2025-2026学年江苏省苏州市工业园区南京航空航天大学附属中学高二下学期期中调研测试数学试题-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A.5 B.8 C.10 D.362.若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）A. B. C. D.3.下列求导数运算正确的是（）A. B. C. D.4.2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（）A.－1 B.－2 C.1 D.25.已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.6.如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（）A. B.C. D.7.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（）A.0 B.2 C.4 D.68.安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的安排方法数为（）A.150 B.90 C.60 D.36二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.错选不得分，漏选得部分分.9.已知空间向量，，，则（）A. B.C. D.能构成空间的一个基底10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，在上单调递增B.当时，有且仅有一个极小值点C.当时，恒成立D.若方程有两个不同的实数根，则11.如图，已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，翻折过程中（）A.存在某个位置，使得B.存在某个位置，使得C.当平面平面时，D.当平面平面时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，，则与所成角的大小为______．13.若，则_______．（用数字作答）14.在数学建模探究课上，某小组同学将一张矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上如图所示，其中cm若，则的面积是______

cm2随着点P的位置不同，折痕EF的长度在改变，其最小值是______

cm四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求曲线在处的切线的方程；（2）求过原点O与曲线相切的直线的方程.16.如图，在棱长为的正方体中，分别为线段，的中点．（1）求证：；（2）求点到直线的距离；（3）求平面与平面所成角的余弦值．17.已知函数，且．（1）求的值；（2）若．（ⅰ）求在上的最大值和最小值；（ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围．18.已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）线段上是否存在一个动点（不包括端点），使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由.19.已知函数（1）求在处的切线方程；（2）讨论在上的零点个数；（3）证明：

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A.5 B.8 C.10 D.36答案：C解析：解答过程：2.若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：通过直线的方向向量和向量的坐标运算求解.解答过程：依题意，直线l的一个方向向量为.故选：3.下列求导数运算正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误．4.2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（）A.－1 B.－2 C.1 D.2答案：D解析：解答过程：因为切线方程为，故且，故.5.已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意可得，又，则点到平面的距离为.6.如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：因为为的重心，所以，又是的中点，所以.所以.7.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（）A.0 B.2 C.4 D.6答案：C解析：思路：根据给定条件，求出函数图象的对称中心，进而求出函数值的和.解答过程：函数的定义域为R，求导得，，由，得，解得，而，因此函数的图象关于点对称，则，即，所以.8.安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的安排方法数为（）A.150 B.90 C.60 D.36答案：D解析：解答过程：5名大学生依题意分三组，有两种情形，分别为：人，此时甲、乙到同一家企业实习的安排方法数为；人，此时甲、乙到同一家企业实习的安排方法数为，共有种.二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.错选不得分，漏选得部分分.9.已知空间向量，，，则（）A. B.C. D.能构成空间的一个基底答案：AB解析：思路：根据空间向量的坐标运算分析判断ABC；分析可知，即可知不能构成空间的一个基底，即可判断D.解答过程：因为空间向量，，，对于选项A：因为，所以，故A正确；对于选项B：，故B正确；对于选项C：因为，所以，故C错误；对于选项D：因为，即，所以不能构成空间的一个基底，故D错误；故选：AB.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，在上单调递增B.当时，有且仅有一个极小值点C.当时，恒成立D.若方程有两个不同的实数根，则答案：ABD解析：思路：求导，再根据导数的符号即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；求出函数的最小值即可判断C；结合AB选项，根据函数的单调性和最值即可判断D.解答过程：对于A，，当时，，所以在上单调递增，故A正确；对于B，，当时，令，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有且仅有一个极小值点，故B正确；对于C，当时，由B选项知，在上单调递减，在上单调递增，所以，故C错误；对于D，由A选项知，当时，函数最多一个零点；由B选项知，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，又当时，，当时，，所以要使方程有两个不同的实数根，则，解得，综上所述，若方程有两个不同的实数根，则，故D正确.故选：ABD.11.如图，已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，翻折过程中（）A.存在某个位置，使得B.存在某个位置，使得C.当平面平面时，D.当平面平面时，答案：BCD解析：解答过程：在矩形中，分别过点作，垂足分别为点.由.得，对于A选项，，A错误；对于B选项，其中是向量与所成的角，也即是二面角的平面角，当时，，B正确；当平面平面时，如图以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，所以；又，则，故CD都正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，，则与所成角的大小为______．答案：解析：思路：利用空间向量夹角的公式即可得解.解答过程：由题意知，，，设与所成角为，则，因为，所以，所以与所成角的大小为.故答案为：.13.若，则_______．（用数字作答）答案：解析：解答过程：由组合数的性质结合得，解得，则．14.在数学建模探究课上，某小组同学将一张矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上如图所示，其中cm若，则的面积是______

