2025-2026学年江苏省南通市海门中学高一下学期4月份学情调研数学试题-含解析

/数学第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知平面上两点，若，则的坐标为（）A. B. C. D.2.记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角；乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.4.已知向量在正方形网格中的位置如图所示,用基底表示,则（）A. B.C. D.5.在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.6.已知，，则（）A. B. C. D.7.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A. B. C. D.8.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项中，错误的是（）A.若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形B.在平行四边形中，C.若向量，满足，则或D.若非零向量与相等，则B，C重合10.已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，且该三角形有两解，则C.若，则为等腰三角形D.若，则为锐角三角形11.已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有()A.B.若，则函数的最小正周期为；C.关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解D.若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，向量与平行，则实数的值为__________．13.记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为______．14.已知的外心为，，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．15.已知．（1）若，且，求的值；（2）若点共线，求的值．16.平面上的两个非零向量，满足.（1）当时，求正实数t的值；（2）用表示，夹角余弦值的取值范围.17.的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）点在边上，平分，，，求.18.如图，已知中，，，，M，N为线段上两点，且．（1）若，求的值；（2）设，试将的面积S表示为的函数，并求其最大值．（3）若，求的值．19.在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且）（1）若，且，求的值；（2）求证：；（3）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明，若不存在，请给出一个理由.

数学第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知平面上两点，若，则的坐标为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先设点的坐标，再应用向量的坐标运算求解.解答过程：设的坐标为且平面上两点，又，则，且，所以，即得则的坐标为.2.记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角；乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：先根据向量夹角为锐角的条件求出甲成立时的取值范围，再分析甲与乙之间的充分性和必要性关系.解答过程：,由向量与向量的夹角为锐角，故，且与不共线，所以，解得，又与不共线，则可得，解得.故向量与向量的夹角为锐角，可得且.故若且，则可得，即充分性成立；反之，若，则推不出且，即必要性不成立；故甲是乙的充分不必要条件,故选：.3.已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据向量模，求出，然后利用向量数量积和运算律计算，最后根据投影向量求解的方法求解即可.解答过程：因为，，所以，即，也即，解得：，所以，由向量在向量上的投影向量为：，故选：A.4.已知向量在正方形网格中的位置如图所示,用基底表示,则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：建立直角坐标系,设向量,利用平面向量基本定理和向量的坐标运算求解.解答过程：如图建立直角坐标系,设正方形网格的边长为1,则,设向量,则解得所以.故选：A.5.在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据正弦定理可求解或，即可判断AB,根据三角形内角和以及正弦定理求解，即可判断CD.解答过程：由正弦定理可得，由于,故或，故AB错误，若时，则,此时，若时，则,此时为三角形中最小的内角，故，故C错误，D正确，故选:D6.已知，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.解答过程：，因为，则，则，则.故选：D.7.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．解答过程：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．8.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解解答过程：在中，，故题干条件可化为，由余弦定理得，故，又由正弦定理化简得：，整理得，故或（舍去），得为锐角三角形，故，解得，故故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项中，错误的是（）A.若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形B.在平行四边形中，C.若向量，满足，则或D.若非零向量与相等，则B，C重合答案：ABC解析：思路：根据相等向量的定义即可判断选项A；根据平行四边形的定义与向量的定义即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据相等向量的定义即可判断选项D.解答过程：若，四点可能共线，故选项A错误；在平行四边形中，方向相同、模相等，则，故选项B错误；由向量的定义可得向量，满足时，向量，的方向不确定，故选项C错误；若非零向量与相等，因为起点相同，则终点，重合，故选项D正确.10.已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，且该三角形有两解，则C.若，则为等腰三角形D.若，则为锐角三角形答案：ABD解析：思路：根据大边对大角及正弦定理判断A，根据图形数形结合可判断B，由正弦定理及三角恒等变换判断C，由两角和的正切公式变形可判断D.解答过程：因为，所以，由正弦定理，可知，故A正确；如图，，，且该三角形有两解，所以，即，故B正确；由正弦定理可得，，即，所以，因为，所以或，即或，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误；因为，且，所以，即为锐角，所以为锐角三角形，故D正确.故选：ABD11.已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有()A.B.若，则函数的最小正周期为；C.关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解D.若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为答案：ABD解析：思路：A：在上单调，，，故；B：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在上单调，据此可求出f(x)周期的范围，从而求出ω的范围.再根据知是f(x)的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出ω，从而求出其周期；C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；D：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.解答过程：A，∵，∴在上单调，又，，∴，故A正确；B，区间右端点关于的对称点为，∵，f(x)在上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴为的最小正周期，即3，又，∴.若，则的图象关于直线对称，结合，得，即，故k＝0，，故B正确.C，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故C错误.D，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，结合，得，又，∴的取值范围为，故D正确.故选：ABD.方法提示：本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，向量与平行，则实数的值为__________．答案：解析：解答过程：因为，所以由向量与平行，得：，解得.13.记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为______．答案：解析：思路：根据余弦定理求解,即可根据等面积法求解.解答过程：设边上的高为，由余弦定理可得,又，故，故答案为：14.已知的外心为，，则________．答案：解析：思路：设，根据数量积的运算律将平方可得，判断为钝角三角形，结合二倍角公式即可求得答案．解答过程：因为为的外心，又由，平方可得：，不妨设，则，故为锐角，由于，或，又由，可得点在的外部，即为钝角三角形，故，C为钝角，即cos2(π−四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．15.已知．（1）若，且，求的值；（2）若点共线，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据平面向量垂直、数量积、模的坐标表示运算求解即可；（2）根据平面向量共线的坐标表示，结合三角恒等变换公式求解即可.（1）当时，，因为，所以，解得．（2）因为点共线，所以共线，因为，所以，则，所以．16.平面上的两个非零向量，满足.（1）当时，求正实数t的值；（2）用表示，夹角余弦值的取值范围.答案：（1）1；（2）答案见解析.解析：思路：（1）根据已知及向量数量积的运算律化简得，即可得求参数；（2）设，，与的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律得，讨论参数及基本不等式求余弦值的范围.（1）因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以正实数t的值为1.（2）设，，与的夹角为，由得，，则有，则有，即①，若，由①式得，，若，由①式得，当且仅当时等号成立，则（当向量，同向时可取1），若，由①式得，当且仅当时等号成立，故（当向量，反向时可取），.综上，当时，；当时，；当时，.17.的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）点在边上，平分，，，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，则，即可得解；（2）由三角形面积公式可得，由余弦定理即可得解.解答过程：（1）根据正弦定理，，，，，又，，，又，.（2），，，，又，，，，在中，由余弦定理得，即，解得，即.方法提示：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了三角恒等变换的应用，属于中档题.18.如图，已知中，，，，M，N为线段上两点，且．（1）若，求的值；（2）设，试将的面积S表示为的函数，并求其最大值．（3）若，求的值．答案：（1）12（2）（3）解析：思路：（1）根据向量的数量积定义计算即可；（2）由正弦定理求出，再由三角形面积公式得出面积，利用三角恒等变换化简即可得出最值；（3）由三角形面积间的关系得出，利用（2）中结论化简为，再由三角恒等变换化简求出角正切值即可得解.（1）中，，所以所以.（2）在中，，，由正弦定理得，即，在中，，所以，所以所以，因为，所以，所以当且仅当，即时，的面积取最大值为.（3）当时，，即，因为，所以，设且，由（2）得，，且，所以，所以，即，两边同除以，得，解得或（舍去），此时.19.在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且）（1）若，且，求的值；（2）求证：；（3）是否存