2025-2026学年吉林省通化市某校高二下学期期中考试数学试题-含解析

/数学考试时间120分钟满分150分第I卷(共58分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2.某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种3.函数的单调增区间是（）A. B. C. D.4.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.5.某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（）（参考数据：若，则有，A.1359人 B.1569人 C.2719人 D.3409人6.一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（）A. B. C. D.7.设随机变量，满足：，，若，则（）A.3 B. C.4 D.8.已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（）A. B.C. D.二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知，则下列选项正确的有（）A. B.展开式中的系数为-192C.展开式中的二项式系数最大项为第3项 D.当时，除以8的余数为110.袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（

）A.B.随机变量服从二项分布C.D.记这个球中白球的个数为，则11.对于函数，下列说法正确的有（

）A.在处取得极大值B.只有一个零点C.D.若在上恒成立，则第Ⅱ卷(共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，则______.13.本学期辉南六中高二年级准备举办一场课本剧展演，前8个班级每班准备了1个节目，杨老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中1班和2班都要表演《屈原》，因此需要分开排；3班和4班要表演的分别是《雷雨》第一集——铺垫矛盾和《雷雨》第二集——真相爆发，所以需要相邻且按序表演，则杨老师能排出______种不同的方案（用数字表示）14.若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为．（1）求n的值；（2）求展开式中含的项的二项式系数．16.已知函数．（1）求在点处的切线方程（其中为自然对数的底数）；（2）当时，证明：．17.某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立．（1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率；（2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望．18.已知函数.（1）当时，求函数的极小值；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有两个零点，求a的取值范围.19.为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的．（1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望；（2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望）（i）求关于的函数表达式；（ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数）

数学考试时间120分钟满分150分第I卷(共58分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据导数的计算公式与求导法则计算即得.解答过程：选项A：，故A错误；选项B：，故B错误；选项C：，故C错误；选项D：，故D正确.故选：D2.某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：C解析：思路：直接用间接法计算可得.解答过程：因为从人中选人一共有种不同的选法，若选中的人均为专家人员的有种不同的选法，所以至少有一名工程师被选中的选法共有种不同的选法.3.函数的单调增区间是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：通过求导，令导函数大于，即可求解.解答过程：函数的定义域为，，令，即，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：.4.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意可知，对任意的，恒成立，即，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围.解答过程：因为，则，由题意可知，对任意的，恒成立，即，因为函数在上单调递减，故，所以.5.某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（）（参考数据：若，则有，A.1359人 B.1569人 C.2719人 D.3409人答案：A解析：解答过程：由成绩近似服从正态分布，得，则，则，所以分数在之间的考生约有1359人.6.一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数，要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个，从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为，故​恰好件不合格的概率为.7.设随机变量，满足：，，若，则（）A.3 B. C.4 D.答案：C解析：思路：代入二项分布的期望和方差公式，以及方差的性质，即可求解.解答过程：由条件可知，，则，,所以.8.已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：构造函数，讨论其单调性即可求解.解答过程：构造函数，在时恒成立，所以在时单调递增，所以，即，所以，故选:C.二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知，则下列选项正确的有（）A. B.展开式中的系数为-192C.展开式中的二项式系数最大项为第3项 D.当时，除以8的余数为1答案：BD解析：思路：赋值计算判断A；求出指定项的系数判断B；利用二项式系数的性质判断C；利用二项式定理，结合整除思想判断D.解答过程：对于A，取，得，取，得，因此，A错误；对于B，展开式中的系数，B正确；对于C，展开式共7项，则展开式中的二项式系数最大项为第4项，C错误；对于D，当时，展开式的前6项都是整数，且都含有因数8，展开式的最后一项是1，因此除以8的余数为1，D正确.10.袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（

）A.B.随机变量服从二项分布C.D.记这个球中白球的个数为，则答案：ACD解析：解答过程：选项A，，PX=0=因此PX选项B，本题是从8个球中不放回任取4个，随机变量服从超几何分布，不是二项分布（二项分布要求独立重复、每次概率不变），故B错误；选项C，超几何分布期望公式EX=nKN​，其中（抽取个数），（总体黑球数），（总球数），得，根据期望性质E4选项D，取出4个球，因此（为白球个数），根据方差性质，得DY=11.对于函数，下列说法正确的有（

