2025-2026学年湖北省荆州市沙市五中高一下学期5月月考数学试题-含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.1.复数（）A. B. C. D.2.如图，是的直观图，其中，则是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.锐角三角形3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度4.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则（）A. B. C. D.5.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.6.设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.7.在中，若，，，则满足条件的三角形有（）个A. B.1 C.2 D.不确定8.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（）A.1m B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知复数，则（）A.B.C.为纯虚数D.在复平面内对应的点位于第四象限10.已知直线，平面，则下列说法错误的是（）A.，则B.，则C.，则D.，则11.在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，Q是棱上动点，N为线段的中点，下列命题正确的是（）A.与异面B.C、M、N、Q四点共面C.过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面是梯形D.三棱锥的体积是定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量满足，的夹角为60°，则=______；13.设向量,若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是__________．14.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，且满足条件，，，，，，则球O的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程胡演算步骤.15.在，角所对的边分别为，已知，．（1）求a的值；（2）求的值；（3）求的值．16.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．（1）求证：平面．（2）求三棱柱的表面积；17.在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是的中点，平面平面证明：（1）（2）平面EFG∥平面PBC．18.已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，（1）若，求角的大小；（2）在（1）的条件下，，求的取值范围．19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；（3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.1.复数（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据复数的除法运算法则进行计算即可解答过程：2.如图，是的直观图，其中，则是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.锐角三角形答案：B解析：思路：根据斜二测画法的规则,由直观图中线段与坐标轴的平行关系及长度关系,还原出原三角形的形状.解答过程：由直观图可知，轴，轴.根据斜二测画法的规则，原图形中轴，轴.因为在平面直角坐标系中轴轴，所以，即，所以是直角三角形.又根据斜二测画法的长度规则，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半，所以，.因为已知，所以，所以不是等腰三角形.3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度答案：D解析：解答过程：∵目标函数为，可变形为，此式是将中的替换为得到.∴要得到的图象，只需将的图象上所有点向左平移个单位长度.4.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用角终边上一点坐标求出,再利用诱导公式可得到结果.解答过程：已知角终边上一点,则,根据三角函数定义得,所以.5.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据三角函数的性质依次判断各项对应函数的最小正周期、区间单调性，即可得.解答过程：解：对于A，，最小正周期，不符合题意；对于B，，最小正周期为，在区间上单调递增，不符合题意；对于C，，函数的图象如下：故不是周期函数，不符合题意；对于D，，函数图象如下：最小正周期为，在区间上单调递减，符合题意．6.设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意得到在方向上的投影向量为，再计算求解即可.解答过程：所以在方向上的投影向量.故选：D.7.在中，若，，，则满足条件的三角形有（）个A. B.1 C.2 D.不确定答案：C解析：思路：直接利用来判断三角形解得情况.解答过程：在中，，，，则，所以，有两解.故选：C.方法提示：本题考查的知识要点：三角形解的情况的应用，属于基础题．8.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（）A.1m B. C. D.答案：B解析：思路：将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径.解答过程：将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形，蚂蚁从爬行一周后回到（记作），作，如下图所示：由最短路径为，即，由圆的性质可得，即扇形所对的圆心角为，则圆锥底面圆的周长为，则底面圆的半径为，故选：B.方法提示：本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知复数，则（）A.B.C.为纯虚数D.在复平面内对应的点位于第四象限答案：ABD解析：思路：根据复数的乘法求出复数，再根据复数的相关知识逐项判断即可.解答过程：，，A正确；，B正确；不是纯虚数，C错误；在复平面内对应的点位于第四象限，D正确.故选：ABD.10.已知直线，平面，则下列说法错误的是（）A.，则B.，则C.，则D.，则答案：ABC解析：思路：根据线面之间的基本关系判断A，根据面面平行的判定定理判断BCD.解答过程：选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误；选项B中，与也可能相交，故B错误；选项C中，与也可能相交，故C错误；选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确．故选：ABC．11.在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，Q是棱上动点，N为线段的中点，下列命题正确的是（）A.与异面B.C、M、N、Q四点共面C.过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面是梯形D.三棱锥的体积是定值答案：ABD解析：解答过程：对于A选项，平面，平面，而与异面，A正确；对于B选项，M为底面的中心，与确定平面，平面，、M、N、Q四点共面于平面，B正确；对于C选项，当Q与重合时，该截面为，C错误；对于D选项，（定值），D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量满足，的夹角为60°，则=______；答案：解析：解答过程：13.设向量,若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是__________．答案：解析：思路：由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值．解答过程：∵与的夹角为锐角，∴，即，解得，当与共线时，可得，解得，所以当时，与同向，∴实数的取值范围是．14.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，且满足条件，，，，，，则球O的表面积为______.答案：解析：思路：由，，，结合长方体模型得出球O的半径，进而得出球O的表面积.解答过程：由题意可知，，，，可得，所以，即，同理可得，，，以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体.由于点P，A，B，C都在球O的球面上，显然长方体内接于球O，其对角线PF长就是球O的直径，所以，，所以球O的表面积.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程胡演算步骤.15.在，角所对的边分别为，已知，．（1）求a的值；（2）求的值；（3）求的值．答案：（1）；（2）；（3）解析：思路：（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.解答过程：（I）因为，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.16.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．（1）求证：平面．（2）求三棱柱的表面积；答案：（1）连接交于点，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点．因为为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）分别求三棱柱每个面的面积相加即可.（1）略（2）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，所以侧面，，均为矩形．因为，所以底面，均为直角三角形．因为，，所以．所以三棱柱的表面积为．17.在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是的中点，平面平面证明：（1）（2）平面EFG∥平面PBC．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证.（2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证.（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，可得是的中点，而是的中点，则，又平面，平面，则平面，而平面平面，平面，所以（2）由G，F分别是PA，AC的中点，得，又平面，平面，则平面．由（1）知，又平面，平面，则平面，又因为，，平面，所以平面平面.18.已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，（1）若，求角的大小；（2）在（1）的条件下，，求的取值范围．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据数量积可得，结合为锐角，即可得到结论；（2）利用正弦定理把化为角，再进一步利用三角公式化为，再结合的范围即可得到结论.解答过程：（1）由题意，，即，又，所以，，即.（2）由正弦定理得，即，，∴，即，在锐角三角形中，由，即，得，∴，∴，∴，故的取值范围为．方法提示：本题考查了数量积，三角函数求值，三角变换等基础知识，属于基础题.19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；（3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．答案：（1）（2），（3）解析：思路：（1）由相伴函数的定义结合辅助角公式得函