2025-2026学年黑龙江海林市朝鲜族中学高一下学期第二次考试数学试题-含解析

/数学一、单项选择题（每小题5分共40分）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.用符号语言表示下列语句，正确的个数是()（1）点A在平面内，但不在平面内：，．（2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，．（3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，．（4）直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M：.A.1 B.2 C.3 D.43.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（）A. B. C. D.4.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为，则圆锥PO的体积为（）A. B. C. D.5.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（）A. B. C. D.6.如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（）①；②CD与EF是共面直线；③；④GH与EF是异面直线．A.①② B.②③ C.③④ D.①②④7.在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为棱，上的动点（可与端点重合），若面，则线段的长度为（）A. B. C. D.8.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分）9.已知复数，则（）A.B.C.D.若关于的方程的一个根为，则10.已知的三边长分别是，，，则（）A.以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为B.以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为C.以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的表面积为D.以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为11.在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是（）A.正四面体的体积为B.正四面体外接球的表面积为C.正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值D.正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为三、填空题(每小题5分，共15分）12.若复数，则__________13.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．14.已知正四面体中，，，，记三棱锥和三棱锥的体积分别为、，则______．四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分）15.已知复数，i为虚数单位．（1）求z的共轭复数；（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值．16.如图所示，在正六棱锥中，O为底面中心，，．（1）求该正六棱锥的体积和侧面积；（2）若该正六棱锥的顶点都在球M的表面上，求球M的表面积和体积．17.的内角A，B，C的对边分别为，已知.（I）求B；（II）若的周长为的面积.18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．（1）求证：QN平面PAD；（2）记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．19.如图所示，为平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别为AB,PC的中点，平面PAD平面PBC＝.(1)求证：BC∥；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．

数学一、单项选择题（每小题5分共40分）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：首先由复数的除法运算化简，再结合复数的概念与几何意义即可得结论.解答过程：由题意知，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选：D.2.用符号语言表示下列语句，正确的个数是()（1）点A在平面内，但不在平面内：，．（2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，．（3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，．（4）直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M：.A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：将文字语言翻译成符号语言时，可先确定涉及几个空间元素，即有几个点、几条直线、几个平面，再确定点线面的位置关系,从而可以得出结论.解答过程：（1）点A在平面内应表示为：，点A不在平面内应表示为,故错误；（2）由题意点A在直线a上，不在平面内，直线a不在平面内，故表示为：，，，故正确.（3）平面与平面相交于直线l，表示为，l经过点P，点P在直线l上，.故正确.（4）错误，缺少，故错误，所以（2）（3）正确.故选：B.3.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据斜二测作图规则，将直观图还原为平面图形，即可求解.解答过程：由直观图可得如下平面图形：则，，，所以.故选：D.4.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为，则圆锥PO的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设，根据题意列方程求出即可进一步求解.解答过程：设，则母线，所以，解得，故所求为.故选：B.5.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据棱台的体积公式，求出，即可解出.解答过程：设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，则，所以.故选：D.6.如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（）①；②CD与EF是共面直线；③；④GH与EF是异面直线．A.①② B.②③ C.③④ D.①②④答案：D解析：思路：利用展开图还原为正方体，找重合的点与重合的棱，根据立体图形判断即可．解答过程：由图可知，还原正方体后，点C与G重合，点F与B重合，则，故①正确；可知CD与EF是平行直线，即共面直线，故②正确；AB与EF是相交直线，故③错误；GH与EF是异面直线，故④正确．7.