2025-2026学年湖北省武汉市青山区高二下学期调研考试数学试题-含解析

/数学满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上．1.若的展开式中常数项为15，则实数a的值为（）A.2 B.1 C. D.2.已知随机变量，，若，，则（）A.2 B.3 C.4 D.93.已知正态分布，若，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.64.已知线性相关的两个变量、的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（）A. B. C. D.5.已知，，且和的分布密度曲线如图所示，则（）A. B.C. D.6.在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．如图1所示，杨辉三角第6行的7个数依次为，．将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如图2，则在这个新的三角数阵中，第100行的所有数的和为（）A. B. C. D.7.设随机变量的分布列为，且，则（）A.数列是等比数列 B.C.数列前7项之和为 D.8.若对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上．9.下列命题正确的是（）A.线性回归直线必然过样本中心点B.在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好C.已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数r越接近于1D.正态曲线当一定时，越小，这条曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖”10.已知，下列说法正确的是（）A.在处的切线方程为 B.的单调递增区间为C.的极大值为 D.方程有两个不同的解11.将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到、、三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（）A.共有300种不同的分配方法B.甲分配到学校的概率为C.若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法D.甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡对应题目的相应位置上．12.设，，，则_____．13.在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点按下述规则移动：点每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为．点移动4次后，点在直线上的概率为___________．14.将4名某医科大学的学生分配到3个不同的医院实习，每个大学生被分配到每个医院的概率均等且相互独立．分配结束后，设实际有大学生分配实习的医院个数为，则数学期望________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡对应题目的相应位置上．15.已知函数（1）求在处的切线方程．（2）求的单调区间．（3）求在区间上的最值．16.袋子装有4个黑球，6个白球．（1）每次从袋子中取出1个球，若有放回地抽取2次，求恰好取到1个黑球的概率；（2）每次从袋子中取出1个球，若不放回地抽取2次，求取到黑球数X得分布列及期望；（3）每次从袋子中取出2个球，若是不放回地抽取，求第二次抽到2个黑球的概率．17.已知数列的前项和为，．（1）证明：是等差数列；（2）若，求的取值范围．18.2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”.（1）求的值；（2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望.（3）用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？19.已知函数，．（1）当时，求曲线过点的切线方程；（2）若对任意，都有成立，求的取值范围；（3）设，，求的小数点后第一位数字（如：自然对数的底数的小数点后第一位数字为7，的小数点后第一位数字为6）．

数学满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上．1.若的展开式中常数项为15，则实数a的值为（）A.2 B.1 C. D.答案：C解析：思路：利用二项展开式的通项公式确定常数项的表达式，结合已知常数项的值列方程求解实数a。解答过程：首先写出展开式的通项，要求常数项，令的指数为0，即，解得.将代入通项，得常数项为，计算得，因此常数项为.由题知常数项为15，故，解得，即.2.已知随机变量，，若，，则（）A.2 B.3 C.4 D.9答案：B解析：思路：结合正态分布与二项分布性质计算即可得.解答过程：由，，则，，由，则，，由，则，故，则，故.3.已知正态分布，若，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6答案：A解析：思路：对于正态分布，则正态曲线关于直线对称，然后利用对称性即可求解.解答过程：因为正态分布，所以正态曲线关于直线对称，即，又因为，所以，因为和关于对称，所以.4.已知线性相关的两个变量、的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用回归直线过样本中心点求出的值，再利用残差的概念可得结果.解答过程：由表格中的数据可得，，由于回归直线过样本中心点，所以，解得，当时，，故当时的残差为.5.已知，，且和的分布密度曲线如图所示，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由密度曲线结合正态分布性质求解即可.解答过程：由题图可知，，则，即，所以A错误；根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误；由图可知，，所以C正确；由图可知，，所以D错误．6.在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．如图1所示，杨辉三角第6行的7个数依次为，．将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如图2，则在这个新的三角数阵中，第100行的所有数的和为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据杨辉三角的特性、二项展开公式结合函数的导数分析求解即可.解答过程：由题可得杨辉三角中第行的第个数为，则新的三角数阵中第行的第个数为，第行的和为：，设，两边求导得：，令得，，所以第行的和为，第100行的所有数的和为．7.设随机变量的分布列为，且，则（）A.数列是等比数列 B.C.数列前7项之和为 D.答案：D解析：思路：利用累积概率与分布列关系推导出的递推公式，进而求出通项，再结合分布列概率总和为1确定首项，最后逐个分析选项即可.解答过程：因为，，则当时，，代入得，化简得;由递推式：，即;由分布列概率总和为1可得：，即.选项A，因为，所以，，所以数列不是等比数列，A错误；选项B，，B错误；选项C，因为，所以前7项和为：，C错误；选项D，期望，D正确.8.若对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：通过分离参数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可.解答过程：对任意恒成立等价于对任意恒成立，令，则，故等价于对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则，令，即，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得最大值，为.要使对任意恒成立，只需.实数的取值范围为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上．9.下列命题正确的是（）A.线性回归直线必然过样本中心点B.在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好C.已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数r越接近于1D.正态曲线当一定时，越小，这条曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖”答案：ABD解析：思路：直接利用线性回归直线以及决定系数、相关系数、正态分布曲线的特点，对选项逐一判断即可.解答过程：对于A，线性回归直线必然经过样本中心点，这是线性回归的基本性质，故A正确；对于B，决定系数是衡量回归模型拟合效果的重要指标，其值越大（越接近），说明模型解释因变量变异的能力越强，即拟合效果越好，故B正确；对于C，相关系数的绝对值越接近，表示两个变量的线性相关性越强，故C错误；对于D，正态分布中，当固定时，越小，曲线越“瘦高”，数据越集中；越大，曲线越“矮胖”，数据越分散；故D正确.10.已知，下列说法正确的是（）A.在处的切线方程为 B.的单调递增区间为C.的极大值为 D.方程有两个不同的解答案：ACD解析：思路：利用导数的正负来判断函数的单调性，借助取值规律可判断各选项.解答过程：由的定义域为，则求导得：

