2026年中考数学总复习模拟检测试卷13

广东省深圳市福田区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1.（3分）（2025•福田区三模）秦代小篆是汉字演变的重要形态，其笔画匀称端庄.下列四幅小篆的书法

中，不是轴对称的图形是（）

C

R.

2.（3分）（2025•福田区三模）祖舟二十号载人飞船于2025年4月24日（北京时间）在酒泉卫星发射中

心成功发射，搭载长征二号厂运载火箭.已知该火箭的总质量约为464000千克，将“464000”用科学记

数法表示为（）

A.46.4x104B.4.64x105C.4.64x106D.4.64X107

3.（3分）（2025•福田区三模）深圳是中国科技创新的核心城市，汇聚了“华为、腾讯、比亚迪、大疆创新”

等知名科技企业.若从这4家企业中随机抽取I家，请问抽中“华为”的概率是（）

113

A.-B.-C.-D.1

424

4.（3分）（2025•福田区三模）下列运算错误的是（）

A.a3*a2=a5B.（a3）2=a6C.a3-ra2=aD.a6-t/2=«4

5.（3分）（2025•福田区三模）近年来，青少年近视问题FI益突出，科学用眼成为社会关注焦点.某公司

研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计）.如图所示，经

光学测试发现，当NA8C=13。。，N8CQ=I2（）。时，光线效果最佳，求此时灯臂CO与底座。石的夹角

NCDE的度数为（）

A.100°B.105°C.110°D.115°

6.（3分）（2025•福田区三模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有

绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文.只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”

题目译文是：现在有绫布和罗布，布氏共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收

入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文.向两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意

可列方程是（

896=896

x~30+x

7.（3分）（2025•福田区三模）如四，将aAB。沿3。方向平移得到△△A8c与△OE”重叠部分（图

中阴影部分△C£G）的面积是△ABC的面积的点已知3C=3,则△ABC平移的距离8£为（）

C.V3D.3-V3

8.（3分）（2025•福ED区三模）如图，坐标平面内，点人是抛物线），=/上异于点。的任一点，AO与抛物

线），=27的交点记为4,现请你考查办这一比值，它是否会随着点A的位置改变而发生改变？若改变，

说明比值变化的规律；若不变，请说出该比值大小.下列对上述问题的回答正确的是（）

A.改变；该比值会随x的增大而增大

B.改变；该比值会随团的增大而减小

C.不变：比值大小为2

D.不变：比值大小为企

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9.（3分）（2019•攀枝花）分解因式：c^b-b=

2x—6<3x,

10.（3分）（2020•黔西南州）不等式组工+2x-i的解集为.

----4~-°

11.（3分）（2025•福田区三模）如图所示的曲边三角形可按下达方法作出：作等边三角形A4C：分别以点

4,B,。为圆心，以AB的长为半径作品，AC,AB.三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形.若

48=6,则阴影部分面积为.（结果保留n）

A

12.（3分）（2025•福田区三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，OC边与x轴重合，

04=4,NAOC=60。，点M为菱形OABC的对称中心，反比例函数y=号的图象经过点M,则％的值

为________________•

13.13分）（2025•福田区三模）如图，在中，ZBAC=90°,C为边AB上一点,ZACD=ZABC,

E为CD延长线上一点，连接BE,且ZEBD=2ZACD,若tan^ACD=i（n>l）,则

ED

—=_______________________.（用含〃的代数式表示）

BC

三、解答题（本题共7小题，共61分）

14.（7分）（2025♦福田区三模）（1）解二元一次方程组：

（2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下：

第1步，由x-y=2,可设x=l+/〃，-y=1-m,即y=〃z-l：

第2步，将x=l+〃?，y=〃L1代入2x+4y=3中，得到；

第3步，解得m=；

第4步,即可求出方程组的解.

请你完成上面的填空.

15.（7分）（2025•福田区三模）先化简，再代入求值：（1+总）+其中〃=1.

