2025-2026学年江苏省苏州市高二下学期期末考试数学试题-含解析

/数学满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.已知车轮旋转的角度（单位：）与时间（单位：s）之间的函数关系为，则车轮开始转动后第时的瞬时角速度（单位：）为（）A. B. C. D.3.某班要从4名女生和3名男生中选择3人参加学生代表大会，则选出的代表中女生人数不少于男生人数的选法种数为（）A.35 B.30 C.24 D.224.已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（）A.． B.． C.． D.5.统计某超市连续5年的广告支出费（万元）与销售额（万元）的数据如下：广告支出费12467销售额2030m4346得出经验回归方程为，则（）A.与呈负相关关系 B.当时，一定有C. D.当时，残差为36.在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.7.小明常用人工智能大模型DeepSeek解决学习疑问．当小明输入的问题表达清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.8；当小明输入的问题表达不清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.3．若小明输入的问题表达清晰的概率为0.7，则DeepSeek的回复被采纳的概率为（）A.0.56 B.0.65 C.0.77 D.0.88.已知函数在上单调递增，则和的取值不可能是（）A.， B.，C.， D.，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量，，则下列说法正确的有（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则10.如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（）A. B.C. D.与平面所成角的正弦值为11.已知函数，则下列说法正确的有（）A.若，则存在极值点B.若是增函数，则C.曲线是中心对称图形D.存在，使得有三个不同的零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，，若曲线与在点处有相同的切线，则实数的值为______．13.在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______．14.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了著名的“杨辉三角”，它揭示了展开式的项数及各项系数的规律，这是我国数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，第10行从左到右第4个数是______；记第行从左到右第个数为，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的展开式中第3项与第2项的二项式系数之差为20．（1）求；（2）求展开式中第3项与第项的系数的比值；（3）求展开式中的常数项．16.江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼开展，赛事凭借鲜明的本土地域特色广受省内市民喜爱．为调查某市市民购票前往现场观赛的意愿，某调研机构随机选取100名市民开展问卷调查，统计数据如下：愿意购票到场观赛不愿购票到场观赛合计女性252550男性401050合计6535100（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联？附：．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（2）为鼓励市民到场观赛，先对“愿意购票到场观赛”的65名被调查者按性别分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取13人，再从这13人中随机抽取2人发放观赛补贴，补贴标准：女性每人20元，男性每人10元．求补贴金额的分布列与数学期望（结果四舍五入精确到整数）．17.如图，在直三棱柱中，已知，，，分别是线段，上的动点（不含端点），．（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值．18.已知函数，（）．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若存在极小值点，证明：；（3）若对任意，都有，求的取值范围．19.某科技公司为推广某款机器人产品，举办“人类—机器人”挑战赛，规则如下：人类选派名挑战者参赛，每名挑战者仅与一台该款机器人进行一场比赛，共进行场比赛，每场比赛只有胜、败两种结果．所有场次比赛结束后，若人类总获胜场数多于机器人总获胜场数，则人类队获胜，否则机器人队获胜．已知单场比赛中挑战者战胜机器人的概率恒为，所有场次的比赛结果相互独立．（1）若，，记人类总获胜场数与机器人总获胜场数之差的绝对值为随机变量，求的分布列和数学期望；（2）若，记事件“在前场比赛中人类胜了场”，事件“人类队获胜”．①求，（用含的式子表示，无需书写推导过程）；②研究表明：随着的增大，人类队获胜的概率越来越小．请从数学角度证明上述观点．

数学满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：．2.已知车轮旋转的角度（单位：）与时间（单位：s）之间的函数关系为，则车轮开始转动后第时的瞬时角速度（单位：）为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：据导数的物理意义，瞬时角速度是角度函数的导函数，对求导后代入计算即可得到结果.解答过程：因为，所以

