全等三角形倍长中线法-初中数学模型与解题方法专练（原卷版）

21全等三角形倍长中线法

一、单选题

1.如图，在等腰直角三角形力4。中，ZC=90°,^C=8,F为AB边的中点，点/）,夕分别在4c,8。边上运

动，且保持力。=。石，连接DE,DF,EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①4必是等腰直角三角形;

②四边形CQ巨石的面枳保持不变；③AD+BE>DE.其中正确的是（）

C

2.在“灰?中，AC=5,中线/。=7,则边的取值范围（）

A.2<AB<\2B.4<AB<\2C.9<J5<19I）.10<[4<19

3.如图，DE是AABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G,若4CEF的面积为12cm）则S

△叼的值为（）

A.4cm'B.6cm"C.8cm2D.9cm2

4.如图，在△ABC中，AB=6,AC=10,BC边上的中线AD=4,则△ABC的面积为（）

A.30B.24C.20D.48

5.如图，在平行四边形力88中，CD=2AD=S,E为AD上一点,产为OC的中点，则下列结论中正确

1

的是（)

A.BF-4B.ZABC>2ZABFC.ED+BC=EBD.边mDEBC=2、针B

6.如图，在A48C中，AB>AC,力。是中线，4E是角平分线，点尸是4E上任意一点(不与A,£重合),

ARFR1

连接4"、CF.给出以下结论：®—=—；②/DAE=二(NACB-NABC)；③

ACEC2

-{AB-AC)<AD<-(AB+AC)；®AB+CF>AC+BF.其中一定正确的有()

22

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.如图，在』8c中，。为8C的中点，若4C=3,4）=4.则的长不可熊是（）

8.如图，在中，仍=4,4X2,点〃为8。的中点，则心的长可能是（）

A.1B.2C.3D.4

9.如图，-IBC中，AB>AC,4。是中线，有下面四个结论：

①△48。与A/CQ的面积相等：

@AD<^（AB+AC）；

③若点尸是线段/I。上的一个动点（点P不与点A,。重合），连接P8,PC,则480的面积比△/（：、尸的

2

面积大；

④点P,。是A,。所在直线上的两个动点（点P与点。不重合），若DP=DQ,连接尸8,QC,则28〃QC.

所有正确结论的序号是（）

A.①②③©B.①©④C.②③D.@@@

10.在“火尸中，BC=2AB,CDL48于点。，点E为/尸的中点，若N4DE=50°,则的度数是

（）

A.500B.60°C.70°D.80°

二、填空题

11.如图，在△/勿中，点。是尾的中点，若力？=5,力413,力2=6,则8。的长为

12.如图，在dBC中，月。为8c边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F,若ZAEF=ZFAE,

BE=4,EF=T.6,则CE的长为.

13.如图，在平行四边形/SCO,点尸是上的一点，连接力尸，4E平分NF/1D,交C。于中点E,连接

EF,若/用0=60。，AD=5,CF=3,则£F=.

3

AD

E

B

14.在△/肉＞+«,AB=AC,点〃是△力比内一点，点£是⑦的中点，连接力£作牙若点尸在8〃的

垂直平分线上，/班C=Q,则/阴X.（用。含的式子表示）

15.如图，已知力〃是△力%的中线，夕是力。上的一点，BE交AD于F,AC=BF,N%C=24°,2EBC=32：

则N/lg.

=6,AC=5,。为8c边的中点，则S“sc

点汹为8C的中点，AM=3,DE=

18.如图，中,点〃在力。上，力。=3,Z8+/C=10,点/是3。的中点，连接

4

CE,ZACB=ZABC+"BCE,则CD=

三、解答题

19.如图，是△/历。的中线，点£在上，且回=/1C,求证：/BED=/CAD.

20.如图，在“8C中，JC=5,AB=3,边8C上的中线力。=2,求8c的长.

5

21.如图，力。是ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且4E=EF,求证：AC=BF.

22.如图，力〃是的中线，点£在8C的延长线上，CE=AB,NBAC=/BCA,试说明:=2AD.

