2025-2026学年黑龙江省绥化市青冈县第一中学校高一下学期期中考试（腾飞卷）数学试题-含解析

/数学考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设复数，则其共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.2.若，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，则下列说法不正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则或3 D.若，则与的夹角为4.如图所示，平面四边形中，，，，，，则的长为（）A. B. C. D.5.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形7.为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（）A.2 B.8 C.9 D.18二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若点的坐标为，则对应的点在第三象限B.若，则点的集合所构成的图形的面积为C.若，则的模为7D.若是关于的方程的一个根，则10.已知函数（），则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于轴对称B.函数的最小正周期为C.点为函数图象的一个对称中心D.函数的最大值为111.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（）A. B.外接圆的面积为C.面积的最大值为 D.周长的最大值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则______.13.已知中，，则外接圆半径为____________.14.如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.当实数为何值时，复数满足下列条件？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．16.已知，．（1）设向量，的夹角为，求的值；（2）若和互相垂直，求k的值；（3）求向量在向量上的投影向量．17.已知向量，，，设函数；（1）将函数化为的形式；（2）求的最小正周期与单调递增区间；（3）对，不等式恒成立，求m的取值范围．18.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求B；（2）若D是边AC上靠近A的三等分点，，，求的面积；（3）若BD是的角平分线，，，求b的长．19.在中，角、、所对的边分别为、、，且，.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的周长．（3）若，求周长的取值范围.

数学考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设复数，则其共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由复数的运算化简，再求出共轭可得.解答过程：，所以，其虚部为.故选：A.2.若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：应用二倍角余弦公式计算求解.解答过程：因为，则.3.已知向量，，则下列说法不正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则或3 D.若，则与的夹角为答案：A解析：思路：应用平行向量的坐标运算计算判断A，应用向量垂直的坐标运算判断B，根据模长公式计算求解判断C，应用夹角余弦公式计算判断D.解答过程：向量，，若，则，即，A选项不正确；若，则，即，B选项正确；若，则，所以，解得或3，C选项正确；若，则向量，，即，设与的夹角为，则与的夹角余弦为，则与的夹角为，D选项正确；4.如图所示，平面四边形中，，，，，，则的长为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由正弦定理得，进而结合余弦定理计算得.解答过程：解：由正弦定理，，即，故，所以，所以，所以由余弦定理，.故选：D．5.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，用表示向量，再借助共线向量定理的推论求解作答.解答过程：因，则，又，于是得，而不共线，点在直线上，因此，解得，所以实数的值为.故选：D6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形答案：B解析：思路：首先边化为角，再结合三角恒等变换，求得，即可判断三角形的形状解答过程：移项得，可化为，展开得，整理得，又，所以，即，则为直角三角形.故选：B．7.为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案：A解析：解答过程：试题分析：由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），故只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,故选A.考点：本题主要考查三角函数图象变换，三角函数解析式.点评：基础题，根据图象求函数解析式及三角函数图象的变换均是高考常见题目，本题将二者结合在一起，解得思路明确，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求.8.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（）A.2 B.8 C.9 D.18答案：C解析：思路：由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.解答过程：由题意，，又共线，则，且，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为9.故选：C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若点的坐标为，则对应的点在第三象限B.若，则点的集合所构成的图形的面积为C.若，则的模为7D.若是关于的方程的一个根，则答案：ABD解析：思路：本题根据复数的模长，复数的几何意义以及根与系数的关系即可求解.解答过程：A选项，因为点的坐标为在第二象限，则对应的点为，所以在第三象限，故A选项正确；B选项，，则依据复数模长的几何意义可知，表示一个圆环，面积为，故B选项正确；C选项，，则，故C选项错误；D选项，是关于的方程的一个根，则其共轭复数也是方程的根，则常数项，故D选项正确；故选：ABD10.已知函数（），则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于轴对称B.函数的最小正周期为C.点为函数图象的一个对称中心D.函数的最大值为1答案：BD解析：思路：根据三角恒等变换可得，结合正弦函数性质逐项分析判断.解答过程：由题意可得：，对于选项A：因为不为最值，所以函数的图象不关于轴对称，故A错误；对于选项B：函数的最小正周期为，故B正确；对于选项C：因为，所以点不为函数图象的一个对称中心，故C错误；对于选项D：当，即时，函数取到最大值为1，故D正确；故选：BD.11.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（）A. B.外接圆的面积为C.面积的最大值为 D.周长的最大值为答案：BC解析：思路：A.利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换求解；B.利用正弦定理求解；C.利用余弦定理，结合基本不等式求解；D.利用余弦定理，结合基本不等式求解.解答过程：因为，由正弦定理得，因为，所以，则，即，故A错误；由正弦定理得外接圆的半径为，即，所以外接圆的面积为，故B正确；由余弦定理得，即，则，当且仅当时，等号成立，所以三角形的面积为：，故C正确；由，得，则，当且仅当时，等号成立，所以三角形的周长为，故D错误，故选：BC三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则______.答案：解析：思路：根据向量的坐标表示求出向量的坐标，再根据向量模长计算求解即可解答过程：因为，所以向量，13.已知中，，则外接圆半径为____________.答案：####解析：思路：根据正弦定理，即可求解.解答过程：中，，根据正弦定理可知，，即，得.故答案为：14.如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________．答案：##解析：思路：以为基底表示，结合向量的数量积运算求得正确答案.解答过程：在正方形中，因为为AD中点，所以，且，则，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.当实数为何值时，复数满足下列条件？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．答案：（1）（2）且（3）解析：思路：（1）根据复数是实数列式计算求参；（2）根据复数是虚数列式计算求参；（3）根据复数是纯虚数列式计算求参.（1）当即时，复数是实数．（2）当，且，即且时，复数是虚数．（3）当即时，复数是纯虚数．16.已知，．（1）设向量，的夹角为，求的值；（2）若和互相垂直，求k的值；（3）求向量在向量上的投影向量．答案：（1）（2）或．（3）解析：思路：（1）应用向量夹角余弦公式计算求解；（2）根据向量垂直得出数量积为0计算求解；（3）应用投影向量公式结合数量积坐标公式计算求解.（1）因为，，所以，，，所以．（2）因为，，则，，因为和互相垂直，所以，即，整理得，解得或．（3）向量在向量上的投影向量为17.已知向量，，，设函数；（1）将函数化为的形式；（2）求的最小正周期与单调递增区间；（3）对，不等式恒成立，求m的取值范围．答案：（1）（2），（3）．解析：思路：（1）平面向量的数量积公式结合二倍角公式及辅助角计算化简；（2）应用正弦函数周期及单调区间计算求解；（3）结合恒成立，利用正弦函数最值计算求解.（1），（2），由得，故的递增区间为；（3），恒成立由，得，故时，，，∴实数的取值范围是．18.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求B；（2）若D是边AC上靠近A的三等分点，，，求的面积；（3）若BD是的角平分线，，，求b的长．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式计算，最后应用特殊值的余弦计算求解；（2）应用向量的数量关系列式平方结合数量积的定义及运算律计算得出，最后应用面积公式计算求解；（3）应用面积公式计算得出，最后结合余弦定理求解.（1）由正弦定理得，，又，所以，则，化简得，，在中，，所以，又因为，所以．（2）因为是边上靠近的三等分点，所以，所以，又因为，，，所以，化简得，即，解得或（舍去），所以；（3）已知平分，且，故，由得；将，代入得，解得．，．19.在中，角、、所对的边分别为、