16.（7分）（2025•福田区三模）为助力“城市文明典范”建设，深圳市文化广电旅游体育局计划从300名报

名者中选拔“文化志愿者”，参胃深圳图书馆、博物馆、非遗保护中心等机构的公共服务.现随机收集了

30名报名者的面试成绩（百分制，取整数），并对这30个数据进行了整理，描述和分析.下面给出了

部分信息：

①30个数据的频数分布直方图如图（数据分5组：45%<55,55夕<65,65<v<75,75<v<85,85<v

<95）

②30个数据在65x<75这一组的是：

636666676971727273737374

根据以上信息，回答下列问题：

（1）频数分布直方图中用的值是,这30个数据的中位数是；

（2）若本次面试成绩在859V95之间的志愿者为“优秀文亿志愿者”，则300名报名者中，“优秀文化

志愿者”约为名；

（3）将本次面试成绩从高到低排序，面试成绩在前30%的报名者可以被录用为“文化志愿者”.若一名

报名者的面试成绩为75分，判断他能否被录用，并说明理由.

17.（9分）（2025•福田区三模）某校九年级“综合与实践”小组开展“测量春笋大厦高度”实践活动.如图，

在距离“春笋大厦”底部中心N点右侧有一个处观测点4,AN=285米，在8处有一架测量无人机，观测

点人到无人机B的距离48=竽乃米，在点4处用测角仪测得无人机8的仰角为N84N,BC//AN,

且ta?1484V=｝在点8处用无人机测得“春笋大厦”最高点M的仰角为NM8C,且tanN历8c=3,点

A,B,C,M,N在同一平面内，测角仪高度忽略不计.

（1）求点B到水平地面NA的距离;

（2）求“春笋大展”MN的高度.

18,（9分）（2025•福田区三模）【综合与实践】

新学期，同学们回校布置教室.如图1所示，教室前门人宽度人8=1〃?，门轴人到墙角E的距离

AE=O.5m,设E,A,B在同一条直线上，门打开后被教室黑板墙阻挡，EB」E4,门边BC靠在墙

B'C的位置.

（1）门打开的最大角度N84B=；

（2）教室的俯视图如图2,其中靠近前门第一位同学课桌右恻PR与墙EA的距离为0.5加，且该矩形课

桌P/QR的边P/与教室前墙£夕平行，若要使得开关门不受阻挡，则P/与E8的距离需大于多少？（结

果保留根号）

（3）如图3,同学们想充分利用教室的空间，在门后△4夕E中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直

径为35cm的圆柱形桶，能放的进吗？请说明理由.（参考数据：V2«1.41,V3«1.73,«2.24）

B…

图3

19.（10分）（2025•福田区三模）甲、乙、丙三个同学研究了二次函数y=a*・2ax+a-1（今0）的图象和

性质，并交流了自己的学习成果.

（1）甲同学的说法：当x=0和x=2时，函数值相等.你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由.

（2）乙同学的发现：。取某个值时，该函数图象上到％轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶

点的三角形的面积为3.根据乙同学的发现，求出此时。的值.

（3）丙同学的探索：若。>（）.当（）VxV3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值.根据丙同学的

结论，求出。的取值范围.

20.（12分）（2025•福田区三模）如图I,在矩形人8c。中（AB>AO）,点E是线段C。上的一动点，连

接BE.作点C关于BE的对称点F.连接C尸并延长，交AZ）或AB于点G,过点4作的延长

线于点H.

（1）若。尸的延长线交A。于点G时，求证：

（2）连接8。交C”于点/,且A8=4,AD=3.

①若C尸的延长线交AD于点G时，如图2,若CE=*CZ）,求C/的长；

GHCH

②在E点的运动过程中，N7是否存在最大值？若存在，请求出”的最大值；若不存在，请说明理由.

CGCG

2025年广东省深圳市福田区中考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题）

题号12345678

答案BB.ADCBDC

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1.（3分）（2025•福田区三模）秦代小篆是汉字演变的重要形态，其笔画匀称端庄.下列四幅小篆的书法

中，不是轴对称的图形是（）

【考点】轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】B

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据

此进行判断即可.

【解答】解：A，C,。是轴芯称的图形，B不是轴对称的图形，

故选：B.

【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关健.

2.（3分）（2025•福田区三模）相舟二十号载人飞船于2025年4月24日（北京时间）在酒泉卫星发射中

心成功发射，搭载长征二号/运载火箭.已知该火箭的总质量约为464000T•克，将“464000”用科学记

数法表示为（）

A.46.4x104B.4.64x105C.4.64x106D.4.64x107

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【专题】实数；符号意识.

【答案】B.

