2025-2026学年湖南省衡阳市常宁市第一中学高一下学期5月期中素质评价数学试题-含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则（）A.0 B.1 C.2 D.2.已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（）A.4 B.5 C.6 D.73.“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（）A.60 B.90 C.120 D.1504.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若,,则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则5.某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（）A.95 B.93.5 C.92.5 D.926.已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（）A. B. C. D.7.在中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（）A. B.C. D.8.已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（）A. B. C. D.10.为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（）A.样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为30B.样本数据的极差一定小于100C.样本数据的中位数约为53D.估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5%11.在中，角所对的边分别为,已知，，则（）A.B.的取值范围是C.周长的最大值为6D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量与垂直，则_________．13.如图所示的是水平放置的的斜二测画法的直观图，已知，，则在中，_________．14.有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设，是两个不共线的向量．（1）若向量，，的起点相同时，它们的终点共线，求实数的值；（2）若，且与的夹角为，，求的最小值．16.某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表）（2）若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差．17.如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，平面与平面的交线为，过，，三点的平面将正方体分成体积为，的两部分，且．（1）求与所成角的大小；（2）求实数的值．18.如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值．19.在中，角，，的对边分别为，，，已知，为边上一点．（1）求；（2）若是的平分线，，的周长为，求的长度；（3）若，，求实数的取值范围．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则（）A.0 B.1 C.2 D.答案：D解析：思路：根据复数分母有理化知识点，将化简，得到，再代入得到，最后运用模长公式求得结果。解答过程：对进行分母有理化，分子分母同时乘以分母的共轭复数，可得：.计算：将代入可得：.对于复数，其模为，所以：.2.已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：A解析：思路：运用向量投影，向量的概念以及向量数量积的计算解决问题.解答过程：向量在向量上的投影向量的模等于，已知该模为2，，则有，解得.3.“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（）A.60 B.90 C.120 D.150答案：C解析：思路：根据分层随机抽样的比例分配原则求解即可.解答过程：因为A校2400人、B校1800人、C校1200人，所以A校人数在三所高中人数中占比为，所以按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人时，A校应抽取的人数为.4.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若,,则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则答案：D解析：思路：根据线线，线面，面面的位置关系判断选项.解答过程：A.若,,则与相交，平行，或在面内，故A错误；B.若，，只有与两平面的交线垂直，才有，故B错误；C.若，，则与相交或平行，故C错误；D.若，，，则，故D正确.5.某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（）A.95 B.93.5 C.92.5 D.92答案：B解析：解答过程：因为，所以10个数据的第40百分位数是第4个和第5个数的平均数，即.6.已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：确定正三棱锥底面中心的位置，结合图形确定侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正弦的定义计算所求正弦值.解答过程：如图所示，正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，取中点，连接、，由正三棱锥性质，，，可知是侧面与底面所成二面角的平面角，且（棱锥的高），，为直角三角形.由底面正三角形边长为，其高为，正三角形中心分高的比为，可知中心到边的距离：.在中：，二面角的正弦值：.7.在中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：首先设，再根据条件和三点共线，求，即可求解.解答过程：由条件可知，，即，因为点三点共线，所以，得，所以.8.已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：分析翻折后的几何关系，确定外接球的球心和半径，结合截面性质和等体积法求解球心到截面的距离，进而计算截面面积.解答过程：如图所示，设正方形对角线、交于原点，原正方形边长为，因此对角线长，可得：.