23.已知：如图，在.△月比中,〃是8c中点，£是力8上一点，〃是力C上一点.若N及於=90°,且於十小

=次，求证：NB/1C=90°.

6

24.如图，在△力〃C中，AB=AC,4"是4c的中线，点〃在4C的延长线上，连接4。，BC平分ZEBD.

(1)求证：NABE=ND；

(2)求证；BD=2BE.

25.如图，在M8C中，D是BC上一点,连接4）,已知CO=/5,ABAD=ABDA,4E是A/I6。的中线.求

i±：AC=2AE.（提不：延长/E至尸，使EF=4E,连接。/）

26.如图，力。为“8C的中线，尸在4C上，BF交4D于E,且8E=4C.求证：AF=EF.

7

27.如图，力。为“8C中8c边上的中线(力8>力C).

(1)求证：AB-AC<2AD<AB+ACx

(2)若/5=8cm,4C=5cm,求/。的取值范围.

28.(1)基础应用：如图1,在△/1比中，AC=7,力〃是比,边上的中线，延长力〃到点少使以'=力〃,

连接以把月氏力。，249利用旋转全等的方式集中在△力四中，利用三角形三边关系nJ"得力〃的取值范围

是;

(2)推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2,在△，伪。中，/〃是比‘边上的中线，点反厂分别在

AB,4「上，豆DE1DF,求证：BE中CF>ER

(3)综合应用：如图3,在四边形力灰刀中，，48=助，N8+N4T=180°且/刈4gN加。，试问线段舐

然、，刀具有怎样的数量关系，并证明.

图3

8

29.(1)方法呈现：

如图①：在中，若AB=6,4C=4,点〃为回边的中点，求8。边上的中线的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：延长月〃到点£使。£=力。，再连接班；可证△4C。丝△E8。，从而把/民

AC,集中在△48E中，利用三角形三边的关系即可判断中线力〃的取值范围是,这种

解决问题的方法我们称为倍长中线法；

(2)探究应用：

如图②，在"8C中，点〃是比、的中点，DE上DF于点D,DE交.A8于点、E,〃"交"于点八连接觇判

断8后+。尸与£尸的大小关系并证明：

(3)问题拓展：

如图③，在四边形力用力中，AB//CD,"'与〃。的延长线交于点尺点£是比'的中点，若然是/胡产的角

平分线.试探究线段力反AF,)之间的数量关系，并加以证明.

V

E

图①图②图③

9

30.(1)阅读理解：如图1,在△力比中，若力8=5,AC=8,求伙7边上的中线力〃的取值范围.小聪同学是

这样思考的：延长月〃至反使班=AD,连接BE.利用全等将边力7转化到庞；在△的片中利用三角形三

边关系即可求出中线的取值范围.在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是,

中线力〃的取值范围是；

(2)问题解决：如图2,在△/1比中，点〃是宽的中点，点"在/后边上，点"在/1C边上，若加吐DN.求

证：笈什G>l你

(3)问题拓展：如图3,在△?1加中，点〃是比、的中点，分别以力反力。为直角边向△■比、外作收△力用/和

R心ACN,其中/加4/胡。=90°,AB=AM,AC=AN,连接MV,探索力〃与腑的关系，并说明理由.

图1图2图3

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31.(1)阅读理解：

如图①，在△48C中，若力8=8,AC=5,求8c边上的中线的取值范围.可以用如下方法：将△4C。绕

着点〃逆时针旋转180得到△£&),在△48E中，利用三角形三边的关系即可判断中线力。的取值范围是

(2)问题解决：

如图②，在△ABC中，〃是8C边上的中点，DE_L。尸于点〃，DE交于点、E,诉交AC于点、F,连接E尸,

求证：BE+CF>EF；

(3)问题拓展：

如图③，在四边形18co中，N8+NO=180。，CB=CD,4a)=100。，以。为顶点作一个50。的角，角

的两边分别交48、AD”/，、两点，连接以，；探索线段DF,石产之间的数量关系，并说明理由.

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