【分析】科学记数法的表示形式为4X10〃的形式，其中摩同V10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对■值与小数点移动的位数相同.当原数绝时值210时，〃是

正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

【解答】解：464000=4.64xl05.

故选:B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为nxlO〃的形式，其中号同＜10,〃

为整数，表示时关键要正确确定〃的值以及〃的值.

3.（3分）（2025•福田区三模）深圳是中国科技创新的核心城市，汇聚了“华为、腾讯、比亚迪、大疆创新”

等知名科技企业.若从这4家企业中随机抽取1家，请问抽中“华为”的概率是（）

113

A.-B.-C.-D.1

424

【考点】概率公式.

【专题】概率及其应用；数据分析观念.

【答案】A

【分析】直接根据概率公式求解即可.

【解答】解：若从这4家企业中随机抽取I家,抽中“华为”的概率为上

4

故选：A.

【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数:所有可能出

现的结果数.

4.（3分）（2025•福田区三模）下列运算错误的是（）

A.a3*a2=a5B.（«3）2=a6C.a3^-a2=aD.a6-

【考点】同底数辕的除法；合并同类项；同底数新的乘法；弃的乘方与积的乘方.

【专题】整式；运算能力.

【答案】。

【分析】根据同底数昂的乘法、幕的乘方、同底数基的除法、合并同类项法则分别计算判断即可.

【解答】解：4、/・/=/，故此选项不符合题意;

B、（〃3）2=/,故此选项不符合题意；

C、a^cr=a,故此选项不符合题意；

。、/与不能合并，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了同底数哥的乘法、哥的乘方与积的乘方、同底数基的除法、合并同类项，熟练掌握

运算法则是解题的关键.

5.（3分）（2025•福田区三模）近年来，青少年近视问题日益突出，科学用眼成为社会关注焦点.某公司

研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计）.如图所示，AB〃初，经

光学测试发现，当NA8C=130。，N8CO=120。时，光线效果最佳，求此时灯臂CQ与底座QE的夹角

NCDE的度数为（）

A.100°B.105°C.1100D.115°

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】C

【分析】过。作CK〃A8,得到CK〃/）E,推出NBCK+NABC=180。，ZDCK+ZCDE=\iO0,即可求

解.

【解答】解：过C作CK〃48,

\*AB//ED,

：,CK//AB//ED,

，N8CK+NABC=180。，NDCK+NCDE=180。,

VZABC=130°,ZBC£>=120°,

•・•ZBCK=50°,ZDCK=120°-50°=70°,

AZCDE=110°.

故选：C.

【点评】本题考查平行线的性质，关键是过C作CK〃AB,得到CK〃AB〃EO,由平行线的性质来解

决问题.

6.（3分）（2025•福田区三模）《四元玉鉴》是中国占代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有

绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文.只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”

题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收

入896文；绫布和罗布各出售I尺共收入120文.问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意

可列方程是（）

896896896896

A.-120----B.+一=120

30-XX30-%X

896896896896

C.120+___—D.―+120

X30+xX30-X

【考点】由实际问题抽象出分式方程.

【专题】分式方程及应用；运算能力.

【答案】B

【分析】等量关系式：绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入=120文，据此列方程，即可求解•.

【解答】解：由绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入=120文得方程为：

896896

一+-----=120,

x30-x

故选：B.

【点评】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解.题的关键.

（3分）（2025•福田区三模）如图，将△A8C沿方向平移得到△。石尸，△ABC与△OE/重叠部分（图

中阴影部分4CEG）的面积是△ABC的面积的已知BC=3,则△平移的距离BE为（）

A.1B.3C.V3D.3-V3

【考点】三角形的面积：平移的性质.

【专题】三角形；平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】。

【分析】根据平移的性质、相似三角形的判定与性质计算即可.

【解答】解：由平移的性质，得

:.XGECsXABC,

・・.（―）

BCS^ABC3

,EC_V3

••,

BC3

:・EC=^BC=5

:・BE=BC-EC=3-W

故选：D.

【点评】本题考查三角形的面枳、平移的性质，掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关

键.

