过程】数列｛an｝中，an=n.(V,则皿=9噂;=：x晦，

5Qnn(g)71"5n

令gx答＞1,解得?iV4,则当九＜4时，an+1＞an,即4＞。3＞。2＞。1，

同理当九＞4时，a„+1＜an,即的＞。6＞。7＞。8＞而当九=4时，a5=a4,

所以数列｛即｝的偶数项中最大项为图.

故选；D.

【变式8-1］（23-24高二下•上海虹口•期中）已知数列的=3+1）（-知:下列说法正确的是（）

A.｛即｝有最大项，但没有最小项B.｛册｝没有最大项，但有最小项

C.｛。〃｝既有最大项，又有最小项D.｛a"既没有最大项，也没有最小项

【解题思路】将｛eJ分奇偶项分别作差，判断出奇数项和偶数项的单调性，从而可得结果.

【解答过程】数列册=5+1）（-知：

2（k+1）2fc

当n=2k（kEN・）时，a2（k+1）-a2k=［2（k+1）4-l］（-^）-（2/c+l）（-^）=•借产，

所以当々<4时,a2（k+i）-a2k>°，a2k单调递增;

当A>5时，a2（k+i）-a2k<0,a2k单调递减，

故此时｛aj有最大项为由0；

2比一］2fc+1

当n=2k-l（keN*）时，公=-2k•管）,做（—~（2k+2）•管）,

42R-200，10、弘一1

a2k+l-«2fc-l="I.（77）'

所以当k44时，a2k+i-«2k-i<。2比一1单调递减；

当A>5时,a2k+i-«2k-i>0，。2”1单调递增，

故此时｛册｝有最小项为Qg,

综上，｛册｝既有最大项，又有最小项.

故迄C.

【变式8・2］（23-24高三上•重庆•阶段练习）数列｛an｝、｛bn｝满足:%=8,0n-%_】=8九（nWAT?N2）,

bn=再率I忌）,则数列也｝的最大项是（）

A.第7项B.第9项

C.第11项D.第12项

【解题思路】利用累加法得到即=4n2+4n,即可得到%=（2九+1）（卷），然后列不等式｛：：;：：；：求k即

可.

a-a=

【解答过程】—>2时，an-=8/，Qn-i-n-z=8（〃-1）»…，a2i16,将上式累加，得an—ar=

（i6+87；）（n-i）=（4九+8）（八一1）,解得即=4n24-4n（n>2）（对于n=1同样成立），故以=（2沱+1）得）»

令-5即13+呜门（2一）（旷［

晨—卜2人1）5）03+3）e厂

解得mwkyg,kez,故k=9,即第九项最大.

故选:B.

【变式8-3］（2024.北京海淀.三模）已知数列｛册｝的通项公式为册==，前〃项和为Sn,前〃项积为

则下列结论正确的个数为（）

①为既有最小值，乂有最大值，

②满足。“册+1册+2<0的〃的值共有6个；

③使又取得最小值的〃为7；

④加有最小值，无最大值；

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】化简为册=恶=1+高，利用数列的单调性，结合选项，逐项判定，即可求解.

【解答过程】对于①中，由数列｛Q"的通项公式为的=%=1+3，

可得，当nW7,neN-时，数列｛QJ的各项小于1，且｛&｝是单调递减数列；

当h28,九£旷时，数列｛Q,｝的各项大于1,且｛%｝是单调递减数列，

所以，数列｛册｝的最小项为。7=-7,最大项为。8=9,所以①正确；

对于②中，当〃€｛1,2,3｝时，满足0<Qn<l;

当九W｛4,5,6,7｝时，满足即V0；当九二8,"WN'时，许>1,

所以，满足%。计141+2V0时，〃=2,457,共有4个值，所以②不正确；

对于③中，当九W3,"€N*时，0<Qn〈l，随着n的增大而增大，且=

当ne｛4,5,6,7｝时，0n<0,S〃随着〃的增大而减小,

口

且Sr7=5­H31+----1---3----5--7<5.,

1131197531

当九28,九€14*时，%>1为正数，所以S“NS8>S7，

综上所述，使得又取得最小值的几为7,所以③正确；

对于④中，由上述中的讨论，可得在〃中，只有为负数，且北二76，

所以7；存在最小值「4或76，

从第8项开始，7；为正数，结合即>1,可知〃随着九的增大而增大，所以〃