，又因为，所以

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3.某班要从4名女生和3名男生中选择3人参加学生代表大会，则选出的代表中女生人数不少于男生人数的选法种数为（）A.35 B.30 C.24 D.22答案：D解析：思路：将女生人数不少于男生的情况分为3女0男、2女1男两类，分别计算两类选法的组合数后求和，即得总选法种数.解答过程：由题意，选出的3名代表中女生人数不少于男生人数，共包含两类情况：第一类，选出3名女生、0名男生，共有种不同选法；第二类，选出2名女生、1名男生，共有种不同选法.根据分类加法计数原理，总选法有种.4.已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（）A.． B.． C.． D.答案：B解析：思路：求导确定函数在区间内的极值点，计算极值点及区间端点的函数值，比较得到最值后求和.解答过程：由题意可得，，令，解得和，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以在取得极大值，在取得极小值，因为，，，，所以函数在上的最大值，最小值，所以.5.统计某超市连续5年的广告支出费（万元）与销售额（万元）的数据如下：广告支出费12467销售额2030m4346得出经验回归方程为，则（）A.与呈负相关关系 B.当时，一定有C. D.当时，残差为3答案：C解析：解答过程：对于A，由得与呈正相关关系，故A错误，对于B，由回归方程的性质得当时，不一定有，故B错误，对于C，由题意得，代入方程中，得到，而，则，解得，故C正确，对于D，当时，，残差为，故D错误.6.在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设为平面的一个法向量，，则，即，故可取，则，因，则点到平面的距离．7.小明常用人工智能大模型DeepSeek解决学习疑问．当小明输入的问题表达清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.8；当小明输入的问题表达不清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.3．若小明输入的问题表达清晰的概率为0.7，则DeepSeek的回复被采纳的概率为（）A.0.56 B.0.65 C.0.77 D.0.8答案：B解析：解答过程：设输入的问题表达清晰为事件，回答被采纳为事件,则，根据全概率公式.8.已知函数在上单调递增，则和的取值不可能是（）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：思路：对函数求导，把函数在区间内单调递增转化为导数在区间内恒大于等于零，进而求出的关系，再逐一分析选项，判断不可能取值．解答过程：函数求导得，若在单调递增，则在恒成立，令，则，解得，选项A：，符合条件；选项B：，符合条件；选项C：，不符合条件；选项D：，符合条件．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量，，则下列说法正确的有（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则答案：ACD解析：思路：利用二项分布的期望及性质计算判断AB；利用正态分布的对称性计算判断CD.解答过程：对于A，由，得，A正确；对于B，由，得，由，得，B错误；对于C，由，，得，C正确；对于D，由，得，D正确.10.如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（）A. B.C. D.与平面所成角的正弦值为答案：AD解析：思路：设，，，将问题转化为基向量求解.解答过程：设，，，由题意知，，则，，，，，，即，选项正确；，选项错误；，，选项错误；设平面的一个法向量为，则的坐标为，而，则即即，令，解得，，所以，，，，，设与平面所成角为，，选项正确.11.已知函数，则下列说法正确的有（）A.若，则存在极值点B.若是增函数，则C.曲线是中心对称图形D.存在，使得有三个不同的零点答案：ABC解析：思路：对于A，将代入，求导判断函数是否存在极值点；对于B，求导，根据是增函数得到在上恒成立，分离参数，令，求出的最大值，进而得到的取值范围；对于C，根据函数的对称性进行判断；对于D分两种情况讨论极值点个数，对于，利用导数求出函数的极大值，求出极大值的取值范围进行判断.解答过程：函数的定义域为，对于A，当时，，所以，所以当时，，当时，，当时，，所以存在极值点，A正确；对于B，，若是增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，令，因为在上单调递减，在上单调递增，且在上恒成立，所以，所以，故B正确；对于C，，所以，所以函数关于点对称，C正确；对于D，由B选项可知，当时，函数单调递增，最多有一个零点，当时，令，则，等价于，，所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理，故，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为又是极值点，所以，即，所以，令，则，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，所以在上恒小于0，故最多两个不同的零点，即不存在使有三个不同的零点，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，，若曲线与在点处有相同的切线，则实数的值为______．答案：解析：思路：根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义列式求解.解答过程：函数，，求导得，，由曲线与在点处有相同的切线，得，即，所以.13.在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______．答案：##解析：思路：根据共面向量定理，点在平面内，等价于向量可由不共线的向量线性表示，通过坐标对应相等，列方程组求解.解答过程：因为点在平面内，所以共面，且不共线，根据共面向量定理，存在实数，使得，将各向量坐标代入，得，根据向量相等，对应坐标相等，得，解得.14.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了著名的“杨辉三角”，它揭示了展开式的项数及各项系数的规律，这是我国数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，第10行从左到右第4个数是______；记第行从左到右第个数为，则______．答案：①.120②.解析：思路：通过题意分析出，使用二项式定理与组合数的性质求解.解答过程：第10行从左到右第4个数是；由题意知，，令，则，当从1到时，从0到，则，，由二项式定理，令得，则，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的展开式中第3项与第2项的二项式系数之差为20．（1）求；（2）求展开式中第3项与第项的系数的比值；（3）求展开式中的常数项．答案：（1）（2）（3）解析：（1）由二项式系数的定义，第3项的二项式系数为，第2项的二项式系数为，根据题意得，