8.（3分）（2025•福田区三模）如图，坐标平面内，点A是抛物线），=$上异于点。的任一点，AO与抛物

QA

线）=花的交点记为A，,现请你考杳这一比值，它是否会隙着点A的位置改变而发生改变？若改变，

说明比值变化的规律；若不变，请说出该比值大小.下列对上述问题的回答正确的是（）

A.改变；该比值会随大的增大而增大

B.改变；该比值会随M的增大而减小

C.不变；比值大小为2

D.不变；比值大小为企

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质：几何直观.

【答案】C

0A

【分析】假设A点坐标，写出直线04的解析式，代入另一个抛物线，求得4坐标，从而可以求得

【解答】解：设A（。，/）,

工直线04的解析式为：），=公，

代入抛物线），=2?,依=2?,

.*.x=0或3

2

aa2

（一,——）,

22

是0A的中点，

0A

---=2,

OAf

即比值不变，恒为2.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，题目较为简单.

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9.（3分）（2019•攀枝花）分解因式：a2b-b=h（r/+l）（67-E.

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】整式.

【答案】见试题解答内容

【分析】首先提取公因式从进而利用平方差公式分解因式得出答案.

【解答】解:crb-b

=b（«2-1）

=b（«+l）（«-I）.

故答案为：b（a+1）（a-1）.

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键.

2%-6<3x,

10.（3分）（2020•黔西南州）不等式组冥+2_欠_1的解集为-6V.K13

-54~~0

【考点】解一元一次不等式组.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可.

（2x-6<3x©

【解答】解：％+2x—17

解①得：Q-6,

解②得：烂13,

不等式组的解集为：・6Vg13,

故答案为：-6〈烂13.

【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大

小小大中间找；大大小小找不到.

II.（3分）（2025•福田区三模）如图所示的曲边三角形可按下达方法作出：作等边三角形ABC；分别以点

A,B,C为圆心，以A8的长为半径作反:，市?，崩.三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形.若

AB=6,则阴影部分面积为6n-9V3.（结果保留n）

【考点】作图一复杂作图；等边三角形的性质；扇形面积的计算.

【专题】作图题：几何直观；运算能力.

【答案】6n-9V3.

【分析】阴影部分的面积=扇形ABC的面积-△ABC的面积.

【解答】解：阴影部分的面积二等镇一辛x62=67T-9g.

故答案为：611-9V3.

【点评】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握分割法求阴影

部分面积.

12.（3分）（2025•福田区三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形Q4BC为菱形，OC边与x轴重合，

OA=4,NAOC=60。，点M为菱形OA8C的对称中心，反比例函数y=§的图象经过点M,则出的值

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；中心对称.

【专题】反比例函数及其应用；矩形菱形正方形；运算能力.

【答案】3V3.

【分析】根据菱形的性质得出。。=。4=4,M是AC的中点，解直角三角形求得A的坐标，进而求得

M的坐标，由反比例函数y=。的图象经过点M即可求出k的值.

【解答】

解：过从作AO_Lx轴于。，

V0A=4,

•・•四边形ABC。是菱形，

：,0C=0A=4,M是AC的中点，

「ZAOC=60°,

：,OD=^OA=2,40=三。4=2存

•M（2,2V3）,

（3,百），

V反比例函数丫=。的图象经过点

"=38.

故答案为：3百.

【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形求出M的坐标是解

此题的关键.

13.（3分）（2025•福田区二模）如图，在RsA4C中，NZMC=90。，。为边A/3上一点，ZACD=ZADC,

1ED

E为CD延长线上一点，连接BE,且NE8O=2N/1CQ,若£即乙亿。=*九＞1）,则而二

.（用含〃的代数式表示）

E

A

【考点】解直角三角形.

【专题】图形的相似；推理能力.

2足一2

【答案】

n2+l

【分析】作B凡LEC,作4NJ_EC,交BC于N,交EC于M,设。M=x,根据锐角三角函数可求出4M

=nx,MC=〃2»证明BN=CN,表示出FD,根据NE8O=2NAC。，而//8O=NAC7),得到BD=

ED

BE,然后表示EQ=2OF,进而求出一.