cm2随着点P的位置不同，折痕EF的长度在改变，其最小值是______

cm答案：①.②.解析：思路：设，，由，得，当时，得出AF，AP，可得的面积；由三角恒等变换和换元法，运用导数可得EF的最小值.解答过程：设，，则又因为，所以又由，解得若，则，所以，所以，，所以的面积是因为，所以设，则，当时，，y单调递增，当时，，y单调递减，所以当时，，故故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求曲线在处的切线的方程；（2）求过原点O与曲线相切的直线的方程.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据切点和斜率求得切线方程.（2）设出切点坐标，根据切线斜率和导数列方程，求得切点坐标，进而求得切线方程.（1）因为，所以.，，所以曲线在处的切线方程为，即直线的方程为.（2）设过原点的直线与曲线切于点.则的斜率，所以，整理得，所以，所以，所以直线的方程为，即.16.如图，在棱长为的正方体中，分别为线段，的中点．（1）求证：；（2）求点到直线的距离；（3）求平面与平面所成角的余弦值．答案：（1）证明见解析.（2）（3）解析：思路：（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可；（2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得；（3）利用空间向量夹角公式计算即可.（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示.已知正方体棱长为，则，，，，所以，，因，所以.（2）由题可得，，，.，，，则与同方向的单位向量为，设点到的距离为，则，即点到直线的距离为.（3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取，设平面的法向量为，则，即，故可取，设平面与平面所成角为，故，即平面与平面所成角的余弦值为.17.已知函数，且．（1）求的值；（2）若．（ⅰ）求在上的最大值和最小值；（ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围．答案：（1）（2）（ⅰ）最大值为，最小值为；（ⅱ）解析：思路：（1）对函数求导，代入求出的关系，进而求解；（2）（ⅰ）求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合端点值得出在上的最大值和最小值；（ⅱ）把存在性问题转化成在上的最大值，进而构造不等式求出实数m的取值范围．（1）函数求导得，已知，则，．（2）（ⅰ），则，求导得：，，在上恒成立，导数符号由决定：当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；在处取得极大值，即为最大值，，，，，在上的最小值为，最大值为；（ⅱ）已知使得成立，则在上的最大值，在上的最大值为，，解得，又，，的取值范围为．18.已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）线段上是否存在一个动点（不包括端点），使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由.答案：（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.解析：思路：（1）根据给定条件，利用面面平行证明线面平行得证.（2）取的中点并以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.（3）由（2）中的法向量，利用线面角的向量法列式求解.（1）在四棱锥中，由分别是的中点，得，由正方形，得，因此，而平面，平面，所以平面，又分别是的中点，得，而平面，平面，所以平面，因为,平面，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）取的中点，连接，由是正三角形，得，而平面，平面平面，平面平面，则平面，又为正方形边的中点，则，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，取，，设平面的法向量为，则，取，，因此，，显然二面角的大小为锐角，所以二面角的大小为.（3）由（2）得，，设，则，假定直线与平面所成角为，则=23232t2−8所以在线段上存在点M，使得直线与平面所成角为，.19.已知函数（1）求在处的切线方程；（2）讨论在上的零点个数；（3）证明：答案：（1）（2）答案见解析（3）证明见解析解析：思路：（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）将函数零点问题转化为直线与函数的交点问题，通过导数研究的单调性与极值，分类讨论的取值，确定的零点个数；（3）令，则，构造函数，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点，则可得单调性