2025-2026学年湖南省邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”高一下学期第二次联考数学试题-含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数z满足，则z的共轭复数（）A. B.C. D.3.已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A. B. C. D.4.已知，都是锐角，，，则的值为（）A. B. C. D.5.已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（）A. B. C. D.6.已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（）A. B. C. D.37.已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（）A.的方程为B.在上存在点，使得到点的距离为3C.在上不存在点，使得D.上的点到直线的最小距离为18.如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．假设篮球的半径为1，灯泡与桌面的距离为6，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为，则此时椭圆的离心率等于（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某学校为了普及防溺水安全知识，对本校1000名学生开展了一次防溺水安全知识竞赛答题活动，从中随机抽取100名学生的得分，按照分成六段，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A.根据直方图，该校竞赛得分落在的频率为0.3B.根据直方图，该校竞赛得分的第75百分位数估计大于130C.根据直方图，该校竞赛得分的众数约为135D.根据直方图，该校竞赛得分的平均分约为12110.如图，在正四棱柱中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（）A.正四棱柱的外接球表面积为B.三棱锥的体积为定值C.当为中点时，直线不垂直于平面D.平面内的动点到直线与的距离相等，则点的轨迹是抛物线11.双曲线的左、右焦点分别为点，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，，则（）A.双曲线的共轭双曲线方程为B.C.当点位于双曲线右支时，D.点到两渐近线的距离之积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________.13.已知点和抛物线，过C的焦点作直线与C交于两点，若，则弦长=_______.14.斜三棱柱中，，，，，动点在侧面上，且，则的轨迹长度为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为锐角三角形，且．（1）若，求；（2）已知点在边上，且，求的取值范围．16.设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程．17.如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且．（1）证明：平面；（2）若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值．18.已知右焦点为的椭圆过点.（1）求的方程；（2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值；（3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.给出如下定义：设函数的定义域为，函数的定义域为，若对于任意的，恰好存在n个不同的实数，，，…，，使得，，其中，则称为的“n重覆盖函数”.（1）已知函数，，判断是否为的“2重覆盖函数”，并说明理由；（2）已知函数，，若是的“3重覆盖函数”，求m的取值范围；（3）定义表示不超过x的最大整数，如，，，记函数，，，若为的“2026重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据一元二次不等式的解法、对数型函数的最值性质，结合集合交集的定义进行求解即可.解答过程：由，因此.令，所以当时，，所以，所以.2.已知复数z满足，则z的共轭复数（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：∵，∴，∴.3.已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用乘1法即得.解答过程：∵，∴，当且仅当,即，时，取等号.故选：C.4.已知，都是锐角，，，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用三角函数和差角公式化简求解，同时注意根据三角函数值确定角的范围解答过程：因为，都是锐角，所以，又，则，注意到，故，，所以.5.已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用函数的奇偶性，将不等式变成，利用函数单调性求解即可.解答过程：函数的图象关于点对称，则函数的图象关于原点对称，即，从而等价于，即由函数在定义域上单调递减，则，解得.6.已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（）A. B. C. D.3答案：B解析：思路：由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果解答过程：，化简得，再由正弦定理，得，又，代入得，整理得．又，为的内角，则，即．因为为的平分线，所以，，在中，．①又，∴，则，化简得，又，∴．②①代入②，得，解得或（舍去），∴，在中，由余弦定理得，∴．7.已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（）A.的方程为B.在上存在点，使得到点的距离为3C.在上不存在点，使得D.上的点到直线的最小距离为1答案：D解析：思路：对于A，根据两点间距离公式代入整理化简即可；对于B，求出点到圆上点距离的范围，判断即可；对于C，设，利用两点间距离公式得到方程和联立，求得，，无实数解，判断即可；对于D，求出的圆心到直线的距离，即可求出上的点到直线的最小距离.解答过程：对于A，由题意可设点，由，，，得，整理得，即，故A正确；对于B，点到圆心的距离为，所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确；对于C，设，由，得，即.又，联立整理得，此时，无实数解，故不存在点，使得，C正确；对于D，的圆心到直线的距离为，所以上的点到直线的最小距离为，故D错误.8.如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．假设篮球的半径为1，灯泡与桌面的距离为6，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为，则此时椭圆的离心率等于（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：以为坐标原点建立平面直角坐标系，根据直线与圆相切可构造方程求得点坐标和点坐标，确定，的值，由此可构造方程组求得，，进而得到离心率.解答过程：以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，由题意知：，，，，则直线：，即，设，则，所以点到直线的距离，解得：，所以，即.设直线：，即，点到直线的距离，整理得：，解得：或，又直线，所以，即直线：，令，解得：，即，所以，即；由，得，所以椭圆离心率.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某学校为了普及防溺水安全知识，对本校1000名学生开展了一次防溺水安全知识竞赛答题活动，从中随机抽取100名学生的得分，按照分成六段，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A.