CD

【解答】解：作8F_L£C于F,作AMLEC交8c于M交EC于M；

设DM=x,

,/NACO+NCAM=ZCAM+ZMAD=90°,

・•・ZACD=ZMAD,

AMDM1

tanZACD=tanZMAD,即：-----=------=一,

MCAMn

：.AM=nx,AM1=DM*MC,即Z?V=A-A/C,

•・•ZACD=ZMAD,ZACD=ZABC,

••・ZMAD=N/WC,

:,BN=AN,

XV/CAN+NN48=NACB+乙48C,

：.4CAN=4ACB,

:・CN=AN,

:.BN=CN,

；.N为BC\点、,

又•：BF工EC,AN上EC,

:.BF〃AN,

在RtA伙才'中，NM为中位线，

：,MF=MC,

.\MF=n2x,

：.FD=（〃2-1）x,

•・・/EBD=2NACD,而NACD=NQAM,

：,ZEBD=2ZDAM,

由B/〃AM可得，NDAM=NFBD,

:.NEBD=2/FBD,

:・BF为NEBD的角平分线，

又〈BFLED,

尸为△EBD的中线，BE=BD,

：.ED=2DF=2（n2-1）x,

.ED_2足-2

・‘CD-n2+l'

【点评】本题主要考查了解直角三角形、中位线性质定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键.

三、解答题（本题共7小题，共61分）

14.（7分）（2025•福田区三模）（1）解二元一次方程组：弓二;

（2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下：

第1步，由x-y=2,可设x=l+〃?，-y=1-m,即）=机-1；

第2步，将x=l+〃?，y=〃?-1代入2x+4y=3中，得至U2（1+〃?）+4（〃?-1）=3；

5

第3步，解得rn=二；

第4步，即可求出方程组的解.

请你完成上面的填空.

【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解一元一次方程；二元一次方程的解.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

11

x=-7-5

【答案】（1）（2）2（1+机）+4（〃？・1）=3；

—A6

【分析】⑴用加减消元法，②-①x2求出y=3,将y=V代入①求出工二也

（2）x=\+m,y=m-1代入2x+4），=3中，得到2（1+/〃）+4（m-1）=3,按照解一元一次方程的方

法求出m.

【解答】解：（1）

（2%+4y=3②

①x2得：21・2），=4③，

②-③得：6y=-1,y=—

将y=—%弋入①得：工=春，

r=11

方程组的解是：一%.

^=-6

（2）小明在解第（1）间的二元一次方程组时，过程如下：

第1步，由x-y=2,可设x=l+/〃，-y=1-in,即丁=机-1；

第2步，将工=1+〃?，y=m-1代入2x+4y=3中，得到2（1+/n）+4（m-1）=3；

第3步，解得勿

第4步，即可求出方程组的解.

5

故答案为：2（1+〃?）+4（m-1）=3；

6

【点评】本题考查了题二元一次方程组的解、解一元一次方程、二元一次方程的解、解二元一次方程组，

解决本题的关键是按照加减消元法解方程组.

15.（7分）（2025•福田区三模）先化简，再代入求值：（1+焉）♦°2,4^4,其中〃=匕

【考点】分式的化简求值.

【专题】分式；运算能力.

3

答

案-

2

【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，再把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式=

言，然后把，的值代入计算即可•

【解答】解：原式二嘿1.湍念

a+3(。+2)2

a+2(a+3)(a-3)

a+2

a-3

当a=I时，原式=芒|

【点评】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，解题时可根据题

F1的具体条件选择合适的方法.

16.（7分）（2025•福田区三模）为助力“城市文明典范”建设，深圳市文化广电旅游体育局计划从300名报

名者中选拔“文化志愿者“，参与深圳图书馆、博物馆、非遗保护中心等机构的公共服务.现随机收集了

3（）名报名者的面试成绩（百分制，取整数），并对这30个数据进行了整理，描述和分析.下面给出了

部分信息：

①30个数据的频数分布直方图如图（数据分5组：45<i<55,55OV65,65<v<75,75<v<85,85<v

<95）

②30个数据在65.r<75这一组的是：

656666676971727273737374

根据以上信息，回答下列问题：

（1）频数分布直方图中小的值是6,这3（）个数据的中位数是70；

（2）若本次面试成绩在859V95之间的志愿者为“优秀文化志愿者”，则300名报名者中，“优秀文化

志愿者”约为20名；

（3）将本次面试成绩从高到低排序，面试成绩在前30%的报名者可以被录用为“文化志愿者”.若一名

报名者的面试成绩为75分，判断他能否被录用，并说明理由.

【考点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本估计总体.

【专题】统计的应用；数据分析观念.