翻折后，，的垂直关系不变，因此二面角的平面角为，结合，可得为等边三角形，.由于翻折后四个顶点到的距离均为，因此就是三棱锥外接球的球心，外接球半径，.结合图形和球的截面性质可得：（为截面圆半径，为球心到截面的距离），由：由平面，，因此平面平面，交线为，是直角三角形（），.因为是边长为2的等边三角形，到的距离为，所以到平面的高为，则，又在中，，，等腰三角形的高为，所以，由，代入得：，所以，因此截面面积为：.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（）A. B. C. D.答案：ABC解析：解答过程：复平面内的点在虚轴上，则实部为，即，化简得，解得或或.10.为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（）A.样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为30B.样本数据的极差一定小于100C.样本数据的中位数约为53D.估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5%答案：AC解析：思路：由频率分布直方图依次分析各选项可得结果.解答过程：样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为（人），故A正确；样本数据的分布在之间，且组距为20，所以极差不一定小于100，故B错误；，（分），所以样本数据的中位数约为53，故C正确；日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数为（人），，所以估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的10%，故D错误.11.在中，角所对的边分别为,已知，，则（）A.B.的取值范围是C.周长的最大值为6D.的最大值为答案：ACD解析：思路：根据题意，由正弦定理化简得到，得到，可判定A正确；由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，可判定B错误；化简得到，周长，可判定C正确；求得，可判定D正确.解答过程：对于A，因为，由正弦定理，又因为，可得，所以，可得，因为，可得，所以，即，又因为，所以，所以A正确；对于B，由且，可得，且，由正弦定理得，则，因为，可得，所以，所以，所以B错误；对于C，由周长因为，可得，当时，即时，取得最大值，所以周长的最大值为，所以C正确；对于D，由，可得，则，所以，当时，时，的最大值为，所以D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量与垂直，则_________．答案：解析：解答过程：因为向量与垂直，所以.13.如图所示的是水平放置的的斜二测画法的直观图，已知，，则在中，_________．答案：解析：解答过程：，，取中点，连结，则，，，，把直观图还原成平面图形如下：，．14.有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________．答案：解析：思路：由题意可知若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径.则此题转化成求正四棱台内切球半径.分情况讨论：当内切球与棱台的上、下底面相切时，半径即为棱台高的一半；当内切球与棱台的腰相切时，利用三角形相似可求得内切球半径.解答过程：将正四棱台的四条侧棱延长交于一点，形成一个正四棱锥，作出截面（如图）正四棱台的上、下底面为正方形，且上、下底面面积分别为4和64，则上底边长为2，下底边长为8.即.侧面梯形的高为6,则，所以棱台的高.若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径.当内切球与棱台的上、下底面相切时，内切球半径；当内切球与棱台的侧面相切时（如图），假设由，则，即，得,则，.又，，即，解得，正四棱台内切球的半径,即正方体外接球半径.此时正方体的边长为，则正方体棱长的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设，是两个不共线的向量．（1）若向量，，的起点相同时，它们的终点共线，求实数的值；（2）若，且与的夹角为，，求的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据共线向量的性质进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算性质和定义，结合二次函数的性质进行求解即可.（1）由已知可得，，不共线，解得．（2）由题意得，，故当时，取得最小值为3，则的最小值为．16.某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表）（2）若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，结合平均数的计算公式，即可求解；（2）根据题意，利用分层抽样的方差的计算公式，即可求解.（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，解得．各组的组中值依次为，对应频率依次为，所以数据的平均数，所以估计这100个样本数据的平均数为．（2）解：由于样本数据在与内的频率之比为，所以两组的总平均数为，所以总方差．17.如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，平面与平面的交线为，过，，三点的平面将正方体分成体积为，的两部分，且．（1）求与所成角的大小；（2）求实数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）首先作出交线，通过线线平行将异面直线所成角问题转化到特殊三角形中即可；（2）通过线面平行的性质定理可得到过，，三点的平面与正方体的截面，进而求出体积.（1）如图1，在平面中，连接并延长，与直线交于点，由是棱的中点可知与全等，所以是的中点，所以是的中点，即，同理，在平面中，连接并延长，与直线交于点，则，连接，，，，则为平面与平面的交线，且，在等边中，与所成的角为，故与所成的角为.（2）取的中点，连接，因为平面，故平行于平面与平面的交线，又，分别为，的中点，所以，所以平面平面，故平面分正方体为如图2所示的两部分，设正方体的棱长为2，则其体积为8，，故．18.如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）证明同时垂直于底面内两条相交直线与，利用线面垂直判定定理，完成了平面的证明，关键在于结合等腰梯形与等边三角