在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为棱，上的动点（可与端点重合），若面，则线段的长度为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题可证即为，因此可得.解答过程：如图在中，，又平面，平面，所以面，因为点P，Q分别为棱，上的动点（可与端点重合），面，所以即为，因此，故选：B.8.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．解答过程：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分）9.已知复数，则（）A.B.C.D.若关于的方程的一个根为，则答案：BD解析：思路：根据复数的模定义A，根据共轭复数的性质判断B，根据虚数单位的周期性判断C，根据复数的乘法加法及复数相等判断D.解答过程：复数，则，故A错误；因为，故B正确；因为，故C错误；因为的方程的一个根为，所以，由复数相等可知，即，故D正确.故选：BD10.已知的三边长分别是，，，则（）A.以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为B.以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为C.以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的表面积为D.以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为答案：AD解析：思路：以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是圆锥，求出其侧面积和体积，可知A正确，B错误；以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是两个同底的圆锥组合体，求出其表面积和体积，可知C错误，D正确．解答过程：以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为，体积为，故A正确，B错误；以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为，母线长分别为3和4的两个圆锥组合体，表面积为，体积为，故C错误，D正确．故选：AD．11.在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是（）A.正四面体的体积为B.正四面体外接球的表面积为C.正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值D.正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为答案：BCD解析：思路：对于A,作出正四面体的高,利用勾股定理可求其值，计算体积即可；对于B，确定外接球球心在高上，利用直角三角形，建立方程，解出后进一步计算即可；对于C，以点为顶点构造四个三棱锥，利用等体积法即可求解；对于D，作出棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形，设其边长为，其内切圆为所求圆柱的上底面，根据条件建立方程，求出底面圆半径后，求得圆柱侧面积，利用函数的性质求最值即可.解答过程：由于正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，故棱长为2，如下图所示，为底面中心，为的中点则共线，为正四面体的高，故，所以,故四面体的体积为，故A错误；由题意，正四面体外接球球心在上，且半径,所以，则,故外接球的表面积为，故B正确；正四面体内一点，设到四个面的距离分别为，则正四面体的体积，故，即正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，故C正确；如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接圆柱的一个上底面，若截面所成正三角形边长为，则圆柱的高，圆柱底面半径为，所以其侧面积，故当时，，D正确，故选：BCD.三、填空题(每小题5分，共15分）12.若复数，则__________答案：解析：思路：先求出复数，再求出求从而可求解.解答过程：因为，所以．故答案为：.13.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．答案：解析：解答过程：分析：根据等体积法：即可：详解：由题可得=,故答案为点睛：本题考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．14.已知正四面体中，，，，记三棱锥和三棱锥的体积分别为、，则______．答案：解析：思路：由题意得到高得比值以及底面积的比值，代入体积公式即可得解解答过程：作平面，作平面，则，，共线，由，得，由，，得，可得．故答案为：四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分）15.已知复数，i为虚数单位．（1）求z的共轭复数；（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据复数的运算可得，即可得共轭复数；（2）可知：、是方程的根，利用韦达定理即可得结果.（1）因为，所以z的共轭复数.（2）由题意可知：、是方程的根，则，即.16.如图所示，在正六棱锥中，O为底面中心，，．（1）求该正六棱锥的体积和侧面积；（2）若该正六棱锥的顶点都在球M的表面上，求球M的表面积和体积．答案：（1），（2）表面积为，体积为解析：思路：(1)正六棱锥的几何特征，再应用体积和侧面积公式求解即可;(2)正六棱锥的几何特征，根据球的表面积和体积求解即得.（1）由条件可知正六边形ABCDEF的边长为4，所以底面积为，该正六棱锥的体积为．正六棱锥的侧棱长为，侧面等腰三角形的面积为，故该正六棱锥的侧面积为．（2）球心M一定在直线SO上，设球M的半径为R，则，又，所以，解得．所以球M的表面积为，体积为17.的内角A，B，C的对边分别为，已知.（I）求B；（II）若的周长为的面积.答案：（Ⅰ）(Ⅱ)解析：思路：（Ⅰ）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，求出B的值；（Ⅱ）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．解答过程：（Ⅰ）,，,，.,.(Ⅱ)由余弦定理得，，，，.方法提示：本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用．18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．（1）求证：QN平面PAD；（2）记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．答案：（1）证明见解析（2）l平面PBD，证明见解析解析：思路：（1）推导出QNAD，由此能证明QN平面PAD；（2）连接BD，则MNBD，从而MN平面ABCD，由线面平行的性质得MNl，从而BDl，由此能证明l平面PBD．（1）证明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．∴QNBC，BCAD，∴QNAD，∵QN平面PAD，AD⊂平面PAD，∴QN平面PAD；（2）直线l与平面PBD平行，证明如下：∵M，N分别为PD，PB的中点，∴MNBD，∵BD⊂平面ABCD，MN平面ABCD，∴MN平面A