【答案】（1）6,70：

（2）20；

（3）面试成绩为75分的面试者一定被录用为“文化志愿者”.

【分析】（1）根据频数之和等于样本容量即可求出，〃的值，再根据中位数的定义求出这30名学生面试

成绩的中位数即可；

（2）用300乘以样本中成绩在85<x<95之间的志愿者人数所占比例即可；

（3）计算样本的30%的人数，确定第9名的成绩，再进行判断即同;

【解答】解：（I）〃?=3（）-12-8-2-2=6,将这30名学生的面试成绩从小到大排列，处在第15、第

16位的两个数的平均数为丝罗二70（分），即中位数是70分，

故答案为:6,70;

（2）300x^=20（人），

答：300名报名者中，“优秀文化志愿者”约为20名.

故答案为：20；

（3）30x30%=9（人），将这30名学生的面试成绩从大到小排列，处在第9位的数据为74分，而75

>74,

所以面试成绩为75分的面试者一定被录用为“文化志愿者

【点评】本题考杳频数分布直方图，用样本估计总体以及中位数，正确理解直方图得到相关信息是解题

的关键.

17.（9分）（2025•福田区三模）某校九年级“综合与实践”小组开展“测量春笋大厦高度”实践活动.如图，

在距离“春笋大厦''底部中心N点右侧有一个处观测点4,AN=285米，在3处有一架测量无人机，观测

点A到无人机B的距离力8=苧遍米，在点4处用测角仪测得无人机B的仰角为N8AN,BC//AN,

且4V乌，在点8处用无人机测得“春笋大厦”最高点M的仰角为NM8C,且tanN/8c=3,点

A,B,C,M,N在同一平面内，测角仪高度忽略不计.

（1）求点B到水平地面NA的距离;

（2）求“春笋大厦”MN的高度.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】（1）点3到水平地面NA的距离为《-米：

（2）“春笋大厦”MN的高度为392.5米.

【分析】（1）过点8作8D_LAM垂足为Q,根据题意可得：BD=CN,BC=ND,然后在RsAQB中，

利用锐角三角函数的定义可设8D=x米，则AD=21•米，从而利用勾股定理进行计算即可解答：

（2）利用（1）的结论可得3C=NQ=1（）O米，然后在RS3CM中，利用锐角三角函数的定义求出CM

的K,从而利用线段的和差关系进行计算即可解答.

【解答】解：（1）过点8作加＞_LAM垂足为。，

由题意得：BD=CN,BC=ND,

在RtAADB中,tan乙BAN=1,

•BD1

••~=一,

AD2

・,•设8。=%米,则AO=2x米，

：,AB=>JBD2+AD2=yjx2+（2x）2=底（米）,

•・・48=竽遥米，

>[Sx=遥,

解得：尸竽，

，BO=CN=苧米，AO=185米，

•ior

・•・点B到水平地面NA的距离为•米；

（2）・・FN=285米，40=185米，

：.BC=ND=AN-AD=2S5-185=100（米）,

在RtABCM中,tanNM8C=3,

AMC=BC*tanZ/WBC=300（米），

.\MN=MC+CN=392.5（米）,

・•・“春笋大庭'MN的高度为392.5米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

18.（9分）（2025•福田区三模）【综合与实践】

新学期，同学们回校布置教室.如图1所示，教室前门ABCO宽度48=1〃?，门轴4到墙角E的距离

AE=O.5m,设E,A,B在同一条直线上，门打开后被教室黑板墙阻挡，七8」区4,门边BC靠在墙

夕C的位置.

（1）门打开的最大角度120°；

（2）教室的俯视图如图2,其中靠近前门第一位同学课桌右恻PR与墙EA的距离为05〃，且该矩形课

桌的边P/与教室前墙及T平行，若要使得开关门不受阻挡，则P/与的距离需大于多少？（结

果保留根号）

（3）如图3,同学们想充分利用教室的空间，在门后44方E中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直

径为35cm的圆柱形桶，能放的进吗？请说明理由.（参考数据：V2«1.41,641.73,再々2.24）

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】数形结合；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】(1)120°；

(2)P/与七夕的距离需大于空工机：

2

(3)能放进直径为35c,H的圆柱形桶.