根据直方图，该校竞赛得分落在的频率为0.3B.根据直方图，该校竞赛得分的第75百分位数估计大于130C.根据直方图，该校竞赛得分的众数约为135D.根据直方图，该校竞赛得分的平均分约为121答案：ABD解析：思路：根据频率分布直方图求众数、百分位数、平均分的定义即可得解.解答过程：对于A选项，分数在内的频率为，A正确；对于B选项，注意到分数落在的频率为，从而第75百分为数超过，B正确；对于C选项，因为的频率为0.3最大，故众数约为，C错误；对于D选项，平均分：，故D正确.故选：ABD.10.如图，在正四棱柱中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（）A.正四棱柱的外接球表面积为B.三棱锥的体积为定值C.当为中点时，直线不垂直于平面D.平面内的动点到直线与的距离相等，则点的轨迹是抛物线答案：BCD解析：思路：计算正四棱柱的外接球半径后计算外接球表面积判断A选项；采用等体积法判断B选项；通过建系计算与平面的法向量是否平行判断C选项；计算动点到直线与的距离结合抛物线的定义判断D选项.解答过程：正四棱柱的外接球的直径为体对角线，则体对角线长度，故正四棱柱的外接球半径为，表面积，A选项错误；由题可知三棱锥，的面积为定值，点为线段上动点，平面，又为正四棱柱，则平面到平面的距离恒为，即点到平面的距离恒为，故三棱锥的体积为定值，B选项正确；如图建系以为原点，方向建立空间坐标系，则，，，为中点，故，，，设平面的法向量为，则，即，两式上下相加得：，取，则，，平面的法向量为，，则为中点时，直线不垂直平面，C选项正确；设平面内动点，到的距离为，在平面上，，则所在的直线斜率，则所在的直线方程为，整理得：，点到所在直线的距离，，两边同时平方得：，化简整理得：，令，则方程化为，满足抛物线定义，D选项正确.故选：BCD11.双曲线的左、右焦点分别为点，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，，则（）A.双曲线的共轭双曲线方程为B.C.当点位于双曲线右支时，D.点到两渐近线的距离之积为答案：BD解析：思路：利用三角形面积公式得，再利用余弦定理得，解出双曲线方程，再利用共轭双曲线方程的含义即可判断AB；对C，计算得，再根据的范围即可判断；对D，，利用点到直线的距离公式并结合点在双曲线上化简即可.解答过程：对于选项B：设右焦点，直线的方程为，即，则到的距离为，即，则，因为，即，所以，则，可得，因为，则，故B正确；对于选项A：易得点在的右支上，所以有，即，在中，由余弦定理可得，即，化简得，所以，双曲线方程为，双曲线的共轭双曲线方程为，故A错误；对于选项C：因为位于双曲线右支，则有，则，且，则，所以，故C错误；对于选项D：因为双曲线的渐近线方程为，即和，设，则，即，则点到的距离为，到的距离为，所以点到两渐近线的距离之积为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________.答案：##解析：思路：由其相邻对称轴之间的距离为，确定函数的周期，结合周期与的关系求，结合对称轴求.解答过程：由题意可知，，所以，所以，所以，又函数的图象关于对称，又，且，所以.故答案为：.13.已知点和抛物线，过C的焦点作直线与C交于两点，若，则弦长=_______.答案：5解析：思路：由题意，设直线AB的斜率为k，点，首先利用抛物线的定义和性质求得直线的斜率为k=2，然后利用弦长公式确定弦长的值即可.解答过程：设直线AB的斜率为k，点，则，，设AB中点，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线的垂线，垂足为A'，B'，则.为AB中点，∴M为A'B'的中点，平行于x轴，∴y1+y2=2，k=2.设直线AB的倾斜角为，则：，故，由弦长公式可得：.故答案为5．方法提示：本题主要考查抛物线定义的应用，抛物线的焦点弦的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.斜三棱柱中，，，，，动点在侧面上，且，则的轨迹长度为______.答案：解析：思路：建系并标点，设，根据数量积和模长可得，求平面的法向量和点在平面的投影为，可得，，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得结果.解答过程：如图，以为坐标原点，分别为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，由题意可知：，则，解得，即，则，，可得，注意到，则，可知为矩形，设平面的法向量为，则，令，则，可得，设点在平面的投影为，则，，，因为，则，解得，即，则，可得，，又因为，，则，且，可得点到直线，，，的距离分别为，均大于1，所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，所以的轨迹长度为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为锐角三角形，且．（1）若，求；（2）已知点在边上，且，求的取值范围．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用三角恒等变换可得，再利用三角函数的性质结合条件即得；（2）利用正弦定理结合条件可得，然后根据条件及三角函数的性质即可求得其范围.（1）因为，所以，即，又，，所以，所以，即，又，，所以，即；（2）因为，所以，又，可得，在中，，所以，在中，，因为为锐角三角形，所以，得，所以，所以，即的取值范围为.16.设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）求出圆的圆心和半径，然后分两圆外切和内切两种情况得，然后利用双曲线的定义求解轨迹方程即可．（2）利用点差法求得直线的斜率，进而求解直线的方程.（1）可化为，圆的圆心为，半径；可化为，圆的圆心为，半径．设动圆的半径为．若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得；若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得．故．可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，，则，故动圆圆心的轨迹的方程为．（2）设，，易得，则，两式作差得，整理得到，因为线段的中点为，且在双曲线内部，所以，则直线的斜率，故所求直线方程为，即．17.如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且．（1）证明：平面；（2）若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用线面垂直判定定理去证明平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求平面与平面夹角的余弦值．（1）等腰梯形中，，，，则，则，∴，又由，可知，又，平面，平面，故平面.（2）过点作平面，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，，设面法向量为，则，则，令，则，，则，又面一个法向量为，所以，故平面与平面夹角的余弦值为.18.已知右焦点为的椭圆过点.（1）求的方程；（2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值；（3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）（2）（3）存在解析：思路：（1）由求解；（2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可；（3）由题意得直线的斜率不为0，故设的方程为，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可.（1）由题意得解得，所以的方程为.（2）设，由题意知，所以，因为，所以当时，，所以.（3）由题意得直线的斜率不为0，故设的方程为联立直线与的方程，得消去并整理，得，所以.所以.联立直线与抛物线的方程，得消去并整理，得，所以