）A.在处取得极大值B.只有一个零点C.D.若在上恒成立，则答案：ABC解析：思路：对A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解．解答过程：对于A，函数fx=2令，即，解得，当时，，故在上为单调递增函数，当时，，故在上为单调递减函数，在时取得极大值fe=2对于B，在上为单调递增函数，∵f1=2ln11当时，fx=2lnxx2>0对于C，在上为单调递减函数，，∴f2<f对于D，由在上恒成立，即k>fx+1设，则，令，解得：，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，当时，函数取得最大值，最大值为，，故D错误．第Ⅱ卷(共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，则______.答案：0.7##解析：解答过程：由可得正态分布曲线的对称轴为：，所以：.13.本学期辉南六中高二年级准备举办一场课本剧展演，前8个班级每班准备了1个节目，杨老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中1班和2班都要表演《屈原》，因此需要分开排；3班和4班要表演的分别是《雷雨》第一集——铺垫矛盾和《雷雨》第二集——真相爆发，所以需要相邻且按序表演，则杨老师能排出______种不同的方案（用数字表示）答案：3600解析：思路：先采用捆绑相邻的元素，在插空处理不相邻的元素，使用分分步乘法原理计算出总方案即可.解答过程：把3班和4班捆绑为1个整体，且3班必须要在4班之前，所以内部只有1种排列顺序，除去1班和2班，剩下的元素为3班和4班整体加上其余四个班级，共5个元素，共有种排法，5个元素排好后共产生6个空位，从6个空位中选2个插入1班和2班，有种排法，因此总方案共有种.14.若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是__________．答案：解析：思路：利用导数判断函数的单调性并求得极小值，然后依题意得到，计算即可.解答过程：由题可知：，令，则；令，则或，所以函数在单调递增，在单调递减.极小值为，令，所以或，又函数在区间内有最小值，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为．（1）求n的值；（2）求展开式中含的项的二项式系数．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用二项式系数的定义列出和的方程，求解即得；（2）利用二项式的通项公式确定展开式中含的项，计算即得答案.（1）第4项的二项式系数为，第3项的二项式系数为．又第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，，，，故的值为；（2）因，由解得，故展开式中含的项的二项式系数为.16.已知函数．（1）求在点处的切线方程（其中为自然对数的底数）；（2）当时，证明：．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）利用导数求出切线斜率，利用求出切点坐标，代入点斜式方程可得答案；（2）利用导数判断出单调性可得答案．（1），切线的斜率为，由得切点坐标为，所以在点处的切线方程.（2）当时，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得最小值，即.17.某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立．（1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率；（2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望．答案：（1）（2）答案见解析解析：思路：（1）利用全概率公式计算即可；（2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.（1）设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意，则由题意可知：，所以；（2）易知可能取值，则，，，即的分布列如下：012P期望为.18.已知函数.（1）当时，求函数的极小值；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有两个零点，求a的取值范围.答案：（1）（2）若，则是减函数；若，则在上单调递减，在上单调递增.（3）解析：思路：（1）利用导数分析当时，函数的单调性，即可得其极值点，从而求得其极小值；（2）分和两种情况，利用导数讨论函数的单调性；（3）结合（2）的结论，构造新函数，利用新函数的导数分析新函数的单调性，求解不等式得的取值范围.（1）当时，..因为恒成立，所以当时，；当时，.所以在上单调递减；在上单调递增.所以在处取得极小值，极小值为.（2）函数.的定义域为..因为恒成立，所以若，恒成立，所以恒成立，在上单调递减；若，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述，若，在上单调递减；若，在上单调递减，在上单调递增.（3）由（2）知，若，则是减函数，函数不可能有两个零点；若，则在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，即最小值，最小值为.此时，当时，；当时，；要使函数有两个零点，只需使，即.令，则恒成立，所以是增函数.又，所以当且仅当时，.所以a的取值范围是.19.为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元