2025-2026学年河南省光山县第二高级中学高二下学期5月份学情检测数学试题-含解析

/数学（分值：150分时间：120分钟）一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知向量，且与垂直，则的值为（）A. B. C. D.2.下列求导运算中正确的是（）A. B.C. D.3.甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（）A. B. C. D.4.设是定义在上的可导函数，则是为函数的极值点的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且，则的值为（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.46.抛物线（）的准线被圆所截得的弦长为4，则（）A.8 B. C.4 D.7.将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为A. B. C. D.8.若函数的最小值为，则（）A. B. C. D.二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.下列说法中正确的是(多选)（）A.回归直线恒过样本点的中心．B.两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1．C.在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位．D.某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变．10.安排语、数、英、物4位老师进班答疑，每位老师可选择周一至周五的某一天答疑，每人只安排一天，每天可以有多位老师答疑，则下列说法正确的是（）A.不同的安排方法共有种B.若恰有2位老师安排在同一天答疑，则不同的安排方法共有360种C.若4位老师的答疑日期都不相同，且数学和物理老师答疑的日期不相邻，则不同的安排方法共有36种D.若4位老师的答疑日期都不相同，因为数学是物理的基础，所以数学答疑必须排在物理答疑之前（可不相邻），则不同的安排方法共有60种11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）A.离心率的取值范围为B.当离心率为时，的最大值为3C.存在点，使得D.当离心率不小于时，的最小值为三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.已知双曲线的一条渐近线方程为，则______.13.等比数列的前项之积为，若，则___________．14.有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是_________________．四、解答题（共5小题，满分77分）15.已知数列满足点在直线上，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.16.在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在范围的人数，求X的分布列及均值；（3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在范围的人数，求Y的分布列及方差．17.如图，在三棱锥中，，，O为的中点，平面，.（1）求证：；（2）若M为棱的中点，求二面角的余弦值.18.设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点．（1）求抛物线的方程；（2）当最小时，求直线的方程；（3）设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．19.已知函数.（1）若，求的图象在点处的切线方程.（2）设函数.（i）讨论的零点个数；（ii）若的较大零点为，证明：.