即，化简得，解得（不符合正整数要求，舍去）.（2）由（1）得，二项式的展开式通项为：，第3项对应，系数为；第项对应，系数为，由组合数性质，故展开式中第3项与第项的系数比值为.（3）令展开式通项中x的指数为0，即，解得，代入通项得常数项为：.16.江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼开展，赛事凭借鲜明的本土地域特色广受省内市民喜爱．为调查某市市民购票前往现场观赛的意愿，某调研机构随机选取100名市民开展问卷调查，统计数据如下：愿意购票到场观赛不愿购票到场观赛合计女性252550男性401050合计6535100（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联？附：．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（2）为鼓励市民到场观赛，先对“愿意购票到场观赛”的65名被调查者按性别分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取13人，再从这13人中随机抽取2人发放观赛补贴，补贴标准：女性每人20元，男性每人10元．求补贴金额的分布列与数学期望（结果四舍五入精确到整数）．答案：（1）依据小概率值的独立性检验，能认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联；（2）数学期望约为28.203040解析：思路：（1）提出零假设，代入列联表数据计算卡方统计量，与对应的临界值比较，判断是否拒绝零假设得出结论；（2）先根据分层抽样规则确定抽取的男、女人数，再确定的所有可能取值，计算对应概率得到分布列，最后代入期望公式计算期望.（1）提出零假设：“愿意购票到场观赛”与性别无关联,由列联表得：，代入卡方公式,小概率值对应的临界值为，因，故拒绝,结论：依据的独立性检验，能认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联;（2）分层抽样抽样比：,抽取女性人数：，抽取男性人数：,补贴金额的可能取值：,抽取2人都是男性时，，抽取1男1女时，抽取2人都是女性时，所以的分布列203040，数学期望约为.17.如图，在直三棱柱中，已知，，，分别是线段，上的动点（不含端点），．（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值．答案：（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，设，，则，，，，

所以，，又，所以．（2）解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，设，，从而得到，，，的坐标，进而计算即可证明；（2）结合（1），先求出三棱锥的体积取得最大值时的值，从而分别求出平面与平面的法向量，进而根据向量的夹角公式即可求解．（1）略（2）结合（1）设，，则，由，所以当时，三棱锥的体积取得最大值．所以结合（1）的空间直角坐标系有，，，，，则，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，即，设平面的法向量为，则，令，则，，即可得，记平面与平面的夹角，则有，所以平面与平面的夹角的余弦值为．18.已知函数，（）．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若存在极小值点，证明：；（3）若对任意，都有，求的取值范围．答案：（1）在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减（2）由，令，解得，或，当时，，当时，，，则，所以在上单调递减；当时，，，则，所以在上单调递增；当时，，，则，所以在上单调递减，此时是的极小值点，而是的极大值点；则，所以，得证；当时，，，当时，，，则，所以在上单调递减；当时，，，则，所以在上单调递减，此时无极值点，更无极小值点；当时，，当时，，，则，所以在上单调递减；当时，，，则，所以在上单调递增；当时，，，则，所以在上单调递减，此时是的极小值点，而是的极大值点；则，所以，得证．综上，当时，若存在极小值点，必有，得证．（3）解析：思路：（1）将代入解析式，求导，再结合导数的符号即可得到的单调区间；（2）先求，再令，求出，或，再分，，三种情况讨论的极小值点，再证是否大于即可证明；（3）分和两种情况，再结合参数分离，构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最值即可求解．（1）当时，，则，令，解得，或，当时，，，则，所以在上单调递减；当时，，，则，所以在上单调递增；当时，，，则，所以在上单调递减，综上，在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减．（2）略（3）对任意，有，即，当时，恒成立，此时的取值范围为，当时，，令，，则，令，，则，所以在上单调递增，且，所以当时，，即，所以在上单调递减；当时，，即，所以在上单调递增，所以，即，综上，当时，