，当时，，故切点为；该点处的切线斜率，由点斜式得切线方程为，故A正确；令，得，解得，所以的单调递增区间为，故B错误；令，得，当时，，所以的单调递减区间为，因此在处取极大值，且极大值为，故C正确；由的极大值，且在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，即的取值从递增到，此时与​有1个交点；的取值再从递减到，此时与有另1个交点；因此方程有两个不同解，故D正确.11.将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到、、三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（）A.共有300种不同的分配方法B.甲分配到学校的概率为C.若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法D.甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为答案：BCD解析：思路：根据计数原理及排列组合知识，结合古典概型的概率计算公式求解即可.解答过程：对于A，5位教师分配到三所学校支教，每所学校至少分配一位教师，有2种分组情况：分组为1,1,3时，分配方法有种；分组为2,2,1,时，分配方法有种；故总分配方法有种，A错误.对于B，学校只有甲，分配方法有种；学校有2位老师，分配方法有种；学校有3位老师，分配方法有种；故甲分配到学校的总分配方法有种，概率为，B正确.对于C，将甲乙绑定为1组，共4组，分配方法有种，C正确.对于D，甲乙均分配到学校，分配方法有种，甲分配到学校，乙分配到学校时，3位老师都分配到学校，分配方法有种，2位老师分配到学校，分配方法有种，1位老师分配到学校，分配方法有种，故甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的总分配方法有种，概率为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡对应题目的相应位置上．12.设，，，则_____．答案：##解析：思路：根据对立事件及全概率公式求解．解答过程：，，则．13.在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点按下述规则移动：点每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为．点移动4次后，点在直线上的概率为___________．答案：解析：思路：因为点移动4次后，点在直线上，所以点水平移动的次数为偶数，计算概率得到答案.解答过程：因为点移动4次后，点在直线上，所以点水平移动的次数为偶数.第一种情况，点水平移动2次（即向右移动2次，向左移动0次），，第二种情况，点水平移动4次（即向右移动3次，向左移动1次），，则所求的概率．14.将4名某医科大学的学生分配到3个不同的医院实习，每个大学生被分配到每个医院的概率均等且相互独立．分配结束后，设实际有大学生分配实习的医院个数为，则数学期望________．答案：##解析：思路：先确定随机变量的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据数学期望公式计算.解答过程：的可能取值为，总分配情况数为，当时，即4名学生全部分配到同一家医院；当时，即只有2个医院有学生实习：先选2个医院：，4人分配至这2个医院，排除全在其中1个医院的情况：；当时，即3个医院均有学生实习，人数分配为：选1个医院安排2名学生：，从4人中选2人分配至该医院：，剩余2人分配至剩下2个医院：所以，，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡对应题目的相应位置上．15.已知函数（1）求在处的切线方程．（2）求的单调区间．（3）求在区间上的最值．答案：（1）切线方程为；（2）单调递减区间为，单调递增区间为；（3）最小值为，最大值为.解析：思路：（1）先确定函数定义域并求导，利用导数几何意义求切线方程；（2）通过分析导函数符号确定单调区间；（3）比较区间内极值点和端点的函数值得到最值.（1）函数的定义域为，，所以，即切点为，，由点斜式得切线方程为，即.（2）将导函数整理为，令，解得，令，解得，所以单调递减区间为，单调递增区间为.（3）由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，计算端点与极值点的函数值：比较大小：，因此：最小值为；最大值为.16.袋子装有4个黑球，6个白球．（1）每次从袋子中取出1个球，若有放回地抽取2次，求恰好取到1个黑球的概率；（2）每次从袋子中取出1个球，若不放回地抽取2次，求取到黑球数X得分布列及期望；（3）每次从袋子中取出2个球，若是不放回地抽取，求第二次抽到2个黑球的概率．答案：（1）（2）分布列见解析，（3）解析：思路：（1）由独立重复实验的概率计算即可求解；（2）由题可知，的可能取值为，然后求出对应概率，即可得出分布列及期望；（3）利用全概率公式计算即可．（1）设恰好取到1个黑球为事件，由题可知，每次抽到黑球的概率为，所以．（2）由题可知，的可能取值为，则，，，所以的分布列为：012则．（3）设第二次抽到2个黑球为事件，设第一次取到2个球为事件，其中含个白球分别为事件，则，，由题可知，，，，所以．17.已知数列的前项和为，．（1）证明：是等差数列；（2）若，求的取值范围．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据可得，两式相减即可求解；（2）由（1）得到的表达式，分别讨论为奇数和偶数的情况即可求解.（1）当时，，所以，当时，，又因为，所以，即，所以，所以，所以是以为首项，公差为的等差数列．（2）由（1）得，，，，，设，则变为对任意正整数恒成立，当，，；当，，，因为，所以，当时，，即；当时，，即，故，，所以，解得或，因此的取值范围为．18.2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”.（1）求的值；（2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望.（3）用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？答案：（1）（2）（3）012解析：思路：（1）根据频率之和为1即可求解；（2）根据超几何分布的概率求解分布列，即可求解；（3）根据二项分布以及组合数的计算即可求解.（1）由，解得.（2）由频率分布直方图可知，[40,60）与[80,100）的用户数之比为3：4，所以用