数学（分值：150分时间：120分钟）一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知向量，且与垂直，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题可知：，则，又与垂直，则，得.2.下列求导运算中正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据导数的计算逐一判断即可.解答过程：，，，，故选：C3.甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据独立事件的概率乘法公式即可求解.解答过程：恰有一人成功破译的概率为.故选：D.4.设是定义在上的可导函数，则是为函数的极值点的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据极值点定义或举例判断和为函数的极值点之间的逻辑关系，即可得答案.解答过程：根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有；反之，当时，不一定为函数的极值点，比如，，满足，但在R上单调递增，即不是函数的极值点，故是为函数的极值点的必要不充分条件，故选：B5.在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且，则的值为（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4答案：A解析：思路：根据正态分布曲线的对称性，结合题设条件，即可求解.解答过程：因为服从正态分布，且，则，则.故选：A6.抛物线（）的准线被圆所截得的弦长为4，则（）A.8 B. C.4 D.答案：B解析：解答过程：抛物线的准线方程为，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，所以直线被圆所截得的弦长为，解得．7.将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：考点：条件概率与独立事件．分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故选A．8.若函数的最小值为，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据函数单调性结合零点存在定理得出，再根据导数得出函数单调性得出，最后结合指对数运算得出参数值.解答过程：因为函数，所以，在上单调递增，又因为，，所以，，所以单调递减，单调递增，所以，所以，又因为在上单调递减，所以，所以，则.二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.下列说法中正确的是(多选)（）A.回归直线恒过样本点的中心．B.两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1．C.在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位．D.某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变．答案：ABC解析：解答过程：对于A，回归直线恒过样本点的中心，正确；对于B，两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近，正确；对于C，根据回归系数的含义，线性回归方程，当变量每增加一个单位时，平均减少个单位，正确；对于D，根据平均数的计算公式得，由方差公式可得：，故错误10.安排语、数、英、物4位老师进班答疑，每位老师可选择周一至周五的某一天答疑，每人只安排一天，每天可以有多位老师答疑，则下列说法正确的是（）A.不同的安排方法共有种B.若恰有2位老师安排在同一天答疑，则不同的安排方法共有360种C.若4位老师的答疑日期都不相同，且数学和物理老师答疑的日期不相邻，则不同的安排方法共有36种D.若4位老师的答疑日期都不相同，因为数学是物理的基础，所以数学答疑必须排在物理答疑之前（可不相邻），则不同的安排方法共有60种答案：BD解析：解答过程：对于A，不同的安排方法共有种，A错误；对于B，恰有2位老师安排在同一天答疑，则不同的安排方法共有种，B正确；对于C，4位老师的答疑日期都不相同的总排法种，数学和物理老师答疑的日期相邻的排法有，所以数学和物理老师答疑的日期不相邻的排法有种，C错误；对于D，4位老师的答疑日期都不相同，且数学答疑必须排在物理答疑之前共有种安排方法，D正确；11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）A.离心率的取值范围为B.当离心率为时，的最大值为3C.存在点，使得D.当离心率不小于时，的最小值为答案：ABD解析：思路：由点在椭圆内部求得的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D.解答过程：由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则，对于A，由，得，则离心率，A正确；对于B，由，得椭圆的半焦距，由，得，因此的最大值为，B正确；对于C，由，得，而，则，以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误；对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则，于是，，因此，当且仅当时取等号，符合题意，D正确.三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.已知双曲线的一条渐近线方程为，则______.答案：解析：解答过程：由双曲线方程知其渐近线方程为：，一条渐近线方程为，，即.13.等比数列的前项之积为，若，则___________．答案：18解析：解答过程：由等比中项的性质可得T9所以log214.有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是_________________．答案：解析：思路：记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，即可得到，然后构造等比数列，求通项公式，然后根据对立事件的概率关系求解．解答过程：解：记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，则，，所以，，进而可得，，所以，又，，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故从第个盒子中取到黑球的概率是为：．故答案为：．四、解答题（共5小题，满分77分）15.已知数列满足点在直线上，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据等比数列的定义进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.（1）由题意得，因为，所以，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以的通项公式是.（2）由（1）知，，则，，两式相减，得，所以.16.在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在范围的人数，求X的分布列及均值；（3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在范围的人数，求Y的分布列及方差．答案：（1）（2）（3）D(解析：思路：（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为

1列方程求解；（2）确定评分大于

80

分的学生总数及在

范围内的人数，利用超几何分布概率公式计算各取值概率，进而求均值；（3）由频率估计概率确定单次抽取符合条件的概率，利用二项分布公式计算概率及方差.（1）由得；（2）评分在范围的学生共有人，评分在范围的学生共有人，所以评分大于80分的学生共有人，X的可能取值为，P(X=0)=C10所以X的分布列为;（3）抽到评分在范围的概率为，所以，的可能取值为，P(P(所以的分布列为DY17.如图，在三棱锥中，，，O为的中点，平面，.（1）求证：；（2）若M为棱的中点，求二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）连接，进而结合题意，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；（2）结合（1）的坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值即可.（1）连接，∵在中，且为的中点，∴，又∵平面，故以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，又，，故，，，，，∵，，∴，即，∴；（2）平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，∵，∴，，∴，即，令，则，，∴，∴，又∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.18.设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点．（1）求抛物线的方程；（2）当最小时，求直线的方程；（3）设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）根据抛物线的定义可得2，代入可得抛物线方程；（2）设直线的方程为，联立方程，通过韦达定理得到两根关系，利用抛物线焦半径性质，结合的结论，将目标式转化为单变量函数，利用基本不等式求最小值，得到等号成立条件后反推直线参数，最终得到直线方程；（3）先求出点的坐标，设以为直径的圆经过轴上的两个定点，，根据写出圆的方程，运用韦达定理和椭圆方程化简可求得、的坐标，即可证明圆恒过这两个定点.（1）由抛物线的定义可得，解得2.所以抛物线的方程为.（2）由（1）可知抛物线的焦点，设直线的方程为，，.联立直线与抛物线的方程，可得.所以，.根据抛物线的定义，，，又因为