【分析】(1)易得从夕=1〃3进而可得/£49的余弦值，即可求得/班出的度数，则可以求得N8A夕

的度数；

(2)作PM_L/WT点M,连接八尸，求得八M的K度，加上八E的K度，即可求得点尸到上厅的距离，

进而可得开关门不受阻挡，P/与历'的距离范围；

(3)求得直角三角形内切圆的半径，进而可得内切圆的直径，和圆桶的直径比较即可得到能否放进去.

【解答】解：(1)VE^XEA,

/.NAEB'=90。，

'：AB=\m,

VAE=0.5m,

OS1

cos^EAB'=-Y~=2»

・・・N£W'=60。，

・・・N84B'=120。,

故答案为：120。；

(2)在图2中作PMLAB于点M,连接AP,则PM=0.5m,/AMP=90。,

由题意得：AP=AB=\m,

：.AM=Vl2-0.52=冬，

VAE=0.5m,

••・EM=0.5+亨=密i(w),

:・PI与E9的距离需大于号三出

c*AB______________

r^llllll

■■■■■■I

恒■■■■■■

■■■■■■I

■■■■■■I

图2

(3)能放进直径为35c〃?的圆柱形桶.理由如下:

如图3,设圆心为O,△4方£内切圆半径为切?，连接切点OX,OY,OZ,则四边形EYQX为正方形,

：.EX=EY=nnf

：.AX=AZ=(0.5-r)〃?,B'Z=B'Y,

\*AE=0.5m,49=16，ZE=90°,

EB'=Vl2—0.52=马用,

V3

，B'Y=B'Z=(--r)m,

2

・・・AZ+B'Z=I,

0.5-r+^-r=l,

解得：片芋，

点一1

A2r=唱」«0.366w=36.6cw>35w,

・•・能放进直径为35c〃?的圆柱形桶.

【点评】本题考查解直角三角形的应用.用到的知识点为：直角三角形的两直角边为〃，力，斜边为C,

则内切圆的半径=驾二.

19.（10分）（2025•福田区三模）甲、乙、丙三个同学研究了二次函数尸0?-2⑪+〃-1（岫））的图象和

性质，并交流了自己的学习成果.

（1）甲同学的说法：当x=0和x=2时，函数值相等.你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由.

（2）乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到入轴的距离为I的点有3个，且以这三个点为顶

点的三角形的面积为3.根据乙同学的发现，求出此时〃的值.

（3）丙同学的探索：若。>0,当0<xV3时，），的取值范围中恰有4个不同的整数值.根据丙同学的

结论，求出〃的取值范围.

【考点】二次函数综合题.

【专题】代数综合题；二次函数图象及其性质；推理能力.

【答案】（1）正确，理由见解答：

8

2-

9

3

（3）-<6T<I.

4

【分析】（1）根据函数的对称性即可求解：

（2）。取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，则这三个点有一个是顶点，进而求

解：

（3）当0Vx<3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值，则y=-1,0,L2,当x=3时，y=4a

-1,则2V4a・1W3,即可求解.

【解答】解：⑴正确，

理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=l,

则x=0和1=2关于抛物线的对称轴对称，故函数值相同；

（2）a取某个值时，该函数图象上到八•轴的距离为1的点有3个，则这三个点有一个是顶点，

则到x轴的距离和为2,

由抛物线的表达式知，其顶点为（I,-1）,

令y=ax1-2^t.x+a-1=1,则X=1土J|，则两个点之间的距离为2册,

1

贝d

u3-X

2

8

则-

9

（3）当0VxV3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值，则），=-1,0,1,2,

当x=0时，y=a-1,当x=3时，y=4a-1,

3

则2V4a・103,则-Vagi.

4

【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到面积的计算、函数的图象和性质等，熟悉函数的图象和性质

是解题的关键.

20.（12分）（2025•福田区三模）如图I,在矩形/WCO中（A£>A£>）,点E是线段CD上的•动点，连

接BE.作点C关于BE的对称点F.连接CT并延长，交A。或4B于点G,过点4作A从LCG的延长

线于点H.

（1）若CF的延长线交AD于点G时，求证：NBFH=NBAH；

（2）连接8。交C”于点/,且A8=4,AD=3.

①若C77的延长线交A。于点G时，如图2,若CE=,C。，求C/的长；

②在E点的运动过程中，